Страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.19. Решите уравнение:

1) $4x^2-(2x-1)^2=15;$

2) $9x^2-1=(3x-2)^2;$

3) $(3x+1)^2-(3x-1)^2=11x+1,2;$

4) $(5+2y)(y-3)-2(y-1)^2=0.$

1) $4x^2-(2x-1)^2=15$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$4x^2-( (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 ) = 15$

$4x^2-(4x^2-4x+1)=15$

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$4x^2-4x^2+4x-1=15$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$4x-1=15$

Перенесем $-1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$4x=15+1$

$4x=16$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{16}{4}$

$x=4$

Ответ: $4$.

2) $9x^2-1=(3x-2)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$9x^2-1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2$

$9x^2-1=9x^2-12x+4$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые - в правую:

$9x^2-9x^2+12x=4+1$

Приведем подобные слагаемые:

$12x=5$

Разделим обе части уравнения на 12, чтобы найти $x$:

$x=\frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$.

3) $(3x+1)^2-(3x-1)^2=11x+1,2$

Применим к левой части уравнения формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$( (3x+1) - (3x-1) )( (3x+1) + (3x-1) ) = 11x+1,2$

Раскроем внутренние скобки:

$(3x+1-3x+1)(3x+1+3x-1) = 11x+1,2$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(2)(6x)=11x+1,2$

$12x=11x+1,2$

Перенесем $11x$ в левую часть уравнения с противоположным знаком:

$12x-11x=1,2$

$x=1,2$

Ответ: $1,2$.

4) $(5+2y)(y-3)-2(y-1)^2=0$

Раскроем скобки. Сначала перемножим первые два многочлена, а для второго слагаемого применим формулу квадрата разности:

$(5 \cdot y + 5 \cdot (-3) + 2y \cdot y + 2y \cdot (-3)) - 2(y^2-2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) = 0$

$(5y-15+2y^2-6y) - 2(y^2-2y+1) = 0$

Приведем подобные слагаемые в первой скобке:

$(2y^2-y-15) - 2(y^2-2y+1) = 0$

Раскроем вторые скобки, умножив каждое слагаемое на $-2$:

$2y^2-y-15 - 2y^2+4y-2 = 0$

Приведем подобные слагаемые во всем выражении:

$(2y^2-2y^2) + (-y+4y) + (-15-2) = 0$

$3y-17=0$

Перенесем $-17$ в правую часть уравнения:

$3y=17$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $y$:

$y=\frac{17}{3}$

Можно также представить ответ в виде смешанной дроби:

$y=5\frac{2}{3}$

Ответ: $5\frac{2}{3}$.

5.20. Найдите корни уравнений:

1) $16x(2-x)+(4x-5)^2=0;$

2) $9y(y+6)-(3y+1)^2=-1;$

3) $0,5(x-6)^2+2x\left(8-\frac{x}{4}\right)=2;$

4) $y+(5y+2)^2=25(2+y^2).$

1) $16x(2-x)+(4x-5)²=0$

Сначала раскроем скобки. Для первого слагаемого используем распределительный закон умножения, а для второго — формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)² = a² - 2ab + b²$.

$16x \cdot 2 - 16x \cdot x + (4x)² - 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5² = 0$

$32x - 16x² + 16x² - 40x + 25 = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x²$ взаимно уничтожаются.

$(32x - 40x) + (-16x² + 16x²) + 25 = 0$

$-8x + 25 = 0$

Перенесем числовое слагаемое в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-8x = -25$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -8:

$x = \frac{-25}{-8}$

$x = \frac{25}{8}$

Можно представить ответ в виде десятичной дроби: $x = 3,125$.

Ответ: $\frac{25}{8}$.

2) $9y(y+6)-(3y+1)²=-1$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем распределительный закон, для второго — формулу "квадрат суммы": $(a+b)² = a² + 2ab + b²$.

$9y \cdot y + 9y \cdot 6 - ((3y)² + 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1²) = -1$

$9y² + 54y - (9y² + 6y + 1) = -1$

Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$9y² + 54y - 9y² - 6y - 1 = -1$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $y²$ взаимно уничтожаются.

$(9y² - 9y²) + (54y - 6y) - 1 = -1$

$48y - 1 = -1$

Перенесем -1 из левой части в правую:

$48y = -1 + 1$

$48y = 0$

Найдем $y$:

$y = \frac{0}{48}$

$y=0$

Ответ: $0$.

3) $0,5(x-6)²+2x(8-\frac{x}{4})=2$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности, а для второго — распределительный закон.

$0,5(x² - 2 \cdot x \cdot 6 + 6²) + 2x \cdot 8 - 2x \cdot \frac{x}{4} = 2$

$0,5(x² - 12x + 36) + 16x - \frac{2x²}{4} = 2$

Продолжаем раскрывать скобки и упрощать:

$0,5x² - 6x + 18 + 16x - 0,5x² = 2$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x²$ взаимно уничтожаются.

$(0,5x² - 0,5x²) + (-6x + 16x) + 18 = 2$

$10x + 18 = 2$

Перенесем 18 в правую часть уравнения:

$10x = 2 - 18$

$10x = -16$

Найдем $x$:

$x = \frac{-16}{10}$

$x = -1,6$

Ответ: $-1,6$.

4) $y+(5y+2)²=25(2+y²)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу квадрата суммы.

$y + ((5y)² + 2 \cdot 5y \cdot 2 + 2²) = 25 \cdot 2 + 25 \cdot y²$

$y + (25y² + 20y + 4) = 50 + 25y²$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$25y² + (y + 20y) + 4 = 50 + 25y²$

$25y² + 21y + 4 = 50 + 25y²$

Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.

$25y² - 25y² + 21y = 50 - 4$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $y²$ взаимно уничтожаются.

$21y = 46$

Найдем $y$:

$y = \frac{46}{21}$

Ответ: $\frac{46}{21}$.

5.21. Упростите выражение:

1) $(a+b)^2-(a-b)^2;$

2) $(m+4)^2-4(m+1)^2;$

3) $3(2-y)^2+4(y-5)^2;$

4) $5(3-5x)^2-5(3x-7)(3x+7);$

5) $(a+1)^2+3(a-1)^2-5(a-1)(a+1);$

6) $(x-1)^2-4(x+1)^2-6(x+1)(x-1).$

1) Для упрощения выражения $(a+b)^2-(a-b)^2$ можно использовать формулы сокращенного умножения или формулу разности квадратов.
Способ 1: Раскрытие скобок.
Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
Подставляем в исходное выражение:
$(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2$
Приводим подобные слагаемые:
$(a^2-a^2) + (2ab+2ab) + (b^2-b^2) = 4ab$
Способ 2: Разность квадратов.
Используем формулу $X^2-Y^2 = (X-Y)(X+Y)$, где $X = a+b$, а $Y = a-b$.
$((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b)) = (a+b-a+b)(a+b+a-b) = (2b)(2a) = 4ab$
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $4ab$

2) Для упрощения выражения $(m+4)^2-4(m+1)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$(m+4)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 4 + 4^2 = m^2+8m+16$
$(m+1)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 1 + 1^2 = m^2+2m+1$
Подставляем раскрытые скобки в исходное выражение:
$(m^2+8m+16) - 4(m^2+2m+1)$
Раскрываем вторые скобки, умножая каждый член на -4:
$m^2+8m+16 - 4m^2-8m-4$
Приводим подобные слагаемые:
$(m^2-4m^2) + (8m-8m) + (16-4) = -3m^2+12$
Ответ: $-3m^2+12$

3) Для упрощения выражения $3(2-y)^2+4(y-5)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
$(2-y)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot y + y^2 = 4-4y+y^2$
$(y-5)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2 = y^2-10y+25$
Подставляем раскрытые скобки в исходное выражение:
$3(4-4y+y^2) + 4(y^2-10y+25)$
Раскрываем скобки, умножая на коэффициенты 3 и 4:
$(12-12y+3y^2) + (4y^2-40y+100)$
Приводим подобные слагаемые:
$(3y^2+4y^2) + (-12y-40y) + (12+100) = 7y^2-52y+112$
Ответ: $7y^2-52y+112$

4) Упростим выражение $5(3-5x)^2-5(3x-7)(3x+7)$.
Первую часть $5(3-5x)^2$ упростим с помощью формулы квадрата разности:
$5(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5x + (5x)^2) = 5(9-30x+25x^2) = 45-150x+125x^2$
Вторую часть $-5(3x-7)(3x+7)$ упростим с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$-5((3x)^2 - 7^2) = -5(9x^2-49) = -45x^2+245$
Теперь сложим обе упрощенные части:
$(45-150x+125x^2) + (-45x^2+245)$
Приведем подобные слагаемые:
$(125x^2-45x^2) - 150x + (45+245) = 80x^2-150x+290$
Ответ: $80x^2-150x+290$

5) Упростим выражение $(a+1)^2+3(a-1)^2-5(a-1)(a+1)$.
Раскроем каждую часть выражения по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.
$(a+1)^2 = a^2+2a+1$
$3(a-1)^2 = 3(a^2-2a+1) = 3a^2-6a+3$
$-5(a-1)(a+1) = -5(a^2-1) = -5a^2+5$
Сложим все полученные выражения:
$(a^2+2a+1) + (3a^2-6a+3) + (-5a^2+5)$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2+3a^2-5a^2) + (2a-6a) + (1+3+5) = -a^2-4a+9$
Ответ: $-a^2-4a+9$

6) Упростим выражение $(x-1)^2-4(x+1)^2-6(x+1)(x-1)$.
Раскроем каждую часть выражения по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.
$(x-1)^2 = x^2-2x+1$
$-4(x+1)^2 = -4(x^2+2x+1) = -4x^2-8x-4$
$-6(x+1)(x-1) = -6(x^2-1) = -6x^2+6$
Сложим все полученные выражения:
$(x^2-2x+1) + (-4x^2-8x-4) + (-6x^2+6)$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2-4x^2-6x^2) + (-2x-8x) + (1-4+6) = -9x^2-10x+3$
Ответ: $-9x^2-10x+3$

5.22. Выполните действия:

1) $((3a+b)^2-(a+3b)^2) \cdot 2ab;$

2) $((x^2+2x)^2+(2x^2-x)^2):(5x^2).$

1) $((3a+b)^2-(a+3b)^2) \cdot 2ab$

Сначала упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В данном случае $x = 3a+b$, а $y = a+3b$.

$(3a+b)^2-(a+3b)^2 = ((3a+b)-(a+3b))((3a+b)+(a+3b))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые в каждой из полученных скобок:

$(3a+b-a-3b)(3a+b+a+3b) = (2a-2b)(4a+4b)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$2(a-b) \cdot 4(a+b) = 8(a-b)(a+b)$

Снова применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$8(a^2-b^2) = 8a^2 - 8b^2$

Теперь умножим полученное выражение на $2ab$:

$(8a^2-8b^2) \cdot 2ab = 8a^2 \cdot 2ab - 8b^2 \cdot 2ab = 16a^3b - 16ab^3$

Ответ: $16a^3b - 16ab^3$.

2) $((x^2+2x)^2+(2x^2-x)^2):(5x^2)$

Сначала выполним действия в скобках. Для этого раскроем каждый квадрат, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Раскроем первый квадрат:

$(x^2+2x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 2x + (2x)^2 = x^4 + 4x^3 + 4x^2$

Раскроем второй квадрат:

$(2x^2-x)^2 = (2x^2)^2 - 2 \cdot 2x^2 \cdot x + x^2 = 4x^4 - 4x^3 + x^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(x^4 + 4x^3 + 4x^2) + (4x^4 - 4x^3 + x^2) = x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 4x^4 - 4x^3 + x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^4+4x^4) + (4x^3-4x^3) + (4x^2+x^2) = 5x^4 + 5x^2$

Теперь разделим полученный многочлен на $5x^2$. Запишем деление в виде дроби:

$\frac{5x^4 + 5x^2}{5x^2}$

Вынесем общий множитель $5x^2$ в числителе за скобки:

$\frac{5x^2(x^2 + 1)}{5x^2}$

Сократим дробь на $5x^2$ (при условии, что $x \neq 0$):

$x^2+1$

Ответ: $x^2+1$.

5.23. Какое выражение нужно прибавить к выражению $(a-b)^2$, чтобы получить выражение $(a+b)^2$?

5.23.

Чтобы найти выражение, которое нужно прибавить к $(a-b)^2$ для получения $(a+b)^2$, мы можем обозначить это неизвестное выражение как $X$. Тогда наше условие можно записать в виде уравнения:

$(a-b)^2 + X = (a+b)^2$

Чтобы найти $X$, нам нужно вычесть $(a-b)^2$ из обеих частей уравнения, или, что то же самое, из $(a+b)^2$:

$X = (a+b)^2 - (a-b)^2$

Теперь воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Подставим эти раскрытые выражения в наше уравнение для $X$:

$X = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Теперь раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$X = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $a^2$ и $-a^2$ взаимно уничтожаются, так же как и $b^2$ и $-b^2$:

$X = (a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab)$

$X = 0 + 0 + 4ab$

$X = 4ab$

Таким образом, к выражению $(a-b)^2$ нужно прибавить выражение $4ab$, чтобы получить $(a+b)^2$.

Ответ: $4ab$

5.24. Докажите равенство:

1) $(a-b)^2=(b-a)^2$;

2) $(-a-b)^2=(a+b)^2$.

1)

Для доказательства данного равенства преобразуем его правую часть, $(b-a)^2$. Вынесем $-1$ за скобки в выражении, стоящем в основании степени:

$(b-a) = -1 \cdot (a-b) = -(a-b)$

Теперь подставим это выражение обратно в квадрат:

$(b-a)^2 = (-(a-b))^2$

Воспользуемся свойством степени, согласно которому квадрат противоположных чисел (или выражений) равен, то есть $(-x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$. Применительно к нашему случаю:

$(-(a-b))^2 = (a-b)^2$

Таким образом, мы показали, что правая часть исходного равенства тождественно равна его левой части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Для доказательства этого равенства преобразуем его левую часть, $(-a-b)^2$. Вынесем $-1$ за скобки в выражении, стоящем в основании степени:

$(-a-b) = -1 \cdot (a+b) = -(a+b)$

Теперь подставим это выражение обратно в квадрат:

$(-a-b)^2 = (-(a+b))^2$

Как и в предыдущем пункте, используем свойство $(-x)^2 = x^2$:

$(-(a+b))^2 = (a+b)^2$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства тождественно равна его правой части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

5.25. Докажите равенство:

1) $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$;

2) $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

1)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Представим куб суммы как произведение этой суммы на ее квадрат:

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2$

Используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Подставим ее в наше выражение:

$(a+b)(a^2+2ab+b^2)$

Теперь выполним умножение многочленов, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$a(a^2+2ab+b^2) + b(a^2+2ab+b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2 = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ доказано.

2)

Для доказательства второго равенства поступим аналогично. Представим куб разности как произведение этой разности на ее квадрат:

$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2$

Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Подставим ее в наше выражение:

$(a-b)(a^2-2ab+b^2)$

Выполним умножение многочленов:

$a(a^2-2ab+b^2) - b(a^2-2ab+b^2) = (a^3 - 2a^2b + ab^2) - (a^2b - 2ab^2 + b^3)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства, следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ доказано.

5.26. Представьте выражение в виде многочлена, используя формулы задания 5.25:

1) $(a+2b)^3;$

2) $(c-3d)^3;$

3) $(2-m)^3;$

4) $(3x+2b)^3.$

1) Для преобразования выражения в многочлен используем формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
В данном случае, $x = a$ и $y = 2b$. Подставим эти значения в формулу:
$(a+2b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3$.
Упростим полученное выражение:
$a^3 + 3a^2(2b) + 3a(4b^2) + 8b^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$.
Ответ: $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$.

2) Для преобразования выражения в многочлен используем формулу куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В данном случае, $x = c$ и $y = 3d$. Подставим эти значения в формулу:
$(c-3d)^3 = c^3 - 3 \cdot c^2 \cdot (3d) + 3 \cdot c \cdot (3d)^2 - (3d)^3$.
Упростим полученное выражение:
$c^3 - 3c^2(3d) + 3c(9d^2) - 27d^3 = c^3 - 9c^2d + 27cd^2 - 27d^3$.
Ответ: $c^3 - 9c^2d + 27cd^2 - 27d^3$.

3) Применим формулу куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Здесь $x = 2$ и $y = m$. Подставляем в формулу:
$(2-m)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot m + 3 \cdot 2 \cdot m^2 - m^3$.
Выполним вычисления:
$8 - 3 \cdot 4 \cdot m + 6m^2 - m^3 = 8 - 12m + 6m^2 - m^3$.
Ответ: $8 - 12m + 6m^2 - m^3$.

4) Применим формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Здесь $x = 3x$ и $y = 2b$. Подставляем в формулу:
$(3x+2b)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot (2b) + 3 \cdot (3x) \cdot (2b)^2 + (2b)^3$.
Упростим выражение, возводя в степень и перемножая коэффициенты:
$27x^3 + 3 \cdot (9x^2) \cdot (2b) + 9x \cdot (4b^2) + 8b^3 = 27x^3 + 54x^2b + 36xb^2 + 8b^3$.
Ответ: $27x^3 + 54x^2b + 36xb^2 + 8b^3$.

5.27. Выразите сумму квадратов чисел $a$ и $b$ через $a+b$ и $a-b$.

5.27. Чтобы выразить сумму квадратов чисел $a$ и $b$, то есть $a^2 + b^2$, через сумму $a+b$ и разность $a-b$, необходимо использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности.

1. Запишем формулу квадрата суммы:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

2. Запишем формулу квадрата разности:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

3. Теперь сложим левые и правые части этих двух равенств:
$(a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

4. Упростим правую часть полученного выражения. Слагаемые $2ab$ и $-2ab$ взаимно уничтожаются, а $a^2$ и $b^2$ удваиваются:
$(a+b)^2 + (a-b)^2 = a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2$

5. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$

6. Из этого равенства выразим искомую сумму квадратов $a^2 + b^2$, разделив обе части на 2:
$a^2 + b^2 = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{2}$

Таким образом, сумма квадратов чисел $a$ и $b$ равна половине суммы квадрата их суммы и квадрата их разности.
Ответ: $a^2 + b^2 = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{2}$.

5.28. Выразите выражение $4ab$ через $a+b$ и $a-b$.

Для того чтобы выразить выражение $4ab$ через $a+b$ и $a-b$, воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности.

Запишем формулу квадрата суммы:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Запишем формулу квадрата разности:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Теперь вычтем из выражения для квадрата суммы выражение для квадрата разности:
$(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки в правой части равенства. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:
$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab) = 0 + 0 + 4ab = 4ab$

Таким образом, мы получили искомое тождество, которое выражает $4ab$ через $a+b$ и $a-b$.
$4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2$

Ответ: $4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2$.

5.29. Докажите тождество:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, $(a+b+c)^2$. Мы можем сделать это, раскрыв скобки.

Один из способов — это представить $(a+b+c)$ как сумму двух слагаемых, например, $((a+b)+c)$, и затем использовать известную формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Пусть $x = a+b$ и $y = c$. Тогда:

$(a+b+c)^2 = ((a+b)+c)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$

Теперь раскроем скобки в полученном выражении. Снова применим формулу квадрата суммы для $(a+b)^2$ и распределительный закон для $2(a+b)c$:

1. $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

2. $2(a+b)c = 2ac+2bc$

Подставим эти раскрытые выражения обратно в наше уравнение:

$(a^2+2ab+b^2) + (2ac+2bc) + c^2$

Уберем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы привести их к стандартному виду (сначала квадраты, затем попарные произведения):

$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Путем алгебраических преобразований левой части равенства $(a+b+c)^2$ мы получили выражение $a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, которое идентично правой части. Таким образом, тождество доказано.

5.30. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $((a+b)^2)^2;$

2) $(a-b)^4.$

1)

Чтобы представить выражение $((a+b)^2)^2$ в виде многочлена, можно воспользоваться свойством степени $(x^m)^n = x^{mn}$.

$((a+b)^2)^2 = (a+b)^{2 \cdot 2} = (a+b)^4$

Теперь раскроем выражение $(a+b)^4$. Это можно сделать, представив его как квадрат выражения $(a+b)^2$.

$(a+b)^4 = ((a+b)^2)^2$

Сначала найдем $(a+b)^2$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Теперь возведем полученный трехчлен в квадрат:

$(a+b)^4 = (a^2 + 2ab + b^2)^2$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата трехчлена $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$, где $x=a^2$, $y=2ab$ и $z=b^2$.

$(a^2 + 2ab + b^2)^2 = (a^2)^2 + (2ab)^2 + (b^2)^2 + 2(a^2)(2ab) + 2(a^2)(b^2) + 2(2ab)(b^2)$

Выполним действия:

$= a^4 + 4a^2b^2 + b^4 + 4a^3b + 2a^2b^2 + 4ab^3$

Приведем подобные слагаемые, расположив их в стандартном виде (по убыванию степеней переменной $a$):

$= a^4 + 4a^3b + (4a^2b^2 + 2a^2b^2) + 4ab^3 + b^4$

$= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Ответ: $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

2)

Чтобы представить выражение $(a-b)^4$ в виде многочлена, представим его как квадрат выражения $(a-b)^2$:

$(a-b)^4 = ((a-b)^2)^2$

Сначала найдем $(a-b)^2$ по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Теперь возведем полученный трехчлен в квадрат:

$(a^2 - 2ab + b^2)^2$

Сделаем это по аналогии с первым пунктом, используя формулу квадрата трехчлена:

$= (a^2)^2 + (-2ab)^2 + (b^2)^2 + 2(a^2)(-2ab) + 2(a^2)(b^2) + 2(-2ab)(b^2)$

Выполним действия:

$= a^4 + 4a^2b^2 + b^4 - 4a^3b + 2a^2b^2 - 4ab^3$

Приведем подобные слагаемые, расположив их в порядке убывания степени переменной $a$:

$= a^4 - 4a^3b + (4a^2b^2 + 2a^2b^2) - 4ab^3 + b^4$

$= a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

Ответ: $a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$