Номер 5.22, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.22. Выполните действия:

1) $((3a+b)^2-(a+3b)^2) \cdot 2ab;$

2) $((x^2+2x)^2+(2x^2-x)^2):(5x^2).$

1) $((3a+b)^2-(a+3b)^2) \cdot 2ab$

Сначала упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В данном случае $x = 3a+b$, а $y = a+3b$.

$(3a+b)^2-(a+3b)^2 = ((3a+b)-(a+3b))((3a+b)+(a+3b))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые в каждой из полученных скобок:

$(3a+b-a-3b)(3a+b+a+3b) = (2a-2b)(4a+4b)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$2(a-b) \cdot 4(a+b) = 8(a-b)(a+b)$

Снова применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$8(a^2-b^2) = 8a^2 - 8b^2$

Теперь умножим полученное выражение на $2ab$:

$(8a^2-8b^2) \cdot 2ab = 8a^2 \cdot 2ab - 8b^2 \cdot 2ab = 16a^3b - 16ab^3$

Ответ: $16a^3b - 16ab^3$.

2) $((x^2+2x)^2+(2x^2-x)^2):(5x^2)$

Сначала выполним действия в скобках. Для этого раскроем каждый квадрат, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Раскроем первый квадрат:

$(x^2+2x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 2x + (2x)^2 = x^4 + 4x^3 + 4x^2$

Раскроем второй квадрат:

$(2x^2-x)^2 = (2x^2)^2 - 2 \cdot 2x^2 \cdot x + x^2 = 4x^4 - 4x^3 + x^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(x^4 + 4x^3 + 4x^2) + (4x^4 - 4x^3 + x^2) = x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 4x^4 - 4x^3 + x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^4+4x^4) + (4x^3-4x^3) + (4x^2+x^2) = 5x^4 + 5x^2$

Теперь разделим полученный многочлен на $5x^2$. Запишем деление в виде дроби:

$\frac{5x^4 + 5x^2}{5x^2}$

Вынесем общий множитель $5x^2$ в числителе за скобки:

$\frac{5x^2(x^2 + 1)}{5x^2}$

Сократим дробь на $5x^2$ (при условии, что $x \neq 0$):

$x^2+1$

Ответ: $x^2+1$.