Номер 5.18, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.18. Замените $\Box$ одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

1) $(\Box + 2b^2)^2 = 9a^4 + 12a^2b^2 + 4b^4$;

2) $(15m + \Box)^2 = 225m^2 + 12n^3m + 0.16n^6$;

3) $(3x^2 - 2.5y)^2 = 9x^4 - \Box + 6.25y^2$;

4) $(3x^4 - 2a^6)^2 = 9x^8 - 12x^4a^6 + \Box$.

1) $(\square + 2b^2)^2 = 9a^4 + 12a^2b^2 + 4b^4$

Данное равенство основано на формуле квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Правая часть равенства $9a^4 + 12a^2b^2 + 4b^4$ представляет собой полный квадрат. Давайте определим его составляющие.

Первый член: $9a^4 = (3a^2)^2$.

Третий член: $4b^4 = (2b^2)^2$.

Средний член (удвоенное произведение) должен быть $2 \cdot (3a^2) \cdot (2b^2) = 12a^2b^2$, что соответствует выражению в правой части.

Таким образом, правая часть равна $(3a^2 + 2b^2)^2$.

Теперь сравним это с левой частью исходного равенства: $(\square + 2b^2)^2 = (3a^2 + 2b^2)^2$.

Отсюда видно, что недостающий одночлен в квадрате (☐) равен $3a^2$.

Ответ: $3a^2$.

2) $(15m + \square)^2 = 225m^2 + 12n^3m + 0,16n^6$

Это также формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В левой части нам известен первый член $a = 15m$. Его квадрат $a^2 = (15m)^2 = 225m^2$ соответствует первому члену в правой части.

Пусть неизвестный одночлен (☐) будет $b$. Тогда правая часть должна иметь вид $a^2 + 2ab + b^2$.

Сравним с правой частью: $225m^2 + 12mn^3 + 0,16n^6$.

Последний член в правой части $0,16n^6$ должен быть равен $b^2$.

Значит, $b^2 = 0,16n^6$. Найдем $b$, извлекая квадратный корень: $b = \sqrt{0,16n^6} = 0,4n^3$.

Проверим средний член (удвоенное произведение): $2ab = 2 \cdot (15m) \cdot (0,4n^3) = 30m \cdot 0,4n^3 = 12mn^3$. Это совпадает со средним членом в правой части ($12n^3m$).

Следовательно, недостающий одночлен равен $0,4n^3$.

Ответ: $0,4n^3$.

3) $(3x^2 - 2,5y)^2 = 9x^4 - \square + 6,25y^2$

Здесь применяется формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В левой части имеем $a = 3x^2$ и $b = 2,5y$.

Раскроем скобки по формуле:

Первый член: $a^2 = (3x^2)^2 = 9x^4$.

Третий член: $b^2 = (2,5y)^2 = 6,25y^2$.

Средний член (удвоенное произведение со знаком минус): $2ab = 2 \cdot (3x^2) \cdot (2,5y) = 15x^2y$.

Таким образом, $(3x^2 - 2,5y)^2 = 9x^4 - 15x^2y + 6,25y^2$.

Сравнивая это выражение с правой частью исходного равенства $9x^4 - \square + 6,25y^2$, видим, что недостающий одночлен (☐) равен $15x^2y$.

Ответ: $15x^2y$.

4) $(3x^4 - 2a^6)^2 = 9x^8 - 12x^4a^6 + \square$

Снова используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В левой части $a = 3x^4$ и $b = 2a^6$.

Раскроем скобки по формуле:

Первый член: $a^2 = (3x^4)^2 = 9x^8$.

Средний член (удвоенное произведение со знаком минус): $2ab = 2 \cdot (3x^4) \cdot (2a^6) = 12x^4a^6$.

Третий член: $b^2 = (2a^6)^2 = 4(a^6)^2 = 4a^{12}$.

Полное выражение: $(3x^4 - 2a^6)^2 = 9x^8 - 12x^4a^6 + 4a^{12}$.

Сравнивая результат с правой частью исходного равенства $9x^8 - 12x^4a^6 + \square$, находим, что недостающий одночлен (☐) — это $4a^{12}$.

Ответ: $4a^{12}$.