Номер 5.20, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.20. Найдите корни уравнений:

1) $16x(2-x)+(4x-5)^2=0;$

2) $9y(y+6)-(3y+1)^2=-1;$

3) $0,5(x-6)^2+2x\left(8-\frac{x}{4}\right)=2;$

4) $y+(5y+2)^2=25(2+y^2).$

1) $16x(2-x)+(4x-5)²=0$

Сначала раскроем скобки. Для первого слагаемого используем распределительный закон умножения, а для второго — формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)² = a² - 2ab + b²$.

$16x \cdot 2 - 16x \cdot x + (4x)² - 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5² = 0$

$32x - 16x² + 16x² - 40x + 25 = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x²$ взаимно уничтожаются.

$(32x - 40x) + (-16x² + 16x²) + 25 = 0$

$-8x + 25 = 0$

Перенесем числовое слагаемое в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-8x = -25$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -8:

$x = \frac{-25}{-8}$

$x = \frac{25}{8}$

Можно представить ответ в виде десятичной дроби: $x = 3,125$.

Ответ: $\frac{25}{8}$.

2) $9y(y+6)-(3y+1)²=-1$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем распределительный закон, для второго — формулу "квадрат суммы": $(a+b)² = a² + 2ab + b²$.

$9y \cdot y + 9y \cdot 6 - ((3y)² + 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1²) = -1$

$9y² + 54y - (9y² + 6y + 1) = -1$

Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$9y² + 54y - 9y² - 6y - 1 = -1$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $y²$ взаимно уничтожаются.

$(9y² - 9y²) + (54y - 6y) - 1 = -1$

$48y - 1 = -1$

Перенесем -1 из левой части в правую:

$48y = -1 + 1$

$48y = 0$

Найдем $y$:

$y = \frac{0}{48}$

$y=0$

Ответ: $0$.

3) $0,5(x-6)²+2x(8-\frac{x}{4})=2$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности, а для второго — распределительный закон.

$0,5(x² - 2 \cdot x \cdot 6 + 6²) + 2x \cdot 8 - 2x \cdot \frac{x}{4} = 2$

$0,5(x² - 12x + 36) + 16x - \frac{2x²}{4} = 2$

Продолжаем раскрывать скобки и упрощать:

$0,5x² - 6x + 18 + 16x - 0,5x² = 2$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x²$ взаимно уничтожаются.

$(0,5x² - 0,5x²) + (-6x + 16x) + 18 = 2$

$10x + 18 = 2$

Перенесем 18 в правую часть уравнения:

$10x = 2 - 18$

$10x = -16$

Найдем $x$:

$x = \frac{-16}{10}$

$x = -1,6$

Ответ: $-1,6$.

4) $y+(5y+2)²=25(2+y²)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу квадрата суммы.

$y + ((5y)² + 2 \cdot 5y \cdot 2 + 2²) = 25 \cdot 2 + 25 \cdot y²$

$y + (25y² + 20y + 4) = 50 + 25y²$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$25y² + (y + 20y) + 4 = 50 + 25y²$

$25y² + 21y + 4 = 50 + 25y²$

Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.

$25y² - 25y² + 21y = 50 - 4$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $y²$ взаимно уничтожаются.

$21y = 46$

Найдем $y$:

$y = \frac{46}{21}$

Ответ: $\frac{46}{21}$.