Номер 5.16, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.16. С помощью рисунка 5.1 разъясните геометрический смысл формулы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для положительных $a$ и $b$.

Геометрический смысл формулы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для положительных $a$ и $b$ можно разъяснить, рассмотрев площадь квадрата. Хотя рисунок 5.1 не представлен, стандартная геометрическая интерпретация этой формулы заключается в следующем:

1. Рассмотрим большой квадрат, длина стороны которого равна сумме двух положительных отрезков $a$ и $b$. Таким образом, сторона этого квадрата равна $(a+b)$.

2. Площадь этого большого квадрата, по определению, равна квадрату его стороны. Обозначим ее $S$.

$S = (a+b) \cdot (a+b) = (a+b)^2$

3. Теперь разделим каждую сторону этого большого квадрата на два отрезка: один длиной $a$, а другой длиной $b$. Проведем через точки деления прямые, параллельные сторонам квадрата. В результате большой квадрат разобьется на четыре меньшие фигуры:

• Один квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $S_1 = a^2$.
• Один квадрат со стороной $b$. Его площадь равна $S_2 = b^2$.
• Два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Площадь каждого из них равна $S_3 = S_4 = a \cdot b$.

4. Очевидно, что площадь большого квадрата равна сумме площадей четырех фигур, на которые он разделен.

$S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$

Подставим значения площадей:

$S = a^2 + b^2 + ab + ab$

Упростив выражение, получим:

$S = a^2 + 2ab + b^2$

5. Приравнивая два выражения для площади $S$, которые мы получили, приходим к искомой формуле:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, геометрический смысл этой формулы заключается в том, что площадь квадрата со стороной $(a+b)$ равна сумме площадей квадрата со стороной $a$, квадрата со стороной $b$ и двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$.

Ответ: Геометрически формула квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ означает, что площадь квадрата, сторона которого равна сумме отрезков $a$ и $b$, равна сумме площадей двух квадратов со сторонами $a$ и $b$ и двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$.