Номер 5.9, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.9. Замените $\square$ одночленом так, чтобы трехчлен можно было представить в виде квадрата двучлена:

1) $\square + 2ac + c^2;$

2) $m^2 - \square + n^2;$

3) $x^2 - 4xy + \square;$

4) $a^2 + 2ca + \square;$

5) $\square + 14c + 49;$

6) $k^2 - \square + 9.$

1) Для того чтобы трехчлен $☐ + 2ac + c^2$ можно было представить в виде квадрата двучлена, он должен соответствовать формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В данном выражении член $c^2$ соответствует $y^2$, следовательно, $y = c$. Средний член $2ac$ соответствует удвоенному произведению $2xy$. Подставив $y=c$, получаем $2xc = 2ac$. Отсюда следует, что $x=a$. Таким образом, недостающий член $☐$ должен быть равен $x^2$, то есть $a^2$. Проверим полученное выражение: $a^2 + 2ac + c^2 = (a+c)^2$. Это действительно квадрат двучлена.

Ответ: $a^2$

2) Трехчлен $m^2 - ☐ + n^2$ должен соответствовать формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, так как между крайними членами стоит знак минус. Первый член $m^2$ соответствует $x^2$, значит, $x=m$. Третий член $n^2$ соответствует $y^2$, значит, $y=n$. Пропущенный член $☐$ соответствует удвоенному произведению $2xy$. Вычисляем его: $2xy = 2 \cdot m \cdot n = 2mn$. Проверим полученное выражение: $m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$. Это квадрат двучлена.

Ответ: $2mn$

3) Трехчлен $x^2 - 4xy + ☐$ должен соответствовать формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Первый член $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $a=x$. Средний член $-4xy$ соответствует удвоенному произведению $-2ab$. Значит, $2ab = 4xy$. Подставим $a=x$ в это равенство: $2xb = 4xy$. Разделив обе части на $2x$, получим $b = 2y$. Пропущенный член $☐$ должен быть равен $b^2$. Вычисляем его: $b^2 = (2y)^2 = 4y^2$. Проверим полученное выражение: $x^2 - 4xy + 4y^2 = (x-2y)^2$. Это квадрат двучлена.

Ответ: $4y^2$

4) Трехчлен $a^2 + 2ca + ☐$ должен соответствовать формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Первый член $a^2$ соответствует $x^2$, значит, $x=a$. Средний член $2ca$ соответствует удвоенному произведению $2xy$. Значит, $2xy = 2ca$. Подставим $x=a$: $2ay = 2ca$. Разделив обе части на $2a$, получим $y=c$. Пропущенный член $☐$ должен быть равен $y^2$. Вычисляем его: $y^2 = c^2$. Проверим полученное выражение: $a^2 + 2ca + c^2 = (a+c)^2$. Это квадрат двучлена.

Ответ: $c^2$

5) Трехчлен $☐ + 14c + 49$ должен соответствовать формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Последний член $49$ является квадратом числа $7$, то есть $b^2 = 49$, откуда $b=7$. Средний член $14c$ соответствует удвоенному произведению $2ab$. Значит, $2ab = 14c$. Подставим $b=7$: $2a \cdot 7 = 14c$, что дает $14a=14c$. Отсюда $a=c$. Пропущенный член $☐$ должен быть равен $a^2$. Вычисляем его: $a^2 = c^2$. Проверим полученное выражение: $c^2 + 14c + 49 = (c+7)^2$. Это квадрат двучлена.

Ответ: $c^2$

6) Трехчлен $k^2 - ☐ + 9$ должен соответствовать формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Первый член $k^2$ соответствует $a^2$, значит, $a=k$. Третий член $9$ является квадратом числа $3$, то есть $b^2=9$, откуда $b=3$. Пропущенный член $☐$ соответствует удвоенному произведению $2ab$. Вычисляем его: $2ab = 2 \cdot k \cdot 3 = 6k$. Проверим полученное выражение: $k^2 - 6k + 9 = (k-3)^2$. Это квадрат двучлена.

Ответ: $6k$