Номер 5.6, страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.6. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

1) $x^2+2xy+y^2$;

2) $a^2+2a+1$;

3) $b^2-6b+9$;

4) $c^2-10c+25$;

5) $4m^2+4m+1$;

6) $16-8c+c^2$.

Чтобы представить трехчлен в виде квадрата двучлена, используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

Нужно определить, какая из формул подходит для каждого выражения, и найти соответствующие значения $a$ и $b$.

1) Для трехчлена $x^2+2xy+y^2$ мы видим, что первый член — это квадрат $x$ ($x^2$), последний член — это квадрат $y$ ($y^2$), а средний член — это удвоенное произведение $x$ и $y$ ($2xy$). Это в точности соответствует формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$, где $a=x$ и $b=y$.

Ответ: $(x+y)^2$

2) В выражении $a^2+2a+1$ первый член — это квадрат $a$ ($a^2$), последний член — это $1$, что является квадратом $1$ ($1^2=1$). Средний член $2a$ можно представить как удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot 1$. Таким образом, выражение соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x=a$ и $y=1$.

Ответ: $(a+1)^2$

3) Трехчлен $b^2-6b+9$ имеет отрицательный средний член, что указывает на формулу квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. Здесь первый член $b^2$ — это квадрат $b$. Последний член $9$ — это квадрат $3$ ($3^2=9$). Проверим средний член: удвоенное произведение $b$ и $3$ со знаком минус равно $2 \cdot b \cdot 3 = 6b$. Значит, $b^2-6b+9$ соответствует формуле, где $a=b$ и $b=3$.

Ответ: $(b-3)^2$

4) В выражении $c^2-10c+25$ мы снова видим структуру квадрата разности. Первый член $c^2$ — квадрат $c$. Последний член $25$ — квадрат $5$ ($5^2=25$). Средний член $-10c$ — это удвоенное произведение $c$ и $5$ со знаком минус: $-2 \cdot c \cdot 5 = -10c$. Следовательно, применяем формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ для $a=c$ и $b=5$.

Ответ: $(c-5)^2$

5) Для трехчлена $4m^2+4m+1$ используем формулу квадрата суммы. Первый член $4m^2$ — это квадрат $2m$, так как $(2m)^2=4m^2$. Последний член $1$ — это квадрат $1$. Средний член $4m$ — это удвоенное произведение $2m$ и $1$: $2 \cdot (2m) \cdot 1 = 4m$. Таким образом, выражение можно свернуть по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a=2m$ и $b=1$.

Ответ: $(2m+1)^2$

6) В выражении $16-8c+c^2$ члены расположены не в стандартном порядке, но оно все равно соответствует формуле квадрата разности. Здесь $16$ — это квадрат $4$ ($4^2=16$), $c^2$ — это квадрат $c$. Средний член $-8c$ — это удвоенное произведение $4$ и $c$ со знаком минус: $-2 \cdot 4 \cdot c = -8c$. Таким образом, мы можем применить формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=4$ и $b=c$. Также можно было бы переставить члены: $c^2-8c+16$, что привело бы к результату $(c-4)^2$. Оба ответа эквивалентны, так как $(4-c)^2 = (c-4)^2$.

Ответ: $(4-c)^2$ или $(c-4)^2$