Номер 5.14, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.14. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

1) $25x^2+49y^2-70xy;$

2) $\frac{1}{4}a^2+3a+9;$

3) $\frac{25}{36}m^2-mn+\frac{9}{25}n^2;$

4) $\frac{1}{16}c^4+2c^2x+16x^2;$

5) $0,01a^4+b^2-0,2a^2b;$

6) $b^8-a^2b^4+\frac{1}{4}a^4.$

1) Чтобы представить выражение $25x^2 + 49y^2 - 70xy$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулами сокращенного умножения, а именно формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Сначала переставим члены выражения в стандартном порядке: $25x^2 - 70xy + 49y^2$.
Теперь определим, что является $a$ и $b$ в нашем случае.
Первый член $25x^2$ можно представить как $(5x)^2$. Следовательно, $a = 5x$.
Третий член $49y^2$ можно представить как $(7y)^2$. Следовательно, $b = 7y$.
Проверим, является ли средний член $-70xy$ удвоенным произведением $a$ и $b$ со знаком минус: $-2ab = -2 \cdot (5x) \cdot (7y) = -10x \cdot 7y = -70xy$.
Так как все условия выполнены, исходное выражение является квадратом разности $5x$ и $7y$.
$25x^2 - 70xy + 49y^2 = (5x - 7y)^2$.
Ответ: $(5x - 7y)^2$

2) Рассмотрим выражение $\frac{1}{4}a^2 + 3a + 9$.
Здесь мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $\frac{1}{4}a^2 = (\frac{1}{2}a)^2$. Значит, первый член двучлена равен $\frac{1}{2}a$.
Третий член $9 = 3^2$. Значит, второй член двучлена равен $3$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго членов: $2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot 3 = a \cdot 3 = 3a$.
Средний член совпадает, поэтому выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы.
$\frac{1}{4}a^2 + 3a + 9 = (\frac{1}{2}a + 3)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{2}a + 3)^2$

3) Рассмотрим выражение $\frac{25}{36}m^2 - mn + \frac{9}{25}n^2$.
Это похоже на формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $\frac{25}{36}m^2 = (\frac{5}{6}m)^2$. Следовательно, $a = \frac{5}{6}m$.
Третий член $\frac{9}{25}n^2 = (\frac{3}{5}n)^2$. Следовательно, $b = \frac{3}{5}n$.
Проверим средний член. Он должен быть равен $-2ab$: $-2 \cdot (\frac{5}{6}m) \cdot (\frac{3}{5}n) = -2 \cdot \frac{15}{30}mn = -2 \cdot \frac{1}{2}mn = -mn$.
Средний член совпадает, значит, выражение является квадратом разности.
$\frac{25}{36}m^2 - mn + \frac{9}{25}n^2 = (\frac{5}{6}m - \frac{3}{5}n)^2$.
Ответ: $(\frac{5}{6}m - \frac{3}{5}n)^2$

4) Рассмотрим выражение $\frac{1}{16}c^4 + 2c^2x + 16x^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $\frac{1}{16}c^4 = (\frac{1}{4}c^2)^2$. Значит, $a = \frac{1}{4}c^2$.
Третий член $16x^2 = (4x)^2$. Значит, $b = 4x$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (\frac{1}{4}c^2) \cdot (4x) = \frac{2 \cdot 4}{4}c^2x = 2c^2x$.
Все члены совпадают с формулой.
$\frac{1}{16}c^4 + 2c^2x + 16x^2 = (\frac{1}{4}c^2 + 4x)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{4}c^2 + 4x)^2$

5) Рассмотрим выражение $0,01a^4 + b^2 - 0,2a^2b$.
Переставим члены, чтобы они соответствовали стандартному виду формулы квадрата разности: $0,01a^4 - 0,2a^2b + b^2$.
Формула: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Определим $x$ и $y$.
Первый член $0,01a^4 = (0,1a^2)^2$. Значит, $x = 0,1a^2$.
Третий член $b^2 = (b)^2$. Значит, $y = b$.
Проверим средний член: $-2xy = -2 \cdot (0,1a^2) \cdot b = -0,2a^2b$.
Средний член совпадает, следовательно, выражение является квадратом разности.
$0,01a^4 - 0,2a^2b + b^2 = (0,1a^2 - b)^2$.
Ответ: $(0,1a^2 - b)^2$

6) Рассмотрим выражение $b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4$.
Будем использовать формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Определим $x$ и $y$.
Первый член $b^8 = (b^4)^2$. Значит, $x = b^4$.
Третий член $\frac{1}{4}a^4 = (\frac{1}{2}a^2)^2$. Значит, $y = \frac{1}{2}a^2$.
Проверим средний член: $-2xy = -2 \cdot (b^4) \cdot (\frac{1}{2}a^2) = -a^2b^4$.
Средний член совпадает, следовательно, выражение можно представить в виде квадрата двучлена.
$b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4 = (b^4 - \frac{1}{2}a^2)^2$.
Ответ: $(b^4 - \frac{1}{2}a^2)^2$