Номер 5.17, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.17. С помощью рисунка 5.2 разъясните геометрический смысл формулы $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ для положительных $a$ и $b$.

Рис.5.1

Рис.5.2

Данная формула является одной из формул сокращенного умножения и известна как "квадрат разности". Её геометрический смысл можно легко понять с помощью рисунка 5.2, где $a$ и $b$ — длины отрезков, причем $a > b$.

Рассмотрим большой квадрат со стороной $a$. Его общая площадь равна $S_{total} = a \cdot a = a^2$.

В левой части формулы находится выражение $(a-b)^2$. На рисунке 5.2 это площадь внутреннего квадрата, расположенного в левом нижнем углу. Его стороны равны $a-b$, так как от каждой стороны большого квадрата $a$ отрезается отрезок длиной $b$.

Теперь рассмотрим правую часть формулы: $a^2 - 2ab + b^2$. Её можно интерпретировать как последовательность действий с площадями на рисунке:

1. Берем площадь большого квадрата со стороной $a$, которая равна $a^2$.

2. Из этой площади вычитаем площадь двух прямоугольников. Первый — это верхний горизонтальный прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ (его площадь $ab$). Второй — это правый вертикальный прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ (его площадь также $ab$). Суммарно мы вычитаем $2ab$.

3. Когда мы вычитали площади этих двух прямоугольников, мы дважды вычли площадь их пересечения. Областью пересечения является маленький квадрат в правом верхнем углу со стороной $b$ и площадью $b^2$. Так как мы вычли эту площадь дважды, а должны были вычесть только один раз (как часть "уголка", который мы удаляем), для коррекции необходимо один раз прибавить эту площадь обратно. Это и есть член $+b^2$ в формуле.

Таким образом, выражение $a^2 - 2ab + b^2$ представляет собой площадь большого квадрата, из которого вычли площадь двух прямоугольников, перекрывающих друг друга, с последующей компенсацией дважды вычтенной площади их пересечения. Результатом этих действий является площадь оставшейся фигуры — квадрата со стороной $(a-b)$.

Поскольку и левая часть $(a-b)^2$, и правая часть $a^2 - 2ab + b^2$ описывают площадь одной и той же фигуры, они равны.

Ответ: Геометрический смысл формулы состоит в том, что площадь квадрата со стороной $(a-b)$ равна площади большого квадрата со стороной $a$, из которой вычтены площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$, и затем добавлена площадь квадрата со стороной $b$, чтобы скомпенсировать ее двойное вычитание.