Страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.13. Преобразуйте выражение:

1) $(\frac{3}{4}a^2 - 0.5b^3)^2$;

2) $(1\frac{2}{3}x^2 + 0.6y^4)^2$;

3) $(b^n-b)^2$;

4) $(x^m-x)^2$;

5) $(c^{k+1}+c^k)^2$;

6) $(a^m+b^n)^2$.

1) Для преобразования выражения $(\frac{3}{4}a^2 - 0,5b^3)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x = \frac{3}{4}a^2$ и $y = 0,5b^3$. Представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$ для удобства вычислений.
Выполним возведение в квадрат по частям:
- Квадрат первого члена: $(\frac{3}{4}a^2)^2 = (\frac{3}{4})^2 \cdot (a^2)^2 = \frac{9}{16}a^4$.
- Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot \frac{3}{4}a^2 \cdot \frac{1}{2}b^3 = (2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2})a^2b^3 = \frac{6}{8}a^2b^3 = \frac{3}{4}a^2b^3$.
- Квадрат второго члена: $(\frac{1}{2}b^3)^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot (b^3)^2 = \frac{1}{4}b^6$.
Соединив все части, получаем: $\frac{9}{16}a^4 - \frac{3}{4}a^2b^3 + \frac{1}{4}b^6$.
Ответ: $\frac{9}{16}a^4 - \frac{3}{4}a^2b^3 + \frac{1}{4}b^6$.

2) Для преобразования выражения $(1\frac{2}{3}x^2 + 0,6y^4)^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Сначала преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби.
$1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ и $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Таким образом, выражение имеет вид $(\frac{5}{3}x^2 + \frac{3}{5}y^4)^2$.
Применим формулу:
- Квадрат первого члена: $(\frac{5}{3}x^2)^2 = (\frac{5}{3})^2 \cdot (x^2)^2 = \frac{25}{9}x^4$.
- Удвоенное произведение членов: $2 \cdot \frac{5}{3}x^2 \cdot \frac{3}{5}y^4 = (2 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5})x^2y^4 = 2x^2y^4$.
- Квадрат второго члена: $(\frac{3}{5}y^4)^2 = (\frac{3}{5})^2 \cdot (y^4)^2 = \frac{9}{25}y^8$.
Результат: $\frac{25}{9}x^4 + 2x^2y^4 + \frac{9}{25}y^8$.
Ответ: $\frac{25}{9}x^4 + 2x^2y^4 + \frac{9}{25}y^8$.

3) Выражение $(b^n - b)^2$ преобразуется по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = b^n$ и $y = b$. Применим правила действий со степенями: $(a^m)^k = a^{mk}$ и $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.
- Квадрат первого члена: $(b^n)^2 = b^{n \cdot 2} = b^{2n}$.
- Удвоенное произведение членов: $2 \cdot b^n \cdot b = 2 \cdot b^n \cdot b^1 = 2b^{n+1}$.
- Квадрат второго члена: $b^2$.
Результат: $b^{2n} - 2b^{n+1} + b^2$.
Ответ: $b^{2n} - 2b^{n+1} + b^2$.

4) Выражение $(x^m - x)^2$ преобразуется по аналогии с предыдущим примером, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = x^m$ и $b = x$.
- Квадрат первого члена: $(x^m)^2 = x^{m \cdot 2} = x^{2m}$.
- Удвоенное произведение членов: $2 \cdot x^m \cdot x = 2 \cdot x^m \cdot x^1 = 2x^{m+1}$.
- Квадрат второго члена: $x^2$.
Результат: $x^{2m} - 2x^{m+1} + x^2$.
Ответ: $x^{2m} - 2x^{m+1} + x^2$.

5) Для выражения $(c^{k+1} + c^k)^2$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = c^{k+1}$ и $b = c^k$. Используем правила действий со степенями.
- Квадрат первого члена: $(c^{k+1})^2 = c^{(k+1) \cdot 2} = c^{2k+2}$.
- Удвоенное произведение членов: $2 \cdot c^{k+1} \cdot c^k = 2c^{(k+1)+k} = 2c^{2k+1}$.
- Квадрат второго члена: $(c^k)^2 = c^{k \cdot 2} = c^{2k}$.
Результат: $c^{2k+2} + 2c^{2k+1} + c^{2k}$.
Ответ: $c^{2k+2} + 2c^{2k+1} + c^{2k}$.

6) Выражение $(a^m + b^n)^2$ является общим случаем возведения в квадрат суммы двух одночленов. Используем формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x = a^m$ и $y = b^n$.
- Квадрат первого члена: $(a^m)^2 = a^{m \cdot 2} = a^{2m}$.
- Удвоенное произведение членов: $2 \cdot a^m \cdot b^n = 2a^mb^n$.
- Квадрат второго члена: $(b^n)^2 = b^{n \cdot 2} = b^{2n}$.
Результат: $a^{2m} + 2a^mb^n + b^{2n}$.
Ответ: $a^{2m} + 2a^mb^n + b^{2n}$.

5.14. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

1) $25x^2+49y^2-70xy;$

2) $\frac{1}{4}a^2+3a+9;$

3) $\frac{25}{36}m^2-mn+\frac{9}{25}n^2;$

4) $\frac{1}{16}c^4+2c^2x+16x^2;$

5) $0,01a^4+b^2-0,2a^2b;$

6) $b^8-a^2b^4+\frac{1}{4}a^4.$

1) Чтобы представить выражение $25x^2 + 49y^2 - 70xy$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулами сокращенного умножения, а именно формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Сначала переставим члены выражения в стандартном порядке: $25x^2 - 70xy + 49y^2$.
Теперь определим, что является $a$ и $b$ в нашем случае.
Первый член $25x^2$ можно представить как $(5x)^2$. Следовательно, $a = 5x$.
Третий член $49y^2$ можно представить как $(7y)^2$. Следовательно, $b = 7y$.
Проверим, является ли средний член $-70xy$ удвоенным произведением $a$ и $b$ со знаком минус: $-2ab = -2 \cdot (5x) \cdot (7y) = -10x \cdot 7y = -70xy$.
Так как все условия выполнены, исходное выражение является квадратом разности $5x$ и $7y$.
$25x^2 - 70xy + 49y^2 = (5x - 7y)^2$.
Ответ: $(5x - 7y)^2$

2) Рассмотрим выражение $\frac{1}{4}a^2 + 3a + 9$.
Здесь мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $\frac{1}{4}a^2 = (\frac{1}{2}a)^2$. Значит, первый член двучлена равен $\frac{1}{2}a$.
Третий член $9 = 3^2$. Значит, второй член двучлена равен $3$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго членов: $2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot 3 = a \cdot 3 = 3a$.
Средний член совпадает, поэтому выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы.
$\frac{1}{4}a^2 + 3a + 9 = (\frac{1}{2}a + 3)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{2}a + 3)^2$

3) Рассмотрим выражение $\frac{25}{36}m^2 - mn + \frac{9}{25}n^2$.
Это похоже на формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $\frac{25}{36}m^2 = (\frac{5}{6}m)^2$. Следовательно, $a = \frac{5}{6}m$.
Третий член $\frac{9}{25}n^2 = (\frac{3}{5}n)^2$. Следовательно, $b = \frac{3}{5}n$.
Проверим средний член. Он должен быть равен $-2ab$: $-2 \cdot (\frac{5}{6}m) \cdot (\frac{3}{5}n) = -2 \cdot \frac{15}{30}mn = -2 \cdot \frac{1}{2}mn = -mn$.
Средний член совпадает, значит, выражение является квадратом разности.
$\frac{25}{36}m^2 - mn + \frac{9}{25}n^2 = (\frac{5}{6}m - \frac{3}{5}n)^2$.
Ответ: $(\frac{5}{6}m - \frac{3}{5}n)^2$

4) Рассмотрим выражение $\frac{1}{16}c^4 + 2c^2x + 16x^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $\frac{1}{16}c^4 = (\frac{1}{4}c^2)^2$. Значит, $a = \frac{1}{4}c^2$.
Третий член $16x^2 = (4x)^2$. Значит, $b = 4x$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (\frac{1}{4}c^2) \cdot (4x) = \frac{2 \cdot 4}{4}c^2x = 2c^2x$.
Все члены совпадают с формулой.
$\frac{1}{16}c^4 + 2c^2x + 16x^2 = (\frac{1}{4}c^2 + 4x)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{4}c^2 + 4x)^2$

5) Рассмотрим выражение $0,01a^4 + b^2 - 0,2a^2b$.
Переставим члены, чтобы они соответствовали стандартному виду формулы квадрата разности: $0,01a^4 - 0,2a^2b + b^2$.
Формула: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Определим $x$ и $y$.
Первый член $0,01a^4 = (0,1a^2)^2$. Значит, $x = 0,1a^2$.
Третий член $b^2 = (b)^2$. Значит, $y = b$.
Проверим средний член: $-2xy = -2 \cdot (0,1a^2) \cdot b = -0,2a^2b$.
Средний член совпадает, следовательно, выражение является квадратом разности.
$0,01a^4 - 0,2a^2b + b^2 = (0,1a^2 - b)^2$.
Ответ: $(0,1a^2 - b)^2$

6) Рассмотрим выражение $b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4$.
Будем использовать формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Определим $x$ и $y$.
Первый член $b^8 = (b^4)^2$. Значит, $x = b^4$.
Третий член $\frac{1}{4}a^4 = (\frac{1}{2}a^2)^2$. Значит, $y = \frac{1}{2}a^2$.
Проверим средний член: $-2xy = -2 \cdot (b^4) \cdot (\frac{1}{2}a^2) = -a^2b^4$.
Средний член совпадает, следовательно, выражение можно представить в виде квадрата двучлена.
$b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4 = (b^4 - \frac{1}{2}a^2)^2$.
Ответ: $(b^4 - \frac{1}{2}a^2)^2$

5.15. Можно ли трехчлен представить в виде квадрата двучлена:

1) $a^2-2a+4;$

2) $9m^2+100n^2-60mn;$

3) $4a^2+b^2-4ab;$

4) $81p^2-72pq-16q^2;$

5) $9x^8+4y^2-12x^4y;$

6) $a^2b^4-2ab^2x^4+x^8?$

Для того чтобы определить, можно ли трехчлен представить в виде квадрата двучлена, необходимо проверить, соответствует ли он одной из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
• Квадрат разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

Проанализируем каждый трехчлен:

1) $a^2 - 2a + 4$

Попробуем применить формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В данном трехчлене можно предположить, что $A^2 = a^2$, откуда $A=a$, и $B^2 = 4$, откуда $B=2$.

Тогда удвоенное произведение $2AB$ должно быть равно $2 \cdot a \cdot 2 = 4a$.

Однако в исходном трехчлене средний член равен $2a$, а не $4a$. Следовательно, этот трехчлен не является полным квадратом.

Ответ: нет.

2) $9m^2 + 100n^2 - 60mn$

Переставим члены, чтобы привести трехчлен к стандартному виду: $9m^2 - 60mn + 100n^2$.

Сравним с формулой $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Здесь $A^2 = 9m^2 = (3m)^2$, значит $A=3m$.

$B^2 = 100n^2 = (10n)^2$, значит $B=10n$.

Удвоенное произведение $2AB$ равно $2 \cdot (3m) \cdot (10n) = 60mn$.

Средний член в трехчлене равен $-60mn$, что соответствует формуле квадрата разности.

Таким образом, $9m^2 - 60mn + 100n^2 = (3m - 10n)^2$.

Ответ: да, $(3m-10n)^2$.

3) $4a^2 + b^2 - 4ab$

Приведем к стандартному виду: $4a^2 - 4ab + b^2$.

Сравним с формулой $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Здесь $A^2 = 4a^2 = (2a)^2$, откуда $A=2a$.

$B^2 = b^2$, откуда $B=b$.

Удвоенное произведение $2AB$ равно $2 \cdot (2a) \cdot b = 4ab$.

Средний член равен $-4ab$, что соответствует формуле.

Следовательно, $4a^2 - 4ab + b^2 = (2a - b)^2$.

Ответ: да, $(2a-b)^2$.

4) $81p^2 - 72pq - 16q^2$

В формулах квадрата двучлена $(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$ оба члена, являющиеся квадратами ($A^2$ и $B^2$), должны быть положительными.

В данном трехчлене присутствует член $-16q^2$. Так как он отрицателен, он не может быть представлен в виде квадрата действительного выражения. Следовательно, данный трехчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена.

Ответ: нет.

5) $9x^8 + 4y^2 - 12x^4y$

Приведем к стандартному виду: $9x^8 - 12x^4y + 4y^2$.

Сравним с формулой $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Здесь $A^2 = 9x^8 = (3x^4)^2$, значит $A=3x^4$.

$B^2 = 4y^2 = (2y)^2$, значит $B=2y$.

Удвоенное произведение $2AB$ равно $2 \cdot (3x^4) \cdot (2y) = 12x^4y$.

Средний член равен $-12x^4y$, что соответствует формуле.

Таким образом, $9x^8 - 12x^4y + 4y^2 = (3x^4 - 2y)^2$.

Ответ: да, $(3x^4-2y)^2$.

6) $a^2b^4 - 2ab^2x^4 + x^8$

Трехчлен уже представлен в стандартном виде. Сравним его с формулой $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Здесь $A^2 = a^2b^4 = (ab^2)^2$, значит $A=ab^2$.

$B^2 = x^8 = (x^4)^2$, значит $B=x^4$.

Удвоенное произведение $2AB$ равно $2 \cdot (ab^2) \cdot (x^4) = 2ab^2x^4$.

Средний член $-2ab^2x^4$ соответствует формуле квадрата разности.

Таким образом, $a^2b^4 - 2ab^2x^4 + x^8 = (ab^2 - x^4)^2$.

Ответ: да, $(ab^2-x^4)^2$.

5.16. С помощью рисунка 5.1 разъясните геометрический смысл формулы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для положительных $a$ и $b$.

Геометрический смысл формулы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для положительных $a$ и $b$ можно разъяснить, рассмотрев площадь квадрата. Хотя рисунок 5.1 не представлен, стандартная геометрическая интерпретация этой формулы заключается в следующем:

1. Рассмотрим большой квадрат, длина стороны которого равна сумме двух положительных отрезков $a$ и $b$. Таким образом, сторона этого квадрата равна $(a+b)$.

2. Площадь этого большого квадрата, по определению, равна квадрату его стороны. Обозначим ее $S$.

$S = (a+b) \cdot (a+b) = (a+b)^2$

3. Теперь разделим каждую сторону этого большого квадрата на два отрезка: один длиной $a$, а другой длиной $b$. Проведем через точки деления прямые, параллельные сторонам квадрата. В результате большой квадрат разобьется на четыре меньшие фигуры:

• Один квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $S_1 = a^2$.
• Один квадрат со стороной $b$. Его площадь равна $S_2 = b^2$.
• Два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Площадь каждого из них равна $S_3 = S_4 = a \cdot b$.

4. Очевидно, что площадь большого квадрата равна сумме площадей четырех фигур, на которые он разделен.

$S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$

Подставим значения площадей:

$S = a^2 + b^2 + ab + ab$

Упростив выражение, получим:

$S = a^2 + 2ab + b^2$

5. Приравнивая два выражения для площади $S$, которые мы получили, приходим к искомой формуле:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, геометрический смысл этой формулы заключается в том, что площадь квадрата со стороной $(a+b)$ равна сумме площадей квадрата со стороной $a$, квадрата со стороной $b$ и двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$.

Ответ: Геометрически формула квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ означает, что площадь квадрата, сторона которого равна сумме отрезков $a$ и $b$, равна сумме площадей двух квадратов со сторонами $a$ и $b$ и двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$.

5.17. С помощью рисунка 5.2 разъясните геометрический смысл формулы $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ для положительных $a$ и $b$.

Рис.5.1

Рис.5.2

Данная формула является одной из формул сокращенного умножения и известна как "квадрат разности". Её геометрический смысл можно легко понять с помощью рисунка 5.2, где $a$ и $b$ — длины отрезков, причем $a > b$.

Рассмотрим большой квадрат со стороной $a$. Его общая площадь равна $S_{total} = a \cdot a = a^2$.

В левой части формулы находится выражение $(a-b)^2$. На рисунке 5.2 это площадь внутреннего квадрата, расположенного в левом нижнем углу. Его стороны равны $a-b$, так как от каждой стороны большого квадрата $a$ отрезается отрезок длиной $b$.

Теперь рассмотрим правую часть формулы: $a^2 - 2ab + b^2$. Её можно интерпретировать как последовательность действий с площадями на рисунке:

1. Берем площадь большого квадрата со стороной $a$, которая равна $a^2$.

2. Из этой площади вычитаем площадь двух прямоугольников. Первый — это верхний горизонтальный прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ (его площадь $ab$). Второй — это правый вертикальный прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ (его площадь также $ab$). Суммарно мы вычитаем $2ab$.

3. Когда мы вычитали площади этих двух прямоугольников, мы дважды вычли площадь их пересечения. Областью пересечения является маленький квадрат в правом верхнем углу со стороной $b$ и площадью $b^2$. Так как мы вычли эту площадь дважды, а должны были вычесть только один раз (как часть "уголка", который мы удаляем), для коррекции необходимо один раз прибавить эту площадь обратно. Это и есть член $+b^2$ в формуле.

Таким образом, выражение $a^2 - 2ab + b^2$ представляет собой площадь большого квадрата, из которого вычли площадь двух прямоугольников, перекрывающих друг друга, с последующей компенсацией дважды вычтенной площади их пересечения. Результатом этих действий является площадь оставшейся фигуры — квадрата со стороной $(a-b)$.

Поскольку и левая часть $(a-b)^2$, и правая часть $a^2 - 2ab + b^2$ описывают площадь одной и той же фигуры, они равны.

Ответ: Геометрический смысл формулы состоит в том, что площадь квадрата со стороной $(a-b)$ равна площади большого квадрата со стороной $a$, из которой вычтены площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$, и затем добавлена площадь квадрата со стороной $b$, чтобы скомпенсировать ее двойное вычитание.

5.18. Замените $\Box$ одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

1) $(\Box + 2b^2)^2 = 9a^4 + 12a^2b^2 + 4b^4$;

2) $(15m + \Box)^2 = 225m^2 + 12n^3m + 0.16n^6$;

3) $(3x^2 - 2.5y)^2 = 9x^4 - \Box + 6.25y^2$;

4) $(3x^4 - 2a^6)^2 = 9x^8 - 12x^4a^6 + \Box$.

1) $(\square + 2b^2)^2 = 9a^4 + 12a^2b^2 + 4b^4$

Данное равенство основано на формуле квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Правая часть равенства $9a^4 + 12a^2b^2 + 4b^4$ представляет собой полный квадрат. Давайте определим его составляющие.

Первый член: $9a^4 = (3a^2)^2$.

Третий член: $4b^4 = (2b^2)^2$.

Средний член (удвоенное произведение) должен быть $2 \cdot (3a^2) \cdot (2b^2) = 12a^2b^2$, что соответствует выражению в правой части.

Таким образом, правая часть равна $(3a^2 + 2b^2)^2$.

Теперь сравним это с левой частью исходного равенства: $(\square + 2b^2)^2 = (3a^2 + 2b^2)^2$.

Отсюда видно, что недостающий одночлен в квадрате (☐) равен $3a^2$.

Ответ: $3a^2$.

2) $(15m + \square)^2 = 225m^2 + 12n^3m + 0,16n^6$

Это также формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В левой части нам известен первый член $a = 15m$. Его квадрат $a^2 = (15m)^2 = 225m^2$ соответствует первому члену в правой части.

Пусть неизвестный одночлен (☐) будет $b$. Тогда правая часть должна иметь вид $a^2 + 2ab + b^2$.

Сравним с правой частью: $225m^2 + 12mn^3 + 0,16n^6$.

Последний член в правой части $0,16n^6$ должен быть равен $b^2$.

Значит, $b^2 = 0,16n^6$. Найдем $b$, извлекая квадратный корень: $b = \sqrt{0,16n^6} = 0,4n^3$.

Проверим средний член (удвоенное произведение): $2ab = 2 \cdot (15m) \cdot (0,4n^3) = 30m \cdot 0,4n^3 = 12mn^3$. Это совпадает со средним членом в правой части ($12n^3m$).

Следовательно, недостающий одночлен равен $0,4n^3$.

Ответ: $0,4n^3$.

3) $(3x^2 - 2,5y)^2 = 9x^4 - \square + 6,25y^2$

Здесь применяется формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В левой части имеем $a = 3x^2$ и $b = 2,5y$.

Раскроем скобки по формуле:

Первый член: $a^2 = (3x^2)^2 = 9x^4$.

Третий член: $b^2 = (2,5y)^2 = 6,25y^2$.

Средний член (удвоенное произведение со знаком минус): $2ab = 2 \cdot (3x^2) \cdot (2,5y) = 15x^2y$.

Таким образом, $(3x^2 - 2,5y)^2 = 9x^4 - 15x^2y + 6,25y^2$.

Сравнивая это выражение с правой частью исходного равенства $9x^4 - \square + 6,25y^2$, видим, что недостающий одночлен (☐) равен $15x^2y$.

Ответ: $15x^2y$.

4) $(3x^4 - 2a^6)^2 = 9x^8 - 12x^4a^6 + \square$

Снова используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В левой части $a = 3x^4$ и $b = 2a^6$.

Раскроем скобки по формуле:

Первый член: $a^2 = (3x^4)^2 = 9x^8$.

Средний член (удвоенное произведение со знаком минус): $2ab = 2 \cdot (3x^4) \cdot (2a^6) = 12x^4a^6$.

Третий член: $b^2 = (2a^6)^2 = 4(a^6)^2 = 4a^{12}$.

Полное выражение: $(3x^4 - 2a^6)^2 = 9x^8 - 12x^4a^6 + 4a^{12}$.

Сравнивая результат с правой частью исходного равенства $9x^8 - 12x^4a^6 + \square$, находим, что недостающий одночлен (☐) — это $4a^{12}$.

Ответ: $4a^{12}$.