Страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.41. На рис.4.4 изображен полигон частот размеров мужской обуви, проданной обувным магазином за 1 день. По рисунку найдите:

1) объем выборки;

2) вариационный ряд абсолютных (относительных) частот;

3) размах выборки;

4) моду и медиану;

5) арифметическое среднее.

$n_i$

$x$

Рис. 4.4

Для решения задачи сначала составим таблицу частот на основе данных, представленных на полигоне. По оси X отложены размеры обуви ($x_i$), а по оси Y — количество проданных пар (абсолютная частота $n_i$).

1) объем выборки

Объем выборки ($n$) — это общее количество элементов в выборке. В данном случае это общее количество проданных пар обуви. Чтобы найти его, нужно сложить все абсолютные частоты ($n_i$).

$n = 1 + 3 + 6 + 8 + 7 + 4 + 2 + 1 = 32$

Ответ: 32.

2) вариационный ряд абсолютных (относительных) частот

Вариационный ряд представляет собой таблицу, содержащую значения вариант (размеры обуви $x_i$), их абсолютные частоты ($n_i$) и относительные частоты ($w_i$). Относительная частота вычисляется по формуле $w_i = \frac{n_i}{n}$, где $n$ — объем выборки.

Ответ:

3) размах выборки

Размах выборки ($R$) — это разность между максимальным и минимальным значениями вариант.

Максимальный размер: $x_{max} = 45$.

Минимальный размер: $x_{min} = 38$.

$R = x_{max} - x_{min} = 45 - 38 = 7$

Ответ: 7.

4) моду и медиану

Мода ($M_o$) — это значение варианты, которое имеет наибольшую абсолютную частоту. Из графика и таблицы видно, что наибольшая частота $n=8$ соответствует размеру 41.

Следовательно, $M_o = 41$.

Медиана ($M_e$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Так как объем выборки $n=32$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов ряда. Этими элементами будут 16-й и 17-й. Чтобы их найти, посчитаем накопленные частоты:

• Размер 38: 1 (1-й элемент)
• Размер 39: $1 + 3 = 4$ (элементы со 2-го по 4-й)
• Размер 40: $4 + 6 = 10$ (элементы с 5-го по 10-й)
• Размер 41: $10 + 8 = 18$ (элементы с 11-го по 18-й)

И 16-й, и 17-й элементы ряда попадают в группу с размером 41. Значит, оба этих элемента равны 41.

$M_e = \frac{41 + 41}{2} = 41$

Ответ: мода = 41, медиана = 41.

5) арифметическое среднее

Арифметическое среднее для сгруппированных данных (среднее взвешенное) вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + ... + x_k n_k}{n}$

Вычислим сумму произведений каждого размера на его частоту:

$\sum x_i n_i = (38 \cdot 1) + (39 \cdot 3) + (40 \cdot 6) + (41 \cdot 8) + (42 \cdot 7) + (43 \cdot 4) + (44 \cdot 2) + (45 \cdot 1)$

$\sum x_i n_i = 38 + 117 + 240 + 328 + 294 + 172 + 88 + 45 = 1322$

Теперь разделим полученную сумму на объем выборки $n=32$:

$\bar{x} = \frac{1322}{32} = 41.3125$

Ответ: 41,3125.

4.42. Решите уравнение:

1) $x - \frac{x-2}{4} = \frac{x}{6} - 3$

2) $0,23 = \frac{5-2x}{8} \cdot 4,6$

1) $x - \frac{x-2}{4} = \frac{x}{6} - 3$

Чтобы решить уравнение, избавимся от знаменателей. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 4 и 6. НОК(4, 6) = 12.

$12 \cdot \left(x - \frac{x-2}{4}\right) = 12 \cdot \left(\frac{x}{6} - 3\right)$

Раскроем скобки, умножив каждый член на 12:

$12 \cdot x - 12 \cdot \frac{x-2}{4} = 12 \cdot \frac{x}{6} - 12 \cdot 3$

Выполним сокращения:

$12x - 3(x-2) = 2x - 36$

Теперь раскроем скобки в левой части:

$12x - 3x + 6 = 2x - 36$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$9x + 6 = 2x - 36$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, не забывая менять знак при переносе:

$9x - 2x = -36 - 6$

Снова приведем подобные слагаемые:

$7x = -42$

Найдем $x$, разделив обе части на 7:

$x = \frac{-42}{7}$

$x = -6$

Ответ: -6

2) $0,23 = \frac{5-2x}{8} \cdot 4,6$

Для начала, чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 4,6:

$\frac{0,23}{4,6} = \frac{5-2x}{8}$

Вычислим значение левой части. Чтобы избавиться от десятичных дробей в числителе и знаменателе, умножим их на 100:

$\frac{0,23 \cdot 100}{4,6 \cdot 100} = \frac{23}{460}$

Сократим полученную дробь на 23:

$\frac{23}{460} = \frac{23 \div 23}{460 \div 23} = \frac{1}{20}$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$\frac{1}{20} = \frac{5-2x}{8}$

Это пропорция. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$1 \cdot 8 = 20 \cdot (5-2x)$

$8 = 100 - 40x$

Перенесем член с переменной $x$ в левую часть, а число 8 — в правую, меняя знаки:

$40x = 100 - 8$

$40x = 92$

Найдем $x$, разделив обе части на 40:

$x = \frac{92}{40}$

Сократим дробь на 4:

$x = \frac{23}{10}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$x = 2,3$

Ответ: 2,3

4.43. Постройте графики функций $y = 2 - x$ и $y = x^2$ на одной координатной плоскости и по графику определите точку их пересечения.

Для решения задачи необходимо построить графики функций $y = 2 - x$ и $y = x^2$ на одной координатной плоскости, а затем найти их точки пересечения.

1. Построение графика функции $y = 2 - x$

График этой функции — прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты двух точек.
- При $x = 0$, $y = 2 - 0 = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.
- При $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(2; 0)$.
Проведем через эти две точки прямую.

2. Построение графика функции $y = x^2$

График этой функции — парабола. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$, а ветви направлены вверх. Для более точного построения найдем координаты нескольких точек:
- При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2; 4)$.
- При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1; 1)$.
- При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка $(1; 1)$.
- При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Точка $(2; 4)$.
Соединим полученные точки плавной кривой.

3. Определение точек пересечения

Построим оба графика в одной системе координат. Точки, в которых графики пересекаются, являются решением.
Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках.
Первая точка пересечения имеет координаты $(-2; 4)$.
Вторая точка пересечения имеет координаты $(1; 1)$.
Для проверки можно подставить координаты этих точек в оба уравнения.
Для точки $(-2; 4)$:
$y = 2 - x \Rightarrow 4 = 2 - (-2) \Rightarrow 4 = 4$ (верно).
$y = x^2 \Rightarrow 4 = (-2)^2 \Rightarrow 4 = 4$ (верно).
Для точки $(1; 1)$:
$y = 2 - x \Rightarrow 1 = 2 - 1 \Rightarrow 1 = 1$ (верно).
$y = x^2 \Rightarrow 1 = 1^2 \Rightarrow 1 = 1$ (верно).
Координаты найдены верно.

Ответ: $(-2; 4)$ и $(1; 1)$.