Номер 4.41, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.41. На рис.4.4 изображен полигон частот размеров мужской обуви, проданной обувным магазином за 1 день. По рисунку найдите:

1) объем выборки;

2) вариационный ряд абсолютных (относительных) частот;

3) размах выборки;

4) моду и медиану;

5) арифметическое среднее.

$n_i$

$x$

Рис. 4.4

Для решения задачи сначала составим таблицу частот на основе данных, представленных на полигоне. По оси X отложены размеры обуви ($x_i$), а по оси Y — количество проданных пар (абсолютная частота $n_i$).

1) объем выборки

Объем выборки ($n$) — это общее количество элементов в выборке. В данном случае это общее количество проданных пар обуви. Чтобы найти его, нужно сложить все абсолютные частоты ($n_i$).

$n = 1 + 3 + 6 + 8 + 7 + 4 + 2 + 1 = 32$

Ответ: 32.

2) вариационный ряд абсолютных (относительных) частот

Вариационный ряд представляет собой таблицу, содержащую значения вариант (размеры обуви $x_i$), их абсолютные частоты ($n_i$) и относительные частоты ($w_i$). Относительная частота вычисляется по формуле $w_i = \frac{n_i}{n}$, где $n$ — объем выборки.

Ответ:

3) размах выборки

Размах выборки ($R$) — это разность между максимальным и минимальным значениями вариант.

Максимальный размер: $x_{max} = 45$.

Минимальный размер: $x_{min} = 38$.

$R = x_{max} - x_{min} = 45 - 38 = 7$

Ответ: 7.

4) моду и медиану

Мода ($M_o$) — это значение варианты, которое имеет наибольшую абсолютную частоту. Из графика и таблицы видно, что наибольшая частота $n=8$ соответствует размеру 41.

Следовательно, $M_o = 41$.

Медиана ($M_e$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Так как объем выборки $n=32$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов ряда. Этими элементами будут 16-й и 17-й. Чтобы их найти, посчитаем накопленные частоты:

• Размер 38: 1 (1-й элемент)
• Размер 39: $1 + 3 = 4$ (элементы со 2-го по 4-й)
• Размер 40: $4 + 6 = 10$ (элементы с 5-го по 10-й)
• Размер 41: $10 + 8 = 18$ (элементы с 11-го по 18-й)

И 16-й, и 17-й элементы ряда попадают в группу с размером 41. Значит, оба этих элемента равны 41.

$M_e = \frac{41 + 41}{2} = 41$

Ответ: мода = 41, медиана = 41.

5) арифметическое среднее

Арифметическое среднее для сгруппированных данных (среднее взвешенное) вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + ... + x_k n_k}{n}$

Вычислим сумму произведений каждого размера на его частоту:

$\sum x_i n_i = (38 \cdot 1) + (39 \cdot 3) + (40 \cdot 6) + (41 \cdot 8) + (42 \cdot 7) + (43 \cdot 4) + (44 \cdot 2) + (45 \cdot 1)$

$\sum x_i n_i = 38 + 117 + 240 + 328 + 294 + 172 + 88 + 45 = 1322$

Теперь разделим полученную сумму на объем выборки $n=32$:

$\bar{x} = \frac{1322}{32} = 41.3125$

Ответ: 41,3125.