Страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.16* Выборка принимает 2 значения: $x_1$ и $x_2$ ($x_1 < x_2$). Относительная частота элемента $x_1$ равна 0,2, $\overline{X}=2,6$, и $M_0=6,7$. Найдите $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, выборка состоит всего из двух уникальных значений: $x_1$ и $x_2$. Сумма относительных частот всех значений в выборке всегда равна 1.

Пусть $f_1$ — это относительная частота элемента $x_1$, а $f_2$ — относительная частота элемента $x_2$. Нам дано, что $f_1 = 0,2$. Следовательно, относительную частоту $f_2$ можно найти так: $f_2 = 1 - f_1 = 1 - 0,2 = 0,8$.

Мода ($M_0$) — это значение в выборке, которое встречается наиболее часто. Чтобы определить, какое из значений ($x_1$ или $x_2$) является модой, сравним их относительные частоты: $f_1 = 0,2$ и $f_2 = 0,8$. Так как $0,8 > 0,2$, то есть $f_2 > f_1$, значение $x_2$ встречается чаще. Значит, мода выборки равна $x_2$. По условию $M_0 = 6,7$, следовательно: $x_2 = 6,7$.

Среднее значение выборки ($\overline{X}$) вычисляется как взвешенное среднее ее значений, где весами выступают относительные частоты. Формула для нашего случая: $\overline{X} = f_1 \cdot x_1 + f_2 \cdot x_2$.

Подставим в эту формулу все известные нам значения: $\overline{X} = 2,6$, $f_1 = 0,2$, $f_2 = 0,8$ и $x_2 = 6,7$. $2,6 = 0,2 \cdot x_1 + 0,8 \cdot 6,7$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $x_1$: $2,6 = 0,2 \cdot x_1 + 5,36$ $0,2 \cdot x_1 = 2,6 - 5,36$ $0,2 \cdot x_1 = -2,76$ $x_1 = \frac{-2,76}{0,2}$ $x_1 = -13,8$.

Мы нашли оба значения: $x_1 = -13,8$ и $x_2 = 6,7$. Проверим, выполняется ли условие $x_1 < x_2$: $-13,8 < 6,7$. Условие выполняется.

Ответ: $x_1 = -13,8$, $x_2 = 6,7$.

4.17. В журнале метеоролога имеются сведения о температуре воздуха, которую измеряли через каждые 3 ч с $9^{00}$ до $21^{00}$ ч:

Для какой из частот принадлежит это таблица: относительных или абсолютных?

Обоснуйте ответ. По таблице абсолютных частот найдите арифметическое среднее значение температуры воздуха и найдите объем выборки.

Для какой из частот принадлежит эта таблица: относительных или абсолютных? Обоснуйте ответ.

Исходная таблица представляет собой набор данных о температуре в определённые моменты времени, а не частотную таблицу. На основе этих данных можно построить таблицу частот, чтобы проанализировать, как часто встречались те или иные значения температуры.

Абсолютная частота — это число, показывающее, сколько раз то или иное значение встречается в наборе данных. Относительная частота — это отношение абсолютной частоты к общему количеству данных.

Выборка значений температуры из исходной таблицы: 6°C, 10°C, 18°C, 12°C, 9°C.

В этой выборке каждое значение температуры встречается ровно один раз. Таким образом, таблица абсолютных частот будет выглядеть так:

Так как мы работаем с прямым подсчетом количества появлений каждого значения, мы имеем дело с абсолютными частотами.

Ответ: На основе данных из таблицы можно составить таблицу абсолютных частот, так как она отражает точное количество раз, которое каждое значение встречается в выборке.

По таблице абсолютных частот найдите арифметическое среднее значение температуры воздуха

Арифметическое среднее значение ( $\bar{x}$ ) выборки вычисляется как сумма всех её элементов, делённая на их количество.

Значения температуры: 6°C, 10°C, 18°C, 12°C, 9°C.

Формула для нахождения арифметического среднего: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

Подставим наши значения, где $n$ — объем выборки (количество измерений): $\bar{x} = \frac{6 + 10 + 18 + 12 + 9}{5} = \frac{55}{5} = 11$

Ответ: 11°C.

и найдите объем выборки.

Объем выборки — это общее количество элементов (наблюдений) в наборе данных. В данном случае это общее количество измерений температуры.

Измерения проводились в 9 ч, 12 ч, 15 ч, 18 ч и 21 ч. Всего было сделано 5 измерений.

Ответ: 5.

4.18. Мальчики составляют 52% всех учащихся школы. Сколько девочек учится в этой школе, если в школе 806 мальчиков?

Для решения задачи можно использовать несколько подходов. Рассмотрим один из них, основанный на пропорциях.

1. Сначала определим, какой процент от общего числа учащихся составляют девочки. Поскольку все учащиеся — это 100%, а мальчики составляют 52%, то процент девочек будет:

$100\% - 52\% = 48\%$

2. Теперь мы знаем, что 806 мальчиков составляют 52% от всех учащихся, а искомое количество девочек (обозначим его за $x$) составляет 48%. Составим пропорцию:

806 мальчиков — 52%

$x$ девочек — 48%

Математически это можно записать в виде уравнения:

$\frac{806}{52} = \frac{x}{48}$

3. Выразим $x$ из этой пропорции, чтобы найти количество девочек:

$x = \frac{806 \times 48}{52}$

Для удобства вычислений сократим дробь. И 48, и 52 делятся на 4:

$x = \frac{806 \times 12}{13}$

Теперь разделим 806 на 13:

$806 \div 13 = 62$

Подставим полученное значение обратно в формулу:

$x = 62 \times 12 = 744$

Таким образом, в школе учится 744 девочки.

Ответ: 744 девочки.

4.19. Запишите одночлен в стандартном виде:

1) $(2x^2)^3 \cdot \frac{x^2}{4}$;

2) $(-3a^4)^5 \cdot \frac{a^3}{27}$.

1) Чтобы привести одночлен $(2x^2)^3 \cdot \frac{x^2}{4}$ к стандартному виду, необходимо выполнить следующие действия по упрощению выражения.
Сначала возведем в куб первый множитель $(2x^2)^3$, используя свойство возведения в степень произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8 \cdot x^{2 \cdot 3} = 8x^6$.
Теперь умножим полученный результат на второй множитель $\frac{x^2}{4}$:
$8x^6 \cdot \frac{x^2}{4}$.
Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные, а затем выполним вычисления:
$(8 \cdot \frac{1}{4}) \cdot (x^6 \cdot x^2) = \frac{8}{4} \cdot x^{6+2} = 2x^8$.
В результате мы получили одночлен в стандартном виде, где числовой коэффициент равен 2, а переменная $x$ находится в степени 8.
Ответ: $2x^8$.

2) Чтобы привести одночлен $(-3a^4)^5 \cdot \frac{a^3}{27}$ к стандартному виду, выполним аналогичные шаги.
Возведем в пятую степень первый множитель $(-3a^4)^5$:
$(-3a^4)^5 = (-3)^5 \cdot (a^4)^5$.
Вычислим $(-3)^5$:
$(-3)^5 = -243$.
Вычислим $(a^4)^5$:
$(a^4)^5 = a^{4 \cdot 5} = a^{20}$.
Таким образом, первый множитель равен $-243a^{20}$.
Теперь умножим полученное выражение на $\frac{a^3}{27}$:
$-243a^{20} \cdot \frac{a^3}{27}$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные и упростим:
$(-\frac{243}{27}) \cdot (a^{20} \cdot a^3) = -9 \cdot a^{20+3} = -9a^{23}$.
Мы привели одночлен к стандартному виду с коэффициентом -9 и переменной $a$ в степени 23.
Ответ: $-9a^{23}$.

4.20. График линейной функции проходит через точку $M (-1; 2)$ параллельно прямой $y = 2x$. Напишите формулу этой линейной функции.

Искомая функция является линейной, поэтому ее уравнение имеет общий вид $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — свободный член, показывающий точку пересечения графика с осью ординат.

В условии сказано, что график искомой функции параллелен прямой $y = 2x$. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент для прямой $y = 2x$ равен $k=2$. Таким образом, для искомой функции угловой коэффициент также будет равен 2, и ее формула примет вид $y = 2x + b$.

Чтобы найти значение коэффициента $b$, воспользуемся вторым условием: график функции проходит через точку $M(-1; 2)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению нашей функции. Подставим $x = -1$ и $y = 2$ в уравнение $y = 2x + b$:

$2 = 2 \cdot (-1) + b$
$2 = -2 + b$
$b = 2 + 2$
$b = 4$

Теперь, когда мы нашли оба коэффициента ($k=2$ и $b=4$), мы можем записать окончательную формулу линейной функции.

Ответ: $y = 2x + 4$