Страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.159. Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$. Найдите:

1) $f(0,5)-f(1)$; 2) $f(1)-f(1,5)$; 3) $f(1,5)-f(2,5)$.

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке от $a$ до $b$, называется возрастающей, если для любых $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющих неравенству $a < x_1 < x_2 < b$, верно неравенство:

$f(x_1) < f(x_2)$. (1)

Если вместо неравенства (1) выполняется неравенство

$f(x_1) > f(x_2)$, (2)

то функция $y=f(x)$ называется убывающей на промежутке от $a$ до $b$. Таким образом, функция называется возрастающей на промежутке от $a$ до $b$, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Напротив, функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Например, если $x>0$ (или $x<0$), то функция $f(x) = \frac{1}{x}$ является убывающей. В самом деле, если $0 < x_1 < x_2$ (случай $x_1 < x_2 < 0$ доказывается аналогично), то

$f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} > 0$,

где $x_2 - x_1 > 0$ и $x_1 \cdot x_2 > 0$. Тогда $f(x_1) > f(x_2)$, т.е. функция убывает.

Если $x>0$ (или $x<0$), то функция $f(x) = \frac{k}{x}$ при $k>0$ является убывающей (при $k<0$ является возрастающей). Докажите это утверждение.

1) f(0,5)−f(1)
Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$.
Сначала найдем значения функции для каждого из аргументов:
$f(0,5) = \frac{1}{0,5} = 2$
$f(1) = \frac{1}{1} = 1$
Теперь вычислим их разность:
$f(0,5) - f(1) = 2 - 1 = 1$.
Ответ: 1.

2) f(1)−f(1,5)
Найдем значения функции для заданных аргументов:
$f(1) = \frac{1}{1} = 1$
$f(1,5) = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$
Вычислим разность:
$f(1) - f(1,5) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) f(1,5)−f(2,5)
Найдем значения функции для заданных аргументов:
$f(1,5) = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$
$f(2,5) = \frac{1}{2,5} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$
Вычислим разность, приведя дроби к общему знаменателю 15:
$f(1,5) - f(2,5) = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15} = \frac{4}{15}$.
Ответ: $\frac{4}{15}$.

3.160. Пусть $x>0$ и $x<0$. Докажите, что функция $y = \frac{k}{x}$ при $k>0$ убывает, а при $k<0$ возрастает, определите, какие из нижеследующих функций являются убывающими, а какие – возрастающими. В каких координатных четвертях расположены графики этих функций:

1) $y=\frac{3}{x}$;

2) $y=-\frac{10}{x}$;

3) $y=-\frac{1}{2x}$;

4) $y=\frac{1}{4x}$?

Сначала докажем общее утверждение о монотонности функции $y = \frac{k}{x}$ на промежутках её определения $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Напомним, что функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Функция называется возрастающей, если при $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$.

Доказательство для случая $k > 0$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — две любые точки из одного промежутка области определения ($(-\infty; 0)$ или $(0; +\infty)$), причем $x_1 < x_2$. Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$y_2 - y_1 = \frac{k}{x_2} - \frac{k}{x_1} = k \left(\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1}\right) = k \frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$.

Проанализируем знак этого выражения:

• $k > 0$ (по условию).
• $x_1 - x_2 < 0$, так как мы выбрали $x_1 < x_2$.
• $x_1 x_2 > 0$, так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат одному и тому же промежутку и, следовательно, имеют одинаковый знак.

Таким образом, числитель $k(x_1 - x_2)$ отрицателен, а знаменатель $x_1 x_2$ положителен. Вся дробь отрицательна: $y_2 - y_1 < 0$, что равносильно $y_2 < y_1$. Так как большему значению аргумента ($x_2$) соответствует меньшее значение функции ($y_2$), функция $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ является убывающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Доказательство для случая $k < 0$

Снова возьмем $x_1 < x_2$ и рассмотрим ту же разность $y_2 - y_1 = k \frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}$.

Проанализируем знак выражения:

• $k < 0$ (по условию).
• $x_1 - x_2 < 0$.
• $x_1 x_2 > 0$.

В этом случае числитель $k(x_1 - x_2)$ является произведением двух отрицательных чисел, поэтому он положителен. Знаменатель $x_1 x_2$ также положителен. Вся дробь положительна: $y_2 - y_1 > 0$, что равносильно $y_2 > y_1$. Так как большему значению аргумента ($x_2$) соответствует большее значение функции ($y_2$), функция $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ является возрастающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Теперь проанализируем каждую из заданных функций.

1) $y=\frac{3}{x}$

Эта функция имеет вид $y=\frac{k}{x}$, где коэффициент $k=3$. Поскольку $k=3 > 0$, согласно доказанному выше, функция является убывающей. Расположение графика (гиперболы) зависит от знака $k$. Если $k > 0$, то при $x > 0$ имеем $y > 0$ (I четверть), а при $x < 0$ имеем $y < 0$ (III четверть).
Ответ: функция убывающая; график расположен в I и III координатных четвертях.

2) $y=-\frac{10}{x}$

В данном случае $k=-10$. Поскольку $k=-10 < 0$, функция является возрастающей. Если $k < 0$, то при $x > 0$ имеем $y < 0$ (IV четверть), а при $x < 0$ имеем $y > 0$ (II четверть).
Ответ: функция возрастающая; график расположен во II и IV координатных четвертях.

3) $y=-\frac{1}{2x}$

Функцию можно записать в стандартном виде $y=\frac{-1/2}{x}$. Здесь коэффициент $k=-\frac{1}{2}$. Поскольку $k=-1/2 < 0$, функция является возрастающей. Так как $k < 0$, ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях.
Ответ: функция возрастающая; график расположен во II и IV координатных четвертях.

4) $y=\frac{1}{4x}$

Функцию можно записать в виде $y=\frac{1/4}{x}$. Здесь коэффициент $k=\frac{1}{4}$. Поскольку $k=1/4 > 0$, функция является убывающей. Так как $k > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях.
Ответ: функция убывающая; график расположен в I и III координатных четвертях.