Номер 3.159, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.159. Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$. Найдите:

1) $f(0,5)-f(1)$; 2) $f(1)-f(1,5)$; 3) $f(1,5)-f(2,5)$.

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке от $a$ до $b$, называется возрастающей, если для любых $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющих неравенству $a < x_1 < x_2 < b$, верно неравенство:

$f(x_1) < f(x_2)$. (1)

Если вместо неравенства (1) выполняется неравенство

$f(x_1) > f(x_2)$, (2)

то функция $y=f(x)$ называется убывающей на промежутке от $a$ до $b$. Таким образом, функция называется возрастающей на промежутке от $a$ до $b$, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Напротив, функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Например, если $x>0$ (или $x<0$), то функция $f(x) = \frac{1}{x}$ является убывающей. В самом деле, если $0 < x_1 < x_2$ (случай $x_1 < x_2 < 0$ доказывается аналогично), то

$f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} > 0$,

где $x_2 - x_1 > 0$ и $x_1 \cdot x_2 > 0$. Тогда $f(x_1) > f(x_2)$, т.е. функция убывает.

Если $x>0$ (или $x<0$), то функция $f(x) = \frac{k}{x}$ при $k>0$ является убывающей (при $k<0$ является возрастающей). Докажите это утверждение.

1) f(0,5)−f(1)
Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$.
Сначала найдем значения функции для каждого из аргументов:
$f(0,5) = \frac{1}{0,5} = 2$
$f(1) = \frac{1}{1} = 1$
Теперь вычислим их разность:
$f(0,5) - f(1) = 2 - 1 = 1$.
Ответ: 1.

2) f(1)−f(1,5)
Найдем значения функции для заданных аргументов:
$f(1) = \frac{1}{1} = 1$
$f(1,5) = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$
Вычислим разность:
$f(1) - f(1,5) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) f(1,5)−f(2,5)
Найдем значения функции для заданных аргументов:
$f(1,5) = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$
$f(2,5) = \frac{1}{2,5} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$
Вычислим разность, приведя дроби к общему знаменателю 15:
$f(1,5) - f(2,5) = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15} = \frac{4}{15}$.
Ответ: $\frac{4}{15}$.