Номер 3.157, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.157. Прямоугольник со сторонами $a$ см и $b$ см имеет постоянную площадь, равную $6$ см$^2$. Задайте формулой зависимость $b$ от $a$. Почему эта зависимость является обратной пропорциональностью? Найдите область определения этой функции и начертите ее график.

Задайте формулой зависимость b от a.

Площадь прямоугольника $S$ со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, площадь постоянна и равна 6 см², следовательно, мы имеем равенство:

$a \cdot b = 6$

Чтобы выразить зависимость $b$ от $a$, нужно решить это уравнение относительно $b$. Для этого разделим обе части уравнения на $a$. Так как $a$ — это длина стороны прямоугольника, она не может быть равна нулю ($a > 0$), поэтому деление корректно.

$b = \frac{6}{a}$

Ответ: $b = \frac{6}{a}$

Почему эта зависимость является обратной пропорциональностью?

Обратной пропорциональностью называется функциональная зависимость, при которой одна величина ($y$) изменяется обратно пропорционально другой величине ($x$). Такая зависимость задается формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю.

Полученная нами формула $b = \frac{6}{a}$ полностью соответствует этому определению. Здесь роль зависимой переменной $y$ играет сторона $b$, роль независимой переменной $x$ — сторона $a$, а коэффициент пропорциональности $k$ равен 6. Это означает, что при увеличении стороны $a$ в несколько раз, сторона $b$ уменьшается во столько же раз, чтобы их произведение оставалось постоянным и равным 6.

Ответ: Эта зависимость является обратной пропорциональностью, так как она выражается формулой вида $y = \frac{k}{x}$ (в данном случае $b = \frac{6}{a}$), где произведение переменных есть постоянная величина ($a \cdot b = 6$).

Найдите область определения этой функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (в нашем случае — переменной $a$). С математической точки зрения, функция $b(a) = \frac{6}{a}$ определена для всех действительных чисел, кроме $a=0$, так как на ноль делить нельзя.

Однако, в контексте данной физической задачи, переменная $a$ обозначает длину стороны прямоугольника. Длина стороны по своему физическому смыслу может быть только положительной величиной. Она не может быть ни отрицательной, ни равной нулю.

Следовательно, на переменную $a$ накладывается ограничение: $a > 0$.

Ответ: Область определения функции: $(0; +\infty)$.

Начертите ее график.

Графиком функции $b = \frac{6}{a}$ является гипербола. Поскольку область определения функции $a > 0$, нас интересует только та ветвь гиперболы, которая расположена в первой координатной четверти, где обе переменные ($a$ и $b$) положительны.

Для построения графика составим таблицу значений, выбрав несколько удобных точек из области определения:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией. График будет асимптотически приближаться к осям координат, не пересекая их.

Ответ: График функции представляет собой ветвь гиперболы, расположенную в первой координатной четверти, как показано на рисунке выше.