Номер 3.152, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.152. Начертите график функции $y = -\frac{4}{x}$ и укажите промежутки, где функция принимает:

1) положительные значения;

2) значения между -4 и -2.

Данная функция $y = -\frac{4}{x}$ является обратной пропорциональностью, её график — гипербола. Так как коэффициент перед $\frac{1}{x}$ отрицателен ($k=-4$), ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика служат оси координат: ось Ox ($y=0$) и ось Oy ($x=0$).

Для построения графика найдем несколько ключевых точек, составив таблицу значений:

Нанесём эти точки на координатную плоскость и соединим их плавными кривыми, которые приближаются к осям, но не пересекают их. Ниже представлен график функции.

1) положительные значения

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

$-\frac{4}{x} > 0$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель $-4$ является отрицательным числом, знаменатель $x$ также должен быть отрицательным, чтобы в результате получилось положительное значение.

$x < 0$

На графике этому условию соответствует ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти, где все значения $y$ положительны.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

2) значения между -4 и -2

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция принимает значения в интервале от $-4$ до $-2$, необходимо решить двойное неравенство $-4 < y < -2$.

$-4 < -\frac{4}{x} < -2$

Это неравенство можно разделить на систему из двух неравенств:

1) $-\frac{4}{x} < -2$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:

$\frac{4}{x} > 2$

Из графика видно, что отрицательные значения $y$ находятся в IV четверти, где $x > 0$. Поэтому мы можем умножить неравенство на $x$ без изменения знака:

$4 > 2x$

$2 > x$, или $x < 2$.

2) $-4 < -\frac{4}{x}$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:

$4 > \frac{4}{x}$

Так как $x>0$, умножаем на $x$:

$4x > 4$

$x > 1$

Объединяя результаты обоих неравенств ($x < 2$ и $x > 1$), получаем искомый промежуток для $x$.

$1 < x < 2$

На графике этот промежуток выделен красным цветом. Видно, что при $x=1$, $y=-4$, а при $x=2$, $y=-2$. Между этими точками значения $y$ лежат в интервале $(-4; -2)$.

Ответ: функция принимает значения между $-4$ и $-2$ при $x \in (1; 2)$.