Страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.149. Обратная пропорциональность задана формулой $y = -\frac{12}{x}$. Заполните таблицу.

x: -600, , -12, -0,05, 0,5, , 120

y: , 0,1, , , , -1, -0,02

Для заполнения пустых ячеек таблицы используется заданная формула обратной пропорциональности $y = -\frac{12}{x}$. Чтобы найти x, когда известно значение y, выразим x из этой формулы: $x \cdot y = -12$, следовательно, $x = -\frac{12}{y}$.

Выполним расчеты для каждой пустой ячейки.

Расчет y при x = -600

Подставляем значение $x = -600$ в формулу $y = -\frac{12}{x}$:

$y = -\frac{12}{-600} = \frac{12}{600} = \frac{1}{50} = 0,02$

Ответ: 0,02.

Расчет y при x = -0,05

Подставляем значение $x = -0,05$ в формулу $y = -\frac{12}{x}$:

$y = -\frac{12}{-0,05} = \frac{12}{0,05} = \frac{12}{5/100} = \frac{12 \cdot 100}{5} = 12 \cdot 20 = 240$

Ответ: 240.

Расчет y при x = 0,5

Подставляем значение $x = 0,5$ в формулу $y = -\frac{12}{x}$:

$y = -\frac{12}{0,5} = -\frac{12}{1/2} = -12 \cdot 2 = -24$

Ответ: -24.

Расчет x при y = -1

Подставляем значение $y = -1$ в формулу $x = -\frac{12}{y}$:

$x = -\frac{12}{-1} = 12$

Ответ: 12.

Расчет y при x = 120

Подставляем значение $x = 120$ в формулу $y = -\frac{12}{x}$:

$y = -\frac{12}{120} = -\frac{1}{10} = -0,1$

Ответ: -0,1.

Расчет x при y = -0,02

Подставляем значение $y = -0,02$ в формулу $x = -\frac{12}{y}$:

$x = -\frac{12}{-0,02} = \frac{12}{0,02} = \frac{12}{2/100} = \frac{12 \cdot 100}{2} = 6 \cdot 100 = 600$

Ответ: 600.

3.150. Постройте график функции $y = -\frac{3}{x}$. С помощью построенного графика найдите значения:

1) $y$, соответствующие значениям $x$, равным $-6; -3; -1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1; 3; 6$.

2) $x$, которым соответствуют значения $y$, равные $-\frac{1}{2}; -1; -2; 2; 1; \frac{1}{2}$.

Функция $y = -\frac{3}{x}$ — это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Так как коэффициент $k = -3$ отрицательный, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

Для построения графика составим таблицу значений функции для нескольких ключевых точек:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, мы получим график функции. Теперь используем его для нахождения требуемых значений.

1) y, соответствующие значениям x, равным –6; –3; –1; –$ \frac{1}{2} $; $ \frac{1}{2} $; 1; 3; 6.

Чтобы найти на графике значение y для заданного x, нужно найти это значение x на оси абсцисс, провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — горизонтальную линию до оси ординат.

При $x = -6$, находим на графике точку с этой абсциссой и определяем ее ординату: $y = 0.5$.
При $x = -3$, $y = 1$.
При $x = -1$, $y = 3$.
При $x = -\frac{1}{2}$, $y = 6$.
При $x = \frac{1}{2}$, $y = -6$.
При $x = 1$, $y = -3$.
При $x = 3$, $y = -1$.
При $x = 6$, $y = -0.5$.

Ответ: при $x$, равных –6; –3; –1; –$\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$; 1; 3; 6, значения $y$ соответственно равны 0.5; 1; 3; 6; –6; –3; –1; –0.5.

2) x, которым соответствуют значения y, равные –$\frac{1}{2}$; –1; –2; 2; 1; $\frac{1}{2}$.

Чтобы найти на графике значение x для заданного y, нужно найти это значение y на оси ординат, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — вертикальную линию до оси абсцисс.

При $y = -\frac{1}{2}$, находим на графике точку с этой ординатой и определяем ее абсциссу: $x = 6$.
При $y = -1$, $x = 3$.
При $y = -2$, $x = 1.5$.
При $y = 2$, $x = -1.5$.
При $y = 1$, $x = -3$.
При $y = \frac{1}{2}$, $x = -6$.

Ответ: при $y$, равных –$\frac{1}{2}$; –1; –2; 2; 1; $\frac{1}{2}$, значения $x$ соответственно равны 6; 3; 1.5; –1.5; –3; –6.

3.151. Обратная пропорциональность значению аргумента, равному 3, ставит в соответствие значение функции, равное 3. Найдите коэффициент пропорциональности.

Обратная пропорциональность задается формулой $y = \frac{k}{x}$, где $y$ — это значение функции, $x$ — это значение аргумента, а $k$ — это коэффициент пропорциональности.

В условии задачи сказано, что значению аргумента $x = 3$ соответствует значение функции $y = 3$. Подставим эти значения в формулу:

$3 = \frac{k}{3}$

Чтобы найти неизвестный коэффициент $k$, нужно выразить его из полученного уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на 3:

$k = 3 \cdot 3$

$k = 9$

Следовательно, искомый коэффициент пропорциональности равен 9.

Ответ: 9

3.152. Начертите график функции $y = -\frac{4}{x}$ и укажите промежутки, где функция принимает:

1) положительные значения;

2) значения между -4 и -2.

Данная функция $y = -\frac{4}{x}$ является обратной пропорциональностью, её график — гипербола. Так как коэффициент перед $\frac{1}{x}$ отрицателен ($k=-4$), ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика служат оси координат: ось Ox ($y=0$) и ось Oy ($x=0$).

Для построения графика найдем несколько ключевых точек, составив таблицу значений:

Нанесём эти точки на координатную плоскость и соединим их плавными кривыми, которые приближаются к осям, но не пересекают их. Ниже представлен график функции.

1) положительные значения

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

$-\frac{4}{x} > 0$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель $-4$ является отрицательным числом, знаменатель $x$ также должен быть отрицательным, чтобы в результате получилось положительное значение.

$x < 0$

На графике этому условию соответствует ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти, где все значения $y$ положительны.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

2) значения между -4 и -2

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция принимает значения в интервале от $-4$ до $-2$, необходимо решить двойное неравенство $-4 < y < -2$.

$-4 < -\frac{4}{x} < -2$

Это неравенство можно разделить на систему из двух неравенств:

1) $-\frac{4}{x} < -2$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:

$\frac{4}{x} > 2$

Из графика видно, что отрицательные значения $y$ находятся в IV четверти, где $x > 0$. Поэтому мы можем умножить неравенство на $x$ без изменения знака:

$4 > 2x$

$2 > x$, или $x < 2$.

2) $-4 < -\frac{4}{x}$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:

$4 > \frac{4}{x}$

Так как $x>0$, умножаем на $x$:

$4x > 4$

$x > 1$

Объединяя результаты обоих неравенств ($x < 2$ и $x > 1$), получаем искомый промежуток для $x$.

$1 < x < 2$

На графике этот промежуток выделен красным цветом. Видно, что при $x=1$, $y=-4$, а при $x=2$, $y=-2$. Между этими точками значения $y$ лежат в интервале $(-4; -2)$.

Ответ: функция принимает значения между $-4$ и $-2$ при $x \in (1; 2)$.

3.153. Начертите график функции $f(x)=\frac{6}{x}$ и определите значения $f(1,5); f(-3); f(3,5)$.

Построение графика функции $f(x) = \frac{6}{x}$

Функция $f(x) = \frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью. Графиком такой функции служит гипербола. Поскольку коэффициент $k=6$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами графика, то есть график будет бесконечно приближаться к ним, но никогда не пересечет.

Для того чтобы начертить график, найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений для каждой ветви.

Точки для первой ветви (расположена в I четверти, где $x > 0$):
- если $x=1$, то $y = \frac{6}{1} = 6$. Точка $(1, 6)$.
- если $x=2$, то $y = \frac{6}{2} = 3$. Точка $(2, 3)$.
- если $x=3$, то $y = \frac{6}{3} = 2$. Точка $(3, 2)$.
- если $x=6$, то $y = \frac{6}{6} = 1$. Точка $(6, 1)$.

Точки для второй ветви (расположена в III четверти, где $x < 0$):
- если $x=-1$, то $y = \frac{6}{-1} = -6$. Точка $(-1, -6)$.
- если $x=-2$, то $y = \frac{6}{-2} = -3$. Точка $(-2, -3)$.
- если $x=-3$, то $y = \frac{6}{-3} = -2$. Точка $(-3, -2)$.
- если $x=-6$, то $y = \frac{6}{-6} = -1$. Точка $(-6, -1)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, мы получим график функции — гиперболу.

Определение значений функции

Чтобы найти требуемые значения функции, мы подставим соответствующие значения аргумента $x$ в её формулу $f(x) = \frac{6}{x}$.

f(1,5)
Подставляем значение $x=1,5$ в формулу:
$f(1,5) = \frac{6}{1,5} = \frac{6}{3/2} = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$.
Ответ: 4

f(-3)
Подставляем значение $x=-3$ в формулу:
$f(-3) = \frac{6}{-3} = -2$.
Ответ: -2

f(3,5)
Подставляем значение $x=3,5$ в формулу:
$f(3,5) = \frac{6}{3,5} = \frac{6}{7/2} = 6 \cdot \frac{2}{7} = \frac{12}{7}$.
Можно также представить ответ в виде смешанной дроби: $1\frac{5}{7}$.
Ответ: $\frac{12}{7}$

3.154. При каком значении k график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку:

1) A(3; -6);

2) B(-6; 3);

3) C(4; 4);

4) D(-2; -2)?

Для того чтобы график функции $y = \frac{k}{x}$ проходил через определенную точку, координаты этой точки $(x; y)$ должны удовлетворять уравнению функции. Подставив координаты точки в уравнение, мы можем найти значение $k$.

Общая формула для нахождения $k$ из уравнения $y = \frac{k}{x}$ выглядит так: $k = x \cdot y$.

1) A(3; -6)

В данном случае, $x = 3$ и $y = -6$. Подставляем эти значения в формулу для $k$:

$k = 3 \cdot (-6)$

$k = -18$

Ответ: -18

2) B(-6; 3)

Здесь $x = -6$ и $y = 3$. Подставляем значения:

$k = (-6) \cdot 3$

$k = -18$

Ответ: -18

3) C(4; 4)

Здесь $x = 4$ и $y = 4$. Подставляем значения:

$k = 4 \cdot 4$

$k = 16$

Ответ: 16

4) D(-2; -2)

Здесь $x = -2$ и $y = -2$. Подставляем значения:

$k = (-2) \cdot (-2)$

$k = 4$

Ответ: 4

3.155. При каких значениях m и n точки A(m; 4) и B(-4; n) лежат на графике функции:

1) $y = -\frac{12}{x}$

2) $y = \frac{8}{x}$

3) $y = \frac{1}{x}$

4) $y = -\frac{24}{x}$?

Для того чтобы точка принадлежала графику функции, ее координаты ($x, y$) должны удовлетворять уравнению этой функции. Для каждой из заданных функций мы подставим координаты точек A(m; 4) и B(-4; n), чтобы найти искомые значения $m$ и $n$.

1) Для функции $y = -\frac{12}{x}$

Чтобы найти $m$, подставим координаты точки A(m; 4) в уравнение функции:
$4 = -\frac{12}{m}$
Теперь выразим $m$ из этого уравнения:
$m = -\frac{12}{4}$
$m = -3$

Чтобы найти $n$, подставим координаты точки B(-4; n) в уравнение функции:
$n = -\frac{12}{-4}$
$n = 3$

Ответ: $m=-3, n=3$.

2) Для функции $y = \frac{8}{x}$

Находим $m$ для точки A(m; 4):
$4 = \frac{8}{m}$
$m = \frac{8}{4}$
$m = 2$

Находим $n$ для точки B(-4; n):
$n = \frac{8}{-4}$
$n = -2$

Ответ: $m=2, n=-2$.

3) Для функции $y = \frac{1}{x}$

Находим $m$ для точки A(m; 4):
$4 = \frac{1}{m}$
$m = \frac{1}{4}$

Находим $n$ для точки B(-4; n):
$n = \frac{1}{-4}$
$n = -\frac{1}{4}$

Ответ: $m=\frac{1}{4}, n=-\frac{1}{4}$.

4) Для функции $y = -\frac{24}{x}$

Находим $m$ для точки A(m; 4):
$4 = -\frac{24}{m}$
$m = -\frac{24}{4}$
$m = -6$

Находим $n$ для точки B(-4; n):
$n = -\frac{24}{-4}$
$n = 6$

Ответ: $m=-6, n=6$.

3.156. Задайте формулой обратную пропорциональность, график которой проходит через точку:

1) A(8; 0,125)

2) B($\frac{2}{3}$; $\frac{9}{5}$)

3) C(-25; -0,2)

Общий вид формулы обратной пропорциональности: $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, не равный нулю. Чтобы найти этот коэффициент, нужно подставить в формулу координаты точки $(x_0; y_0)$, через которую проходит график функции, и решить уравнение $y_0 = \frac{k}{x_0}$ относительно $k$. Отсюда $k = x_0 \cdot y_0$.

1) График проходит через точку $A(8; 0,125)$.
В данном случае $x = 8$ и $y = 0,125$.
Найдем коэффициент $k$:
$k = x \cdot y = 8 \cdot 0,125$
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
$k = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1$
Следовательно, искомая формула обратной пропорциональности: $y = \frac{1}{x}$.
Ответ: $y = \frac{1}{x}$.

2) График проходит через точку $B(\frac{2}{3}; \frac{9}{5})$.
В данном случае $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{9}{5}$.
Найдем коэффициент $k$:
$k = x \cdot y = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{5} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 5} = \frac{18}{15}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$k = \frac{18 \div 3}{15 \div 3} = \frac{6}{5}$
Следовательно, искомая формула обратной пропорциональности: $y = \frac{6/5}{x}$, что можно записать в виде $y = \frac{6}{5x}$.
Ответ: $y = \frac{6}{5x}$.

3) График проходит через точку $C(-25; -0,2)$.
В данном случае $x = -25$ и $y = -0,2$.
Найдем коэффициент $k$:
$k = x \cdot y = (-25) \cdot (-0,2)$
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:
$k = 25 \cdot 0,2 = 25 \cdot \frac{2}{10} = \frac{50}{10} = 5$
Следовательно, искомая формула обратной пропорциональности: $y = \frac{5}{x}$.
Ответ: $y = \frac{5}{x}$.

3.157. Прямоугольник со сторонами $a$ см и $b$ см имеет постоянную площадь, равную $6$ см$^2$. Задайте формулой зависимость $b$ от $a$. Почему эта зависимость является обратной пропорциональностью? Найдите область определения этой функции и начертите ее график.

Задайте формулой зависимость b от a.

Площадь прямоугольника $S$ со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, площадь постоянна и равна 6 см², следовательно, мы имеем равенство:

$a \cdot b = 6$

Чтобы выразить зависимость $b$ от $a$, нужно решить это уравнение относительно $b$. Для этого разделим обе части уравнения на $a$. Так как $a$ — это длина стороны прямоугольника, она не может быть равна нулю ($a > 0$), поэтому деление корректно.

$b = \frac{6}{a}$

Ответ: $b = \frac{6}{a}$

Почему эта зависимость является обратной пропорциональностью?

Обратной пропорциональностью называется функциональная зависимость, при которой одна величина ($y$) изменяется обратно пропорционально другой величине ($x$). Такая зависимость задается формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю.

Полученная нами формула $b = \frac{6}{a}$ полностью соответствует этому определению. Здесь роль зависимой переменной $y$ играет сторона $b$, роль независимой переменной $x$ — сторона $a$, а коэффициент пропорциональности $k$ равен 6. Это означает, что при увеличении стороны $a$ в несколько раз, сторона $b$ уменьшается во столько же раз, чтобы их произведение оставалось постоянным и равным 6.

Ответ: Эта зависимость является обратной пропорциональностью, так как она выражается формулой вида $y = \frac{k}{x}$ (в данном случае $b = \frac{6}{a}$), где произведение переменных есть постоянная величина ($a \cdot b = 6$).

Найдите область определения этой функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (в нашем случае — переменной $a$). С математической точки зрения, функция $b(a) = \frac{6}{a}$ определена для всех действительных чисел, кроме $a=0$, так как на ноль делить нельзя.

Однако, в контексте данной физической задачи, переменная $a$ обозначает длину стороны прямоугольника. Длина стороны по своему физическому смыслу может быть только положительной величиной. Она не может быть ни отрицательной, ни равной нулю.

Следовательно, на переменную $a$ накладывается ограничение: $a > 0$.

Ответ: Область определения функции: $(0; +\infty)$.

Начертите ее график.

Графиком функции $b = \frac{6}{a}$ является гипербола. Поскольку область определения функции $a > 0$, нас интересует только та ветвь гиперболы, которая расположена в первой координатной четверти, где обе переменные ($a$ и $b$) положительны.

Для построения графика составим таблицу значений, выбрав несколько удобных точек из области определения:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией. График будет асимптотически приближаться к осям координат, не пересекая их.

Ответ: График функции представляет собой ветвь гиперболы, расположенную в первой координатной четверти, как показано на рисунке выше.

3.158. Автомобиль проходит путь от Тараза до Алматы протяженностью 500 км со средней скоростью $v$ км/ч за $t$ ч. Задайте формулой

зависимость $v$ от $t$. Используя полученную функцию, найдите среднюю скорость автомобиля такую, чтобы на весь путь было затрачено:

1) 5 ч;

2) 8 ч;

3) 10 ч.

Для решения задачи воспользуемся основной формулой, связывающей расстояние (S), скорость (v) и время (t): $S = v \cdot t$.

По условию задачи, расстояние $S$ от Тараза до Алматы составляет 500 км. Подставим это значение в формулу:
$500 = v \cdot t$

Чтобы задать зависимость средней скорости $v$ от времени $t$ (то есть выразить $v$ через $t$), необходимо разделить обе части уравнения на $t$:
$v(t) = \frac{500}{t}$

Эта формула является искомой зависимостью. Теперь, используя эту функцию, найдем среднюю скорость для заданных значений времени.

1) 5 ч;
Если время в пути $t = 5$ ч, то средняя скорость будет равна:
$v = \frac{500}{5} = 100$ км/ч.
Ответ: 100 км/ч.

2) 8 ч;
Если время в пути $t = 8$ ч, то средняя скорость будет равна:
$v = \frac{500}{8} = 62,5$ км/ч.
Ответ: 62,5 км/ч.

3) 10 ч.
Если время в пути $t = 10$ ч, то средняя скорость будет равна:
$v = \frac{500}{10} = 50$ км/ч.
Ответ: 50 км/ч.