Страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.142. На закладку квадратного проема потребовалось 20 кирпичей. Сколько кирпичей потребуется, чтобы заложить квадратный проем, сторона которого в 3 раза больше?

Количество кирпичей, необходимое для закладки проема, прямо пропорционально площади этого проема.

Пусть $S_1$ — это площадь первого квадратного проема, а $a$ — длина его стороны. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

Для первого проема площадь равна $S_1 = a^2$. На эту площадь потребовалось 20 кирпичей.

У второго квадратного проема сторона в 3 раза больше, то есть ее длина составляет $3a$. Найдем площадь второго проема, $S_2$: $S_2 = (3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$.

Теперь сравним площади двух проемов. Мы видим, что $S_2 = 9 \cdot S_1$. Это означает, что площадь второго проема в 9 раз больше площади первого.

Поскольку количество кирпичей прямо пропорционально площади, для закладки второго проема потребуется в 9 раз больше кирпичей, чем для первого.

Рассчитаем необходимое количество кирпичей: $20 \cdot 9 = 180$ кирпичей.

Ответ: 180 кирпичей.

3.143. Сравните:

1) $(0.7)^{20}$ и $(-0.7)^{20}$;

2) $-6.4^4$ и $(-6.4)^4$;

3) $(-2.1)^{19}$ и $2.1^{19}$;

4) $(-0.2)^{15}$ и $-0.2^{15}$.

1) Для сравнения чисел $(0,7)^{20}$ и $(-0,7)^{20}$ необходимо учесть свойство четных степеней. Показатель степени 20 является четным числом. При возведении любого действительного числа (положительного или отрицательного) в четную степень результат всегда будет неотрицательным. Для любого числа $a$ и четного числа $n$ справедливо равенство $(-a)^n = a^n$. В данном случае $a=0,7$ и $n=20$, следовательно, $(-0,7)^{20} = (0,7)^{20}$. Таким образом, сравниваемые выражения равны.
Ответ: $(0,7)^{20} = (-0,7)^{20}$.

2) Сравним выражения $-6,4^4$ и $(-6,4)^4$. В первом выражении $-6,4^4$ операция возведения в степень выполняется до операции унарного минуса (отрицания). Это означает, что мы сначала вычисляем $6,4^4$, а затем берем результат с противоположным знаком. Так как $6,4^4$ — положительное число, то $-6,4^4$ — отрицательное число. Во втором выражении $(-6,4)^4$ в четвертую степень возводится отрицательное число $-6,4$. Так как показатель степени 4 является четным, результат будет положительным: $(-6,4)^4 = 6,4^4 > 0$. Поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного числа, получаем, что $-6,4^4 < (-6,4)^4$.
Ответ: $-6,4^4 < (-6,4)^4$.

3) Сравним числа $(-2,1)^{19}$ и $2,1^{19}$. В первом выражении $(-2,1)^{19}$ основание степени $-2,1$ является отрицательным, а показатель степени 19 — нечетным. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным: $(-a)^n = -a^n$, если $n$ — нечетное. Таким образом, $(-2,1)^{19} = -(2,1^{19})$, что является отрицательным числом. Второе число $2,1^{19}$ является результатом возведения положительного числа в степень, поэтому оно положительно. Сравнивая отрицательное и положительное числа, заключаем, что $(-2,1)^{19} < 2,1^{19}$.
Ответ: $(-2,1)^{19} < 2,1^{19}$.

4) Сравним $(-0,2)^{15}$ и $-0,2^{15}$. В первом выражении $(-0,2)^{15}$ отрицательное основание $-0,2$ возводится в нечетную степень 15. Результат будет отрицательным: $(-0,2)^{15} = -(0,2^{15})$. Во втором выражении $-0,2^{15}$, согласно порядку операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак минус. То есть, $-0,2^{15} = -(0,2^{15})$. Так как оба выражения приводятся к одному и тому же виду, они равны.
Ответ: $(-0,2)^{15} = -0,2^{15}$.

3.144. Двигаясь со скоростью 70 км/ч, автомобиль за $t$ ч проехал расстояние $s$ км. Задайте зависимость $s$ от $t$ формулой: $s = 70t$. Пользуясь этой формулой, определите путь, который автомобиль проехал за 3 ч; за 4 ч 20 мин.

Для решения задачи воспользуемся основной формулой, связывающей расстояние ($s$), скорость ($v$) и время ($t$): $s = v \cdot t$

По условию, скорость автомобиля постоянна и равна $v = 70$ км/ч. Подставив это значение в формулу, мы получим искомую зависимость расстояния $s$ от времени $t$:
$s(t) = 70t$

Теперь, используя полученную формулу, найдем путь для заданных промежутков времени.

за 3 ч
Подставим в формулу значение времени $t = 3$ часа:
$s = 70 \cdot 3 = 210$ (км)
Ответ: 210 км.

за 4 ч 20 мин
Для использования формулы необходимо выразить время в часах. Поскольку в одном часе 60 минут, 20 минут составляют $\frac{20}{60}$ часа, что равно $\frac{1}{3}$ часа.
Таким образом, общее время в пути:
$t = 4 \text{ ч } + 20 \text{ мин } = 4 + \frac{1}{3} = \frac{12}{3} + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$ ч
Теперь подставим это значение времени в формулу для расчета пути:
$s = 70 \cdot \frac{13}{3} = \frac{910}{3}$ (км)
Выразим результат в виде смешанного числа:
$\frac{910}{3} = 303 \frac{1}{3}$ (км)
Ответ: $303 \frac{1}{3}$ км.