Страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте свойства функции $y=x^2$. Как отражаются эти свойства на графике функции $y=x^2$?

2. Сформулируйте свойства функции $y=x^3$. Как отражаются эти свойства на графике функции $y=x^3$?

1.

Свойства функции $y=x^2$ и их отражение на графике (параболе):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ можно вычислить значение $y$.
  На графике: парабола является сплошной линией, которая простирается бесконечно влево и вправо вдоль оси $Ox$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, значения функции всегда больше либо равны нулю.
  На графике: вся парабола расположена в верхней полуплоскости, то есть выше оси $Ox$. Самая нижняя точка графика находится на оси $Ox$ — это $(0, 0)$.
• Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$.
  На графике: график функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Левая ветвь параболы является зеркальным отражением правой.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
  На графике: парабола пересекает оси координат только в одной точке — начале координат $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при всех $x \neq 0$.
  На графике: все точки параболы, кроме вершины, лежат выше оси $Ox$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
  На графике: при движении слева направо до точки $(0, 0)$ график "опускается", а после этой точки — "поднимается".
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума: $y_{min} = 0$. Максимума у функции нет.
  На графике: точка $(0, 0)$ является вершиной параболы — это ее самая низкая точка.

Ответ: Свойства функции $y=x^2$ определяют ее график — параболу. Область определения и область значений показывают, что парабола бесконечна и расположена выше оси $Ox$. Четность функции отражается в симметрии графика относительно оси $Oy$. Нули, промежутки знакопостоянства и монотонности определяют ключевую точку графика — вершину $(0, 0)$, где функция меняет убывание на возрастание.

2.

Свойства функции $y=x^3$ и их отражение на графике (кубической параболе):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция определена для всех действительных чисел $x$.
  На графике: кубическая парабола является сплошной линией, которая простирается бесконечно влево и вправо.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция может принимать любые действительные значения.
  На графике: график простирается бесконечно как вверх, так и вниз, занимая все пространство по вертикали.
• Нечетность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$.
  На графике: график функции симметричен относительно начала координат $(0, 0)$. Если повернуть одну часть графика на 180° вокруг начала координат, она совпадет с другой частью.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
  На графике: кубическая парабола пересекает оси координат только в одной точке — начале координат $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при $x>0$ и отрицательна ($y<0$) при $x<0$.
  На графике: при $x>0$ график находится в I координатной четверти (выше оси $Ox$), а при $x<0$ — в III координатной четверти (ниже оси $Ox$).
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
  На графике: при движении слева направо график постоянно "поднимается".
• Экстремумы: функция не имеет точек минимума и максимума.
  На графике: у кубической параболы нет "вершин" или "впадин". Точка $(0,0)$ является точкой перегиба, где меняется направление выпуклости графика.

Ответ: Свойства функции $y=x^3$ определяют ее график — кубическую параболу. Область определения и область значений показывают, что график бесконечен в обеих плоскостях. Нечетность функции отражается в ее симметрии относительно начала координат. Постоянное возрастание и знаки функции определяют ее расположение в I и III координатных четвертях и прохождение через точку $(0,0)$.

3.105. Используя график функции $y=x^2$, изображенный на рисунке 3.37, найдите:

1) значения $y$, соответствующие значениям $x$, равным 0,75; -1,25; 1,25; -2,5; 2,5 ;

2) значения $x$, которым соответствуют значения $y$, равные 3; 5.

Поскольку в задании не предоставлен рисунок 3.37 с графиком функции, мы найдем требуемые значения аналитически, выполнив вычисления по формуле $y=x^2$.

1) значения y, соответствующие значениям x, равным 0,75; −1,25; 1,25; −2,5; 2,5 ;

Чтобы найти соответствующие значения $y$, подставим каждое из заданных значений $x$ в уравнение функции $y=x^2$.

При $x = 0,75$: $y = (0,75)^2 = 0,5625$.

При $x = -1,25$: $y = (-1,25)^2 = 1,5625$.

При $x = 1,25$: $y = (1,25)^2 = 1,5625$.

При $x = -2,5$: $y = (-2,5)^2 = 6,25$.

При $x = 2,5$: $y = (2,5)^2 = 6,25$.

Ответ: При $x=0,75$, $y=0,5625$; при $x=-1,25$ и $x=1,25$, $y=1,5625$; при $x=-2,5$ и $x=2,5$, $y=6,25$.

2) значения x, которым соответствуют значения y, равные 3; 5.

Чтобы найти значения $x$, которым соответствуют заданные значения $y$, решим уравнение $x^2 = y$ для каждого $y$. Так как функция $y=x^2$ симметрична относительно оси Oy, каждому положительному значению $y$ будут соответствовать два противоположных значения $x$: $x = \sqrt{y}$ и $x = -\sqrt{y}$.

При $y = 3$, имеем уравнение $x^2=3$. Его корнями являются $x = \pm\sqrt{3}$. Поскольку задача предполагает использование графика, мы можем найти приближенные значения: $x \approx \pm1,73$.

При $y = 5$, имеем уравнение $x^2=5$. Его корнями являются $x = \pm\sqrt{5}$. Приближенные значения: $x \approx \pm2,24$.

Ответ: При $y=3$, $x = \pm\sqrt{3} \approx \pm1,73$; при $y=5$, $x = \pm\sqrt{5} \approx \pm2,24$.

3.106. Пользуясь графиком функции $y=x^2$ (рис. 3.37), найдите:

1) значения функции, соответствующие значениям аргумента, равным 1,5; -2,7; 3,1;

2) значения аргумента, при которых значения функции равны 2 и 7.

Рис. 3.37

1) значения функции, соответствующие значениям аргумента, равным 1,5; -2,7; 3,1;

Чтобы найти значение функции (ординату $y$) по заданному значению аргумента (абсциссе $x$), используя график, необходимо:

1. Найти на оси абсцисс (горизонтальной оси $Ox$) точку, соответствующую заданному значению аргумента $x$.
2. Восстановить перпендикуляр из этой точки до пересечения с графиком функции $y=x^2$.
3. Из точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат (вертикальной оси $Oy$).
4. Координата точки пересечения с осью $Oy$ является искомым значением функции $y$.

Применим этот метод для заданных значений аргумента:

• Если $x = 1,5$: Находим на оси $Ox$ точку $1,5$. Поднимаемся до параболы и от точки пересечения движемся горизонтально к оси $Oy$. По графику видно, что значение $y$ находится между 2 и 2,5. Для нахождения точного значения используем формулу: $y = (1,5)^2 = 2,25$.

• Если $x = -2,7$: Находим на оси $Ox$ точку $-2,7$. Поднимаемся до параболы и движемся горизонтально к оси $Oy$. По графику видно, что значение $y$ немного больше 7. Точное значение: $y = (-2,7)^2 = 7,29$.

• Если $x = 3,1$: Находим на оси $Ox$ точку $3,1$. Поднимаемся до параболы и движемся горизонтально к оси $Oy$. По графику видно, что значение $y$ немного больше 9. Точное значение: $y = (3,1)^2 = 9,61$.

Ответ: при $x=1,5$ значение функции $y=2,25$; при $x=-2,7$ значение функции $y=7,29$; при $x=3,1$ значение функции $y=9,61$.

2) значения аргумента, при которых значения функции равны 2 и 7.

Чтобы найти значения аргумента ($x$) по заданному значению функции ($y$), используя график, необходимо:

1. Найти на оси ординат ($Oy$) точку, соответствующую заданному значению функции $y$.
2. Провести через эту точку горизонтальную прямую до пересечения с графиком функции $y=x^2$.
3. Из каждой точки пересечения (если они есть) опустить перпендикуляр на ось абсцисс ($Ox$).
4. Координаты оснований этих перпендикуляров на оси $Ox$ и будут искомыми значениями аргумента $x$.

Применим этот метод для заданных значений функции:

• Если $y = 2$: Находим на оси $Oy$ точку 2. Проводим горизонтальную прямую $y=2$. Эта прямая пересекает параболу в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$. Опуская из этих точек перпендикуляры на ось $Ox$, получаем два значения: $x_1 \approx 1,4$ и $x_2 \approx -1,4$.

• Если $y = 7$: Находим на оси $Oy$ точку 7. Проводим горизонтальную прямую $y=7$. Она также пересекает параболу в двух симметричных точках. Опуская из них перпендикуляры на ось $Ox$, получаем два значения: $x_1 \approx 2,6$ и $x_2 \approx -2,6$.

Ответ: при $y=2$ значения аргумента $x \approx 1,4$ и $x \approx -1,4$; при $y=7$ значения аргумента $x \approx 2,6$ и $x \approx -2,6$.