Страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.107. Воспользовавшись графиком функции $y=x^2$ (рис. 3.37), найдите:

1) значения y, соответствующие значениям x, равным -2,3; -0,4; 0,4; 2,3;

2) значения x, которым соответствуют значения y, равные 2; 0,9.

1) значения y, соответствующие значениям x, равным –2,3; –0,4; 0,4; 2,3;

Для того чтобы найти значение функции $y$ по известному значению аргумента $x$, используя график функции $y=x^2$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти на оси абсцисс ($Ox$) точку, соответствующую заданному значению $x$.
2. Из этой точки провести вертикальную линию до пересечения с графиком параболы.
3. Из точки пересечения провести горизонтальную линию до пересечения с осью ординат ($Oy$).
4. Значение на оси $Oy$ в точке пересечения и будет искомым значением $y$.

Так как график в задании не приведён, мы найдем точные значения $y$ аналитически, подставив данные значения $x$ в уравнение функции $y=x^2$:

• При $x = -2,3$ получаем: $y = (-2,3)^2 = 5,29$.

• При $x = -0,4$ получаем: $y = (-0,4)^2 = 0,16$.

• При $x = 0,4$ получаем: $y = (0,4)^2 = 0,16$.

• При $x = 2,3$ получаем: $y = (2,3)^2 = 5,29$.

Ответ: если $x = -2,3$, то $y=5,29$; если $x = -0,4$, то $y=0,16$; если $x = 0,4$, то $y=0,16$; если $x = 2,3$, то $y=5,29$.

2) значения x, которым соответствуют значения y, равные 2; 0,9.

Для того чтобы найти значения $x$, соответствующие заданному значению $y$, используя график функции $y=x^2$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти на оси ординат ($Oy$) точку, соответствующую заданному значению $y$.
2. Из этой точки провести горизонтальную линию до пересечения с графиком параболы. Так как парабола $y=x^2$ симметрична относительно оси $Oy$, при $y > 0$ будет две точки пересечения.
3. Из каждой точки пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс ($Ox$).
4. Значения на оси $Ox$ в точках пересечения и будут искомыми значениями $x$.

Аналитически значения $x$ можно найти, решив уравнение $x^2 = y$, откуда $x = \pm\sqrt{y}$ (при $y \ge 0$). Поскольку задача предполагает использование графика, результат будет приблизительным.

• При $y=2$ имеем уравнение $x^2 = 2$. Решения: $x = \pm\sqrt{2}$. Приближенное значение: $x \approx \pm1,41$.

• При $y=0,9$ имеем уравнение $x^2 = 0,9$. Решения: $x = \pm\sqrt{0,9}$. Приближенное значение: $x \approx \pm0,95$.

Ответ: если $y=2$, то $x \approx \pm 1,41$; если $y=0,9$, то $x \approx \pm 0,95$.

3.108. Используя график функции $y=x^3$, изображенный на рисунке 3.38, найдите:

1) значения $y$, соответствующие значениям $x$, равным 1,5; -1,5; -0,6; 0,6;

2) значения $x$, которым соответствуют значения $y$, равные -5; 5.

Рис.3.38

1) значения y, соответствующие значениям x, равным 1,5; -1,5; -0,6; 0,6;

Для нахождения значений $y$ по заданным значениям $x$ воспользуемся графиком функции $y=x^3$.
Масштаб графика: по оси абсцисс ($Ox$) 2 клетки соответствуют 1 единице (т.е. 1 клетка = 0,5), а по оси ординат ($Oy$) 1 клетка соответствует 1 единице.

Алгоритм поиска:
1. Найти на оси $Ox$ заданное значение $x$.
2. Провести вертикальную линию от этой точки до пересечения с графиком функции.
3. Из точки пересечения провести горизонтальную линию до оси $Oy$.
4. Считать значение $y$ на оси $Oy$.

- При $x = 1,5$: Находим на оси $Ox$ точку 1,5 (3 клетки вправо от 0). Поднимаемся до графика и от точки пересечения движемся горизонтально к оси $Oy$. Получаем значение $y$ немного ниже 3,5. Приблизительно $y \approx 3,4$. (Для проверки: $1,5^3 = 3,375$).
- При $x = -1,5$: Находим на оси $Ox$ точку -1,5 (3 клетки влево от 0). Опускаемся до графика и движемся к оси $Oy$. Получаем значение $y$ немного выше -3,5. Приблизительно $y \approx -3,4$. (Для проверки: $(-1,5)^3 = -3,375$).
- При $x = -0,6$: Находим на оси $Ox$ точку -0,6 (немного левее -0,5). Опускаемся до графика и движемся к оси $Oy$. Получаем значение $y$ немного ниже 0. Приблизительно $y \approx -0,2$. (Для проверки: $(-0,6)^3 = -0,216$).
- При $x = 0,6$: Находим на оси $Ox$ точку 0,6 (немного правее 0,5). Поднимаемся до графика и движемся к оси $Oy$. Получаем значение $y$ немного выше 0. Приблизительно $y \approx 0,2$. (Для проверки: $0,6^3 = 0,216$).

Ответ: при $x=1,5, y \approx 3,4$; при $x=-1,5, y \approx -3,4$; при $x=-0,6, y \approx -0,2$; при $x=0,6, y \approx 0,2$.

2) значения x, которым соответствуют значения y, равные -5; 5.

Для нахождения значений $x$ по заданным значениям $y$ выполним обратную процедуру.

Алгоритм поиска:
1. Найти на оси $Oy$ заданное значение $y$.
2. Провести горизонтальную линию от этой точки до пересечения с графиком функции.
3. Из точки пересечения провести вертикальную линию до оси $Ox$.
4. Считать значение $x$ на оси $Ox$.

- При $y = -5$: Находим на оси $Oy$ точку -5. Движемся горизонтально влево до пересечения с графиком. От точки пересечения проводим вертикальную линию вверх до оси $Ox$. Значение $x$ находится между -1,5 и -2, но ближе к -1,5. Приблизительно $x \approx -1,7$. (Для проверки: $x = \sqrt[3]{-5} \approx -1,71$).
- При $y = 5$: Находим на оси $Oy$ точку 5. Движемся горизонтально вправо до пересечения с графиком. От точки пересечения проводим вертикальную линию вниз до оси $Ox$. Значение $x$ находится между 1,5 и 2, но ближе к 1,5. Приблизительно $x \approx 1,7$. (Для проверки: $x = \sqrt[3]{5} \approx 1,71$).

Ответ: при $y=-5, x \approx -1,7$; при $y=5, x \approx 1,7$.

3.109. Пользуясь графиком функции $y=x^3$ (рис.3.38), найдите:

1) значения функции, соответствующие значениям аргумента, равным -0,7; 1,2;

2) значения аргумента, которым соответствуют значения функции, равные 3; -3.

Для решения задачи воспользуемся функцией $y = x^3$. Так как по условию требуется использовать график, который не приложен, мы проведем аналитические вычисления для нахождения точных значений и укажем, какими бы были приблизительные значения, снятые с графика.

Чтобы найти значение функции $y$ при заданном значении аргумента $x$, необходимо подставить значение $x$ в формулу $y = x^3$.

• При $x = -0,7$:

  $y = (-0,7)^3 = -0,343$

  На графике мы бы нашли значение $x=-0,7$ на оси абсцисс, поднялись или опустились до кривой и затем нашли соответствующее значение на оси ординат, которое было бы примерно равно $-0,3$.

• При $x = 1,2$:

  $y = (1,2)^3 = 1,728$

  На графике для $x=1,2$ соответствующее значение функции было бы примерно равно $1,7$.

Ответ: Точные значения: при $x=-0,7$, $y=-0,343$; при $x=1,2$, $y=1,728$. Приблизительные значения с графика: $y \approx -0,3$ и $y \approx 1,7$ соответственно.

Чтобы найти значение аргумента $x$ при заданном значении функции $y$, необходимо решить уравнение $x^3 = y$, то есть найти кубический корень из $y$: $x = \sqrt[3]{y}$.

• При $y = 3$:

  $x^3 = 3 \implies x = \sqrt[3]{3}$

  Это иррациональное число. Его приблизительное значение $x \approx 1,44$. На графике мы бы нашли значение $y=3$ на оси ординат, провели бы горизонтальную линию до пересечения с кривой и определили бы соответствующее значение на оси абсцисс, которое было бы примерно $1,4$.

• При $y = -3$:

  $x^3 = -3 \implies x = \sqrt[3]{-3} = -\sqrt[3]{3}$

  Приблизительное значение $x \approx -1,44$. На графике это значение было бы примерно $-1,4$.

Ответ: Точные значения: при $y=3$, $x=\sqrt[3]{3}$; при $y=-3$, $x=-\sqrt[3]{3}$. Приблизительные значения с графика: $x \approx 1,4$ и $x \approx -1,4$ соответственно.

3.110. Какие из точек A(2; 4), B(−1; 1), C(1; −1), D(−3; −9), E(5; −25), F(−4; 16) лежат на графике функции $y=x^2$?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y = x^2$, необходимо подставить координаты $x$ и $y$ каждой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

A(2; 4)
Подставим координаты точки A в уравнение функции: $x = 2$, $y = 4$.
$4 = 2^2$
$4 = 4$
Равенство верное, следовательно, точка A лежит на графике функции.
Ответ: лежит.

B(-1; 1)
Подставим координаты точки B в уравнение функции: $x = -1$, $y = 1$.
$1 = (-1)^2$
$1 = 1$
Равенство верное, следовательно, точка B лежит на графике функции.
Ответ: лежит.

C(1; -1)
Подставим координаты точки C в уравнение функции: $x = 1$, $y = -1$.
$-1 = 1^2$
$-1 = 1$
Равенство неверное, следовательно, точка C не лежит на графике функции.
Ответ: не лежит.

D(-3; -9)
Подставим координаты точки D в уравнение функции: $x = -3$, $y = -9$.
$-9 = (-3)^2$
$-9 = 9$
Равенство неверное, следовательно, точка D не лежит на графике функции.
Ответ: не лежит.

E(5; -25)
Подставим координаты точки E в уравнение функции: $x = 5$, $y = -25$.
$-25 = 5^2$
$-25 = 25$
Равенство неверное, следовательно, точка E не лежит на графике функции.
Ответ: не лежит.

F(-4; 16)
Подставим координаты точки F в уравнение функции: $x = -4$, $y = 16$.
$16 = (-4)^2$
$16 = 16$
Равенство верное, следовательно, точка F лежит на графике функции.
Ответ: лежит.

3.111. Какие из точек A(3; 27), B(-3; 27), C(-1; 1), D(0; 1), E(-2; -8), F(8; 2) лежат на графике функции $y=x^3$?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y=x^3$, необходимо подставить координаты $(x; y)$ каждой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка лежит на графике. В противном случае — не лежит.

A(3; 27)
Подставляем $x = 3$ и $y = 27$ в уравнение функции:
$y = x^3$
$27 = 3^3$
$27 = 27$
Равенство верное, следовательно, точка A лежит на графике функции.
Ответ: лежит.

B(-3; 27)
Подставляем $x = -3$ и $y = 27$ в уравнение функции:
$y = x^3$
$27 = (-3)^3$
$27 = -27$
Равенство неверное, следовательно, точка B не лежит на графике функции.
Ответ: не лежит.

C(-1; 1)
Подставляем $x = -1$ и $y = 1$ в уравнение функции:
$y = x^3$
$1 = (-1)^3$
$1 = -1$
Равенство неверное, следовательно, точка C не лежит на графике функции.
Ответ: не лежит.

D(0; 1)
Подставляем $x = 0$ и $y = 1$ в уравнение функции:
$y = x^3$
$1 = 0^3$
$1 = 0$
Равенство неверное, следовательно, точка D не лежит на графике функции.
Ответ: не лежит.

E(-2; -8)
Подставляем $x = -2$ и $y = -8$ в уравнение функции:
$y = x^3$
$-8 = (-2)^3$
$-8 = -8$
Равенство верное, следовательно, точка E лежит на графике функции.
Ответ: лежит.

F(8; 2)
Подставляем $x = 8$ и $y = 2$ в уравнение функции:
$y = x^3$
$2 = 8^3$
$2 = 512$
Равенство неверное, следовательно, точка F не лежит на графике функции.
Ответ: не лежит.

3.112. При каких значениях $m$ точка:

1) A(-3; $m$);

2) B($m$; 25) лежит на графике функции $y=x^2$?

Для того чтобы точка принадлежала графику функции, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. В данном случае, функция задана уравнением $y = x^2$. Это означает, что при подстановке координат точки $(x_0; y_0)$ в уравнение, мы должны получить верное равенство $y_0 = x_0^2$.

1) A(-3; m)
В данном случае координаты точки A: $x = -3$ и $y = m$.
Подставим эти значения в уравнение функции $y = x^2$:
$m = (-3)^2$
Вычислим значение $m$:
$m = 9$
Таким образом, точка A(-3; 9) лежит на графике функции $y = x^2$.
Ответ: $m = 9$.

2) B(m; 25)
Координаты точки B: $x = m$ и $y = 25$.
Подставим эти значения в уравнение функции $y = x^2$:
$25 = m^2$
Мы получили квадратное уравнение относительно $m$. Чтобы найти $m$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что у такого уравнения есть два решения, так как и положительное, и отрицательное число в квадрате дают положительный результат.
$m^2 = 25$
$m = \pm\sqrt{25}$
$m_1 = 5$
$m_2 = -5$
Следовательно, существуют две точки, удовлетворяющие условию: B(5; 25) и B(-5; 25).
Ответ: $m = 5$ или $m = -5$.

3.113. При каких значениях m точка:

лежит на графике функции $y=x^3$?

1) Для того чтобы точка $A(-3; m)$ принадлежала графику функции $y=x^3$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение функции мы должны получить верное равенство.

В данном случае абсцисса точки $x = -3$, а ордината $y = m$. Подставим эти значения в уравнение функции $y=x^3$:

$m = (-3)^3$

Вычислим значение куба:

$m = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$

Следовательно, при $m = -27$ точка A лежит на графике данной функции.

Ответ: $m = -27$.

2) Аналогично, для того чтобы точка $B(m; 8)$ принадлежала графику функции $y=x^3$, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции.

В данном случае абсцисса точки $x = m$, а ордината $y = 8$. Подставим эти значения в уравнение $y=x^3$:

$8 = m^3$

Чтобы найти $m$, необходимо решить это кубическое уравнение. Это эквивалентно нахождению кубического корня из 8:

$m = \sqrt[3]{8}$

Поскольку $2^3 = 8$, то $m=2$.

Следовательно, при $m = 2$ точка B лежит на графике данной функции.

Ответ: $m = 2$.

3.114. Принадлежит ли графику функции $y=x^2$ точка:

1) $A(-0.3; 0.09)$;

2) $B(1\frac{1}{2}; 2\frac{1}{4})$;

3) $C(-3\frac{1}{3}; \frac{1}{9})$?

1) A(-0,3; 0,09)
Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции $y=x^2$, нужно подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции. Если равенство будет верным, то точка принадлежит графику.
Подставим координаты точки A: $x = -0,3$ и $y = 0,09$ в уравнение $y = x^2$.
$0,09 = (-0,3)^2$
Выполним возведение в квадрат:
$(-0,3)^2 = (-0,3) \cdot (-0,3) = 0,09$.
Получаем верное равенство:
$0,09 = 0,09$.
Следовательно, точка A принадлежит графику функции.
Ответ: Да, принадлежит.

2) B($1\frac{1}{2}$; $2\frac{1}{4}$)
Подставим координаты точки B в уравнение $y=x^2$. Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби.
$x = 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
$y = 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Подставляем значения в уравнение:
$\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2$
Выполним возведение в квадрат:
$(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
Получаем верное равенство:
$\frac{9}{4} = \frac{9}{4}$.
Следовательно, точка B принадлежит графику функции.
Ответ: Да, принадлежит.

3) C( -$3\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$)
Подставим координаты точки C в уравнение $y=x^2$. Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$x = -3\frac{1}{3} = -(\frac{3 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{10}{3}$
$y = \frac{1}{9}$
Подставляем значения в уравнение:
$\frac{1}{9} = (-\frac{10}{3})^2$
Выполним возведение в квадрат:
$(-\frac{10}{3})^2 = \frac{(-10)^2}{3^2} = \frac{100}{9}$.
Получаем равенство:
$\frac{1}{9} = \frac{100}{9}$.
Это равенство неверное. Следовательно, точка C не принадлежит графику функции.
Ответ: Нет, не принадлежит.

3.115. Принадлежит ли графику функции $y=x^3$ точка:

1) A(-0,2;-0,008);

2) B($-1\frac{1}{3}$;$-2\frac{10}{27}$);

3) C($-\frac{1}{2}$;$\frac{1}{8}$)?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты (x; y) в уравнение функции $y=x^3$. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

1) A(-0,2; -0,008)
Подставим абсциссу (координату x) точки A в уравнение функции:
$x = -0,2$
$y = (-0,2)^3 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04 \cdot (-0,2) = -0,008$.
Полученное значение $y$ совпадает с ординатой точки A. Равенство $-0,008 = -0,008$ является верным.
Следовательно, точка A принадлежит графику функции $y=x^3$.
Ответ: да, принадлежит.

2) B(-1$\frac{1}{3}$; -2$\frac{10}{27}$)
Сначала представим координаты точки B в виде неправильных дробей:
$x = -1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$
$y = -2\frac{10}{27} = -\frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = -\frac{54 + 10}{27} = -\frac{64}{27}$
Теперь подставим значение $x$ в уравнение функции:
$y = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 = -\frac{4^3}{3^3} = -\frac{64}{27}$.
Полученное значение $y$ совпадает с ординатой точки B. Равенство $-\frac{64}{27} = -\frac{64}{27}$ является верным.
Следовательно, точка B принадлежит графику функции $y=x^3$.
Ответ: да, принадлежит.

3) C(-$\frac{1}{2}$; $\frac{1}{8}$)
Подставим абсциссу точки C в уравнение функции:
$x = -\frac{1}{2}$
$y = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$.
Полученное значение $y = -\frac{1}{8}$ не совпадает с ординатой точки C, которая равна $\frac{1}{8}$. Равенство $-\frac{1}{8} = \frac{1}{8}$ является неверным.
Следовательно, точка C не принадлежит графику функции $y=x^3$.
Ответ: нет, не принадлежит.