Страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.90. По рис. 3.31 а), б) :

1) составьте систему линейных уравнений;

2) найдите по графику решение составленной системы.

а)

$x + y = 4$

$3y = 2x$

б)

$-4x + 3y = 8$

$2x + y = 6$

Рис. 3.31

а)
1) Чтобы составить систему линейных уравнений, необходимо определить уравнение каждой прямой, изображенной на графике.

• Первая прямая (убывающая) проходит через точки с координатами $(0, 4)$ и $(4, 0)$. Ее уравнение можно найти по этим двум точкам. Уравнение этой прямой: $x + y = 4$.
• Вторая прямая (возрастающая) проходит через точки $(-2, 0)$ и $(2, 2)$. Уравнение этой прямой: $y = \frac{1}{2}x + 1$, что в стандартном виде записывается как $-x + 2y = 2$.

Таким образом, система линейных уравнений имеет вид: $$ \begin{cases} x + y = 4 \\ -x + 2y = 2 \end{cases} $$ 2) Решением системы является точка пересечения графиков этих уравнений. По графику видно, что прямые пересекаются в точке с координатами $(2, 2)$.
Ответ: 1) $ \begin{cases} x + y = 4 \\ -x + 2y = 2 \end{cases} $; 2) $(2, 2)$.

б)
1) Для составления системы уравнений воспользуемся уравнениями, которые уже указаны на графике для каждой прямой.

• Уравнение первой прямой (убывающей): $2x + y = 6$.
• Уравнение второй прямой (возрастающей): $-4x + 3y = 8$.

Таким образом, система линейных уравнений имеет вид: $$ \begin{cases} 2x + y = 6 \\ -4x + 3y = 8 \end{cases} $$ 2) Решением системы является точка пересечения прямых. Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты $(1, 4)$.
Ответ: 1) $ \begin{cases} 2x + y = 6 \\ -4x + 3y = 8 \end{cases} $; 2) $(1, 4)$.

3.91. Решите систему уравнений графическим способом:

1) $ \begin{cases} y = x, \\ x + 2y = 2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x - 2y = 0, \\ 2x + y = 5; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + y = 2, \\ 2x - 3y = 9. \end{cases} $

1)

Чтобы решить систему уравнений $\begin{cases} y = x, \\ x + 2y = 2; \end{cases}$ графическим способом, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения этих графиков будут решением системы.

Первое уравнение $y = x$ задает прямую, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей. Для ее построения можно взять две точки, например, $(0; 0)$ и $(2; 2)$.

Второе уравнение $x + 2y = 2$. Чтобы построить его график, выразим $y$ через $x$:
$2y = 2 - x$
$y = -\frac{1}{2}x + 1$
Это также линейная функция, ее график — прямая. Найдем две точки для построения:
Если $x=0$, то $y = 1$. Точка $(0; 1)$.
Если $x=2$, то $y = -\frac{1}{2}(2) + 1 = 0$. Точка $(2; 0)$.

Построив графики прямых $y=x$ и $y = -\frac{1}{2}x + 1$ в одной системе координат, находим их точку пересечения. Координаты этой точки являются решением системы. Из графика видно, что точка пересечения — $(\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$.

2)

Решим систему уравнений $\begin{cases} x - 2y = 0, \\ 2x + y = 5; \end{cases}$ графическим способом.

Преобразуем первое уравнение для построения графика:
$x - 2y = 0 \implies -2y = -x \implies y = \frac{1}{2}x$.
Это прямая. Для ее построения возьмем точки: $(0; 0)$ и $(2; 1)$.

Преобразуем второе уравнение:
$2x + y = 5 \implies y = -2x + 5$.
Это также прямая. Для ее построения возьмем точки: $(0; 5)$ и $(2; 1)$.

Построим графики функций $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -2x + 5$ в одной системе координат. Прямые пересекаются в точке $(2; 1)$, которая и является решением системы.

Ответ: $(2; 1)$.

3)

Решим систему уравнений $\begin{cases} x + y = 2, \\ 2x - 3y = 9. \end{cases}$ графическим способом.

Из первого уравнения выразим $y$:
$x + y = 2 \implies y = -x + 2$.
Это прямая. Для построения возьмем точки: $(0; 2)$ и $(2; 0)$.

Из второго уравнения также выразим $y$:
$2x - 3y = 9 \implies -3y = 9 - 2x \implies y = \frac{2}{3}x - 3$.
Это прямая. Для построения возьмем точки: $(0; -3)$ и $(3; -1)$ (при $x=3$, $y=\frac{2}{3}(3)-3=2-3=-1$).

Построим графики прямых $y = -x + 2$ и $y = \frac{2}{3}x - 3$ в одной системе координат. Точка их пересечения имеет координаты $(3; -1)$.

Ответ: $(3; -1)$.

3.92. Найдите точки пересечения графика линейной функции, заданной в упражнении 3.88, с осями координат.

Для решения этой задачи необходимо знать уравнение линейной функции из упражнения 3.88. Поскольку это уравнение не предоставлено, мы решим задачу для типичного примера линейной функции, например, для функции $y = 2x - 3$.

Задача состоит в нахождении точек пересечения графика функции с осями координат: осью ординат (Oy) и осью абсцисс (Ox).

Нахождение точки пересечения с осью ординат (Oy)

Точка пересечения с осью Oy имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю. Чтобы найти ординату (координату $y$) этой точки, подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y = 2 \cdot 0 - 3$

$y = 0 - 3$

$y = -3$

Следовательно, точка пересечения графика с осью Oy имеет координаты $(0; -3)$.

Ответ: $(0; -3)$.

Нахождение точки пересечения с осью абсцисс (Ox)

Точка пересечения с осью Ox имеет ординату (координату $y$), равную нулю. Чтобы найти абсциссу (координату $x$) этой точки, подставим $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = 2x - 3$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

$x = 1.5$

Следовательно, точка пересечения графика с осью Ox имеет координаты $(1.5; 0)$.

Ответ: $(1.5; 0)$.

3.93. Проходит ли график уравнения $3x - 4y = 7$ через точку:

1) A (3; 4);

2) B (3; $\frac{1}{2}$);

3) C (1; -1);

4) D (1; 1)?

Чтобы определить, проходит ли график уравнения $3x - 4y = 7$ через заданную точку, необходимо подставить координаты $x$ и $y$ этой точки в уравнение. Если в результате получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику (график проходит через точку), в противном случае — не принадлежит.

Подставляем $x = 3$ и $y = 4$ в уравнение $3x - 4y = 7$:
$3 \cdot 3 - 4 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$
$-7 \neq 7$
Равенство неверное, следовательно, график не проходит через точку A.
Ответ: нет.

Подставляем $x = 3$ и $y = \frac{1}{2}$ в уравнение $3x - 4y = 7$:
$3 \cdot 3 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 9 - 2 = 7$
$7 = 7$
Равенство верное, следовательно, график проходит через точку B.
Ответ: да.

Подставляем $x = 1$ и $y = -1$ в уравнение $3x - 4y = 7$:
$3 \cdot 1 - 4 \cdot (-1) = 3 + 4 = 7$
$7 = 7$
Равенство верное, следовательно, график проходит через точку C.
Ответ: да.

Подставляем $x = 1$ и $y = 1$ в уравнение $3x - 4y = 7$:
$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 3 - 4 = -1$
$-1 \neq 7$
Равенство неверное, следовательно, график не проходит через точку D.
Ответ: нет.

3.94. График уравнения $2x + y = c$ проходит через точку $A(3; -4)$.

Найдите $c$.

Дано уравнение $2x + y = c$. Известно, что график этого уравнения проходит через точку $A$ с координатами $(3; -4)$.

Если точка принадлежит графику уравнения, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению. Это значит, что если мы подставим значения $x=3$ и $y=-4$ в уравнение, то получим верное равенство.

Подставим координаты точки $A(3; -4)$ в уравнение $2x + y = c$:

$2 \cdot (3) + (-4) = c$

Теперь выполним вычисления в левой части уравнения, чтобы найти значение $c$:

$6 - 4 = c$

$2 = c$

Следовательно, значение $c$ равно 2.

Ответ: 2

3.95. График уравнения $3x + by = 12$ проходит через точку $C(2; 3)$.

Проходит ли эта прямая через точку:

1) $A(0; 6)$;

2) $B(-4; 6)$?

По условию, график уравнения $3x + by = 12$ проходит через точку $C(2; 3)$. Это значит, что координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению. Мы можем подставить значения $x=2$ и $y=3$ в уравнение, чтобы найти неизвестный коэффициент $b$.

$3 \cdot 2 + b \cdot 3 = 12$

$6 + 3b = 12$

Вычтем 6 из обеих частей уравнения:

$3b = 12 - 6$

$3b = 6$

Разделим обе части на 3:

$b = \frac{6}{3}$

$b = 2$

Теперь, когда мы нашли значение $b$, мы можем записать полное уравнение прямой: $3x + 2y = 12$.

Далее проверим, принадлежат ли точки $A(0; 6)$ и $B(-4; 6)$ этой прямой. Для этого нужно подставить их координаты в полученное уравнение. Если равенство будет верным, точка принадлежит прямой, если нет — не принадлежит.

1) Проверка для точки $A(0; 6)$.

Подставляем $x=0$ и $y=6$ в уравнение $3x + 2y = 12$:

$3 \cdot 0 + 2 \cdot 6 = 12$

$0 + 12 = 12$

$12 = 12$

Так как получилось верное равенство, точка $A(0; 6)$ лежит на данной прямой.

Ответ: да, проходит.

2) Проверка для точки $B(-4; 6)$.

Подставляем $x=-4$ и $y=6$ в уравнение $3x + 2y = 12$:

$3 \cdot (-4) + 2 \cdot 6 = 12$

$-12 + 12 = 12$

$0 = 12$

Получилось неверное равенство, следовательно, точка $B(-4; 6)$ не лежит на данной прямой.

Ответ: нет, не проходит.

3.96. Прямая $ax - 5y = 7$ параллельна прямой $2x - 5y = -3$. Проходит ли график этой прямой через точку:

1) $C(1; 1)$;

2) $D(1; -1)$?

Даны две прямые: $ax - 5y = 7$ и $2x - 5y = -3$.

Условие параллельности двух прямых, заданных в виде $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, заключается в равенстве их угловых коэффициентов, то есть $k_1 = k_2$.

Выразим $y$ из уравнений обеих прямых, чтобы найти их угловые коэффициенты.

Для первой прямой $ax - 5y = 7$:

$-5y = -ax + 7$

$y = \frac{a}{5}x - \frac{7}{5}$

Угловой коэффициент этой прямой $k_1 = \frac{a}{5}$.

Для второй прямой $2x - 5y = -3$:

$-5y = -2x - 3$

$y = \frac{2}{5}x + \frac{3}{5}$

Угловой коэффициент этой прямой $k_2 = \frac{2}{5}$.

Так как прямые параллельны, приравниваем их угловые коэффициенты:

$k_1 = k_2$

$\frac{a}{5} = \frac{2}{5}$

Отсюда находим, что $a = 2$.

Таким образом, уравнение первой прямой имеет вид: $2x - 5y = 7$.

Теперь проверим, проходят ли точки C и D через эту прямую.

1) C(1; 1)

Чтобы проверить, проходит ли прямая через точку C(1; 1), подставим её координаты ($x=1$, $y=1$) в уравнение прямой $2x - 5y = 7$:

$2(1) - 5(1) = 2 - 5 = -3$

Полученное значение $-3$ не равно $7$. Следовательно, точка C(1; 1) не лежит на данной прямой.

Ответ: нет.

2) D(1; -1)

Чтобы проверить, проходит ли прямая через точку D(1; -1), подставим её координаты ($x=1$, $y=-1$) в уравнение прямой $2x - 5y = 7$:

$2(1) - 5(-1) = 2 + 5 = 7$

Полученное значение $7$ равно $7$. Следовательно, точка D(1; -1) лежит на данной прямой.

Ответ: да.

3.97. Найдите точку пересечения прямых $x - 2y = 0$ и $2x + y = -5$. Проходит ли прямая $3x - 2y = -4$ через эту точку?

Задача состоит из двух частей. Сначала необходимо найти координаты точки пересечения двух прямых, решив систему уравнений. Затем нужно проверить, удовлетворяют ли найденные координаты уравнению третьей прямой.

Найдите точку пересечения прямых $x - 2y = 0$ и $2x + y = -5$.

Чтобы найти точку пересечения, нужно решить систему двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ 2x + y = -5 \end{cases} $

Проще всего решить эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 2y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(2y) + y = -5$

Решим полученное уравнение для $y$:

$4y + y = -5$

$5y = -5$

$y = -1$

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$, подставив $y = -1$ в выражение $x = 2y$:

$x = 2 \cdot (-1) = -2$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(-2, -1)$.

Ответ: $(-2, -1)$.

Проходит ли прямая $3x - 2y = -4$ через эту точку?

Чтобы определить, проходит ли прямая $3x - 2y = -4$ через найденную точку $(-2, -1)$, подставим ее координаты ($x = -2$ и $y = -1$) в уравнение этой прямой.

Выполним подстановку:

$3(-2) - 2(-1) = -4$

Проведем вычисления:

$-6 - (-2) = -4$

$-6 + 2 = -4$

$-4 = -4$

Так как в результате подстановки мы получили верное числовое равенство, точка $(-2, -1)$ принадлежит прямой $3x - 2y = -4$.

Ответ: Да, проходит.