Номер 3.91, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.91. Решите систему уравнений графическим способом:

1) $ \begin{cases} y = x, \\ x + 2y = 2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x - 2y = 0, \\ 2x + y = 5; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + y = 2, \\ 2x - 3y = 9. \end{cases} $

1)

Чтобы решить систему уравнений $\begin{cases} y = x, \\ x + 2y = 2; \end{cases}$ графическим способом, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения этих графиков будут решением системы.

Первое уравнение $y = x$ задает прямую, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей. Для ее построения можно взять две точки, например, $(0; 0)$ и $(2; 2)$.

Второе уравнение $x + 2y = 2$. Чтобы построить его график, выразим $y$ через $x$:
$2y = 2 - x$
$y = -\frac{1}{2}x + 1$
Это также линейная функция, ее график — прямая. Найдем две точки для построения:
Если $x=0$, то $y = 1$. Точка $(0; 1)$.
Если $x=2$, то $y = -\frac{1}{2}(2) + 1 = 0$. Точка $(2; 0)$.

Построив графики прямых $y=x$ и $y = -\frac{1}{2}x + 1$ в одной системе координат, находим их точку пересечения. Координаты этой точки являются решением системы. Из графика видно, что точка пересечения — $(\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$.

2)

Решим систему уравнений $\begin{cases} x - 2y = 0, \\ 2x + y = 5; \end{cases}$ графическим способом.

Преобразуем первое уравнение для построения графика:
$x - 2y = 0 \implies -2y = -x \implies y = \frac{1}{2}x$.
Это прямая. Для ее построения возьмем точки: $(0; 0)$ и $(2; 1)$.

Преобразуем второе уравнение:
$2x + y = 5 \implies y = -2x + 5$.
Это также прямая. Для ее построения возьмем точки: $(0; 5)$ и $(2; 1)$.

Построим графики функций $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -2x + 5$ в одной системе координат. Прямые пересекаются в точке $(2; 1)$, которая и является решением системы.

Ответ: $(2; 1)$.

3)

Решим систему уравнений $\begin{cases} x + y = 2, \\ 2x - 3y = 9. \end{cases}$ графическим способом.

Из первого уравнения выразим $y$:
$x + y = 2 \implies y = -x + 2$.
Это прямая. Для построения возьмем точки: $(0; 2)$ и $(2; 0)$.

Из второго уравнения также выразим $y$:
$2x - 3y = 9 \implies -3y = 9 - 2x \implies y = \frac{2}{3}x - 3$.
Это прямая. Для построения возьмем точки: $(0; -3)$ и $(3; -1)$ (при $x=3$, $y=\frac{2}{3}(3)-3=2-3=-1$).

Построим графики прямых $y = -x + 2$ и $y = \frac{2}{3}x - 3$ в одной системе координат. Точка их пересечения имеет координаты $(3; -1)$.

Ответ: $(3; -1)$.