Номер 3.98, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.98. Решите систему уравнений графическим способом:

1) ${ \begin{cases} x - 2y = -1, \\ 2x + y = 3; \end{cases} }$

2) ${ \begin{cases} x - y = 8, \\ x + y = -3; \end{cases} }$

3) ${ \begin{cases} 3x + 4y = 2, \\ 5x - 2y = -1; \end{cases} }$

4) ${ \begin{cases} 2x - 3y = 4, \\ -x + 1,5y = -2. \end{cases} }$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = -1, \\ 2x + y = 3; \end{cases} $

Для решения системы графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Оба уравнения являются линейными, поэтому их графики — прямые. Для построения прямой достаточно двух точек.

Первое уравнение: $x - 2y = -1$.

Выразим $y$ через $x$:

$-2y = -x - 1$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Найдем координаты двух точек для этой прямой:

- при $x = 1$, $y = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2} = 1$. Точка $(1, 1)$.

- при $x = -1$, $y = \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2} = 0$. Точка $(-1, 0)$.

Второе уравнение: $2x + y = 3$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = -2x + 3$

Найдем координаты двух точек для этой прямой:

- при $x = 0$, $y = -2(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.

- при $x = 1$, $y = -2(1) + 3 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Построим на координатной плоскости прямую через точки $(1, 1)$ и $(-1, 0)$ и прямую через точки $(0, 3)$ и $(1, 1)$.

Графики пересекаются в точке $(1, 1)$. Координаты этой точки являются решением системы уравнений.

Ответ: $(1, 1)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 8, \\ x + y = -3; \end{cases} $

Построим графики каждого линейного уравнения.

Первое уравнение: $x - y = 8$.

Выразим $y$ через $x$:

$-y = -x + 8$

$y = x - 8$

Найдем координаты двух точек:

- при $x = 0$, $y = 0 - 8 = -8$. Точка $(0, -8)$.

- при $x = 8$, $y = 8 - 8 = 0$. Точка $(8, 0)$.

Второе уравнение: $x + y = -3$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = -x - 3$

Найдем координаты двух точек:

- при $x = 0$, $y = -0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.

- при $x = -3$, $y = -(-3) - 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.

Построим на координатной плоскости прямую через точки $(0, -8)$ и $(8, 0)$ и прямую через точки $(0, -3)$ и $(-3, 0)$.

Графики пересекаются в точке с координатами $(2.5, -5.5)$.

Ответ: $(2.5, -5.5)$.

3) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 2, \\ 5x - 2y = -1; \end{cases} $

Построим графики каждого линейного уравнения.

Первое уравнение: $3x + 4y = 2$.

Выразим $y$ через $x$:

$4y = -3x + 2$

$y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$

Найдем координаты двух точек:

- при $x = 2$, $y = -\frac{3}{4}(2) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$. Точка $(2, -1)$.

- при $x = -2$, $y = -\frac{3}{4}(-2) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$. Точка $(-2, 2)$.

Второе уравнение: $5x - 2y = -1$.

Выразим $y$ через $x$:

$-2y = -5x - 1$

$y = \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}$

Найдем координаты двух точек:

- при $x = 0$, $y = \frac{5}{2}(0) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Точка $(0, 0.5)$.

- при $x = 1$, $y = \frac{5}{2}(1) + \frac{1}{2} = 3$. Точка $(1, 3)$.

Построим на координатной плоскости прямую через точки $(2, -1)$ и $(-2, 2)$ и прямую через точки $(0, 0.5)$ и $(1, 3)$.

Графики пересекаются в точке $(0, 0.5)$.

Ответ: $(0, 0.5)$.

4) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 4, \\ -x + 1.5y = -2; \end{cases} $

Построим графики каждого линейного уравнения.

Первое уравнение: $2x - 3y = 4$.

Выразим $y$ через $x$:

$-3y = -2x + 4$

$y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$

Найдем координаты двух точек:

- при $x = 2$, $y = \frac{2}{3}(2) - \frac{4}{3} = 0$. Точка $(2, 0)$.

- при $x = -1$, $y = \frac{2}{3}(-1) - \frac{4}{3} = -2$. Точка $(-1, -2)$.

Второе уравнение: $-x + 1.5y = -2$.

Выразим $y$ через $x$:

$1.5y = x - 2$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $3y = 2x - 4$.

$y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$

Мы видим, что оба уравнения преобразуются к одному и тому же виду $y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$. Это означает, что графики этих уравнений — одна и та же прямая (совпадают).

Следовательно, система имеет бесконечно много решений. Любая точка, лежащая на прямой $y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$, является решением системы.

Ответ: система имеет бесконечно много решений. Все решения можно записать в виде пар $(x, y)$, где $2x - 3y = 4$.