Номер 3.102, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.102. Имеет ли решение система из трех линейных уравнений:

1) $ \begin{cases} x - y = 3, \\ x + y = -1, \\ 2x - 3y = 8; \end{cases} $ 2) $ \begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x - y = 7, \\ 3x + 4y = 6? \end{cases} $

1) Чтобы определить, имеет ли система из трех линейных уравнений с двумя переменными решение, необходимо решить систему, состоящую из любых двух уравнений, и затем проверить, удовлетворяет ли найденное решение третьему уравнению.

Возьмем первые два уравнения:

$ \begin{cases} x - y = 3, \\ x + y = -1. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $y$:

$(x - y) + (x + y) = 3 + (-1)$

$2x = 2$

$x = 1$

Теперь подставим значение $x = 1$ в любое из этих двух уравнений, например, во второе:

$1 + y = -1$

$y = -1 - 1$

$y = -2$

Мы нашли, что решением системы из первых двух уравнений является пара чисел $(1; -2)$.

Теперь подставим эти значения $x=1$ и $y=-2$ в третье уравнение системы, $2x - 3y = 8$, чтобы проверить, является ли оно верным:

$2(1) - 3(-2) = 8$

$2 - (-6) = 8$

$2 + 6 = 8$

$8 = 8$

Равенство верное, следовательно, найденное решение удовлетворяет всем трем уравнениям.

Ответ: да, система имеет решение $(1; -2)$.

2) Поступим аналогично предыдущему пункту. Решим систему из первых двух уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x - y = 7. \end{cases} $

Для решения этой системы удобно второе уравнение умножить на 2 и сложить с первым, чтобы исключить $y$:

$2(2x - y) = 2(7) \Rightarrow 4x - 2y = 14$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(x + 2y) + (4x - 2y) = 1 + 14$

$5x = 15$

$x = 3$

Подставим значение $x = 3$ в первое уравнение исходной системы:

$3 + 2y = 1$

$2y = 1 - 3$

$2y = -2$

$y = -1$

Решением системы из первых двух уравнений является пара чисел $(3; -1)$.

Проверим, удовлетворяет ли эта пара третьему уравнению системы, $3x + 4y = 6$:

$3(3) + 4(-1) = 6$

$9 - 4 = 6$

$5 = 6$

Полученное равенство неверное. Это означает, что точка пересечения первых двух прямых не лежит на третьей прямой.

Ответ: нет, система не имеет решений.