Номер 3.103, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.103. Найдите значения $a, b$ и $c$ так, чтобы система:

1) $\begin{cases} 3x + 2y = 5, \\ ax + by = c, \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2y = 11, \\ ax + by = c \end{cases}$

а) имела единственное решение;

б) не имела решений;

в) имела бесконечно много решений.

1) Для системы уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 5, \\ ax + by = c; \end{cases} $

Рассмотрим условия на параметры $a, b, c$ для каждого случая.

а) имела единственное решение

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны, что эквивалентно непропорциональности коэффициентов при переменных $x$ и $y$.

Для общей системы $A_1x + B_1y = C_1$ и $A_2x + B_2y = C_2$ условие единственности решения записывается как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$.

В нашем случае $A_1=3, B_1=2, A_2=a, B_2=b$. Условие принимает вид:

$\frac{3}{a} \neq \frac{2}{b}$

Это соотношение можно записать в виде $3b \neq 2a$. При этом значение свободного члена $c$ может быть любым действительным числом.

Ответ: $3b \neq 2a$, $c$ — любое действительное число.

б) не имела решений

Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены этой пропорции не удовлетворяют:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$

Для нашей системы это означает:

$\frac{3}{a} = \frac{2}{b} \neq \frac{5}{c}$

Из равенства $\frac{3}{a} = \frac{2}{b}$ следует, что существует такое число $k$, что $a = 3k$ и $b = 2k$.

Из неравенства $\frac{2}{b} \neq \frac{5}{c}$ (или $\frac{3}{a} \neq \frac{5}{c}$) следует, что $c$ не должно быть равно $5k$. То есть $c \neq 5k$.

Это условие охватывает все случаи, включая когда $k=0$ (тогда $a=0, b=0$, а условие $c \neq 0$ обеспечивает отсутствие решений).

Ответ: Существует такое действительное число $k$, что $a = 3k$, $b = 2k$ и $c \neq 5k$.

в) имела бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. Это происходит, когда коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого, включая свободные члены:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Для нашей системы:

$\frac{3}{a} = \frac{2}{b} = \frac{5}{c}$

Это означает, что второе уравнение можно получить из первого умножением на некоторое число $k$. То есть, $a=3k$, $b=2k$, $c=5k$ для некоторого действительного числа $k$.

Ответ: Существует такое действительное число $k$, что $a = 3k$, $b = 2k$ и $c = 5k$.

2) Для системы уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 11, \\ ax + by = c; \end{cases} $

Рассмотрим условия на параметры $a, b, c$ для каждого случая.

а) имела единственное решение

Условие единственности решения — непропорциональность коэффициентов при $x$ и $y$:

$\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$

В данном случае $A_1=1, B_1=-2, A_2=a, B_2=b$. Получаем:

$\frac{1}{a} \neq \frac{-2}{b}$

Это соотношение можно переписать как $b \neq -2a$, или $2a + b \neq 0$. Значение $c$ может быть любым.

Ответ: $b \neq -2a$, $c$ — любое действительное число.

б) не имела решений

Условие отсутствия решений — коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$

Для нашей системы:

$\frac{1}{a} = \frac{-2}{b} \neq \frac{11}{c}$

Из равенства $\frac{1}{a} = \frac{-2}{b}$ следует, что $b = -2a$. Это можно представить в параметрическом виде: $a = k$ и $b = -2k$ для некоторого действительного числа $k$.

Из неравенства $\frac{1}{a} \neq \frac{11}{c}$ следует, что $c \neq 11a$, то есть $c \neq 11k$.

Ответ: Существует такое действительное число $k$, что $a = k$, $b = -2k$ и $c \neq 11k$.

в) имела бесконечно много решений

Условие бесконечного множества решений — пропорциональность всех коэффициентов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Для нашей системы:

$\frac{1}{a} = \frac{-2}{b} = \frac{11}{c}$

Это означает, что второе уравнение является произведением первого на некоторый коэффициент $k$. То есть, $a = 1 \cdot k$, $b = -2 \cdot k$ и $c = 11 \cdot k$.

Ответ: Существует такое действительное число $k$, что $a = k$, $b = -2k$ и $c = 11k$.