Номер 3.99, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.99. Решите систему уравнений графическим способом:

1) $$ \begin{cases} 0.5x + y = 2, \\ -2x + 5y = 10; \end{cases} $$

2) $$ \begin{cases} 3x - 4y = -4, \\ 3x - 4y = 7; \end{cases} $$

3) $$ \begin{cases} 4x - 3y = 0, \\ 3x + 2y = 17; \end{cases} $$

4) $$ \begin{cases} 5x - 4y = 0, \\ 2.5x - 2y = 1. \end{cases} $$

1) $ \begin{cases} 0.5x + y = 2 \\ -2x + 5y = 10 \end{cases} $

Для решения системы графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет точка пересечения этих графиков.

Первое уравнение: $0.5x + y = 2$. Выразим $y$ через $x$:

$y = -0.5x + 2$

Это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = -0.5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x = 4$, $y = -0.5 \cdot 4 + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(4, 0)$.

Второе уравнение: $-2x + 5y = 10$. Выразим $y$ через $x$:

$5y = 2x + 10$

$y = \frac{2}{5}x + 2$ или $y = 0.4x + 2$

Это также уравнение прямой. Найдем две точки для ее построения:

• при $x = 0$, $y = 0.4 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x = 5$, $y = 0.4 \cdot 5 + 2 = 2 + 2 = 4$. Точка $(5, 4)$.

Построим графики этих двух прямых. Прямая $y = -0.5x + 2$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$. Прямая $y = 0.4x + 2$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(5, 4)$.

Графики пересекаются в точке $(0, 2)$, так как эта точка принадлежит обоим графикам.

Ответ: $(0, 2)$.

2) $ \begin{cases} 3x - 4y = -4 \\ 3x - 4y = 7 \end{cases} $

Преобразуем каждое уравнение к виду $y = kx + b$, чтобы определить параметры прямых.

Первое уравнение: $3x - 4y = -4$.

$-4y = -3x - 4$

$y = \frac{3}{4}x + 1$

Это прямая с угловым коэффициентом $k_1 = \frac{3}{4}$ и y-пересечением в точке $(0, 1)$.

Второе уравнение: $3x - 4y = 7$.

$-4y = -3x + 7$

$y = \frac{3}{4}x - \frac{7}{4}$

Это прямая с угловым коэффициентом $k_2 = \frac{3}{4}$ и y-пересечением в точке $(0, -1.75)$.

Поскольку угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2$), а точки пересечения с осью Y различны ($1 \ne -1.75$), то прямые параллельны. Параллельные прямые не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3) $ \begin{cases} 4x - 3y = 0 \\ 3x + 2y = 17 \end{cases} $

Построим графики для каждого уравнения.

Первое уравнение: $4x - 3y = 0$. Выразим $y$:

$3y = 4x$

$y = \frac{4}{3}x$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• при $x = 0$, $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 3$, $y = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$. Точка $(3, 4)$.

Второе уравнение: $3x + 2y = 17$. Выразим $y$:

$2y = -3x + 17$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{17}{2}$ или $y = -1.5x + 8.5$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• при $x = 1$, $y = -1.5 \cdot 1 + 8.5 = 7$. Точка $(1, 7)$.
• при $x = 3$, $y = -1.5 \cdot 3 + 8.5 = -4.5 + 8.5 = 4$. Точка $(3, 4)$.

Построим графики. Прямая $y = \frac{4}{3}x$ проходит через точки $(0, 0)$ и $(3, 4)$. Прямая $y = -1.5x + 8.5$ проходит через точки $(1, 7)$ и $(3, 4)$.

Точка пересечения графиков — $(3, 4)$.

Ответ: $(3, 4)$.

4) $ \begin{cases} 5x - 4y = 0 \\ 2.5x - 2y = 1 \end{cases} $

Преобразуем оба уравнения к виду $y = kx + b$.

Первое уравнение: $5x - 4y = 0$.

$-4y = -5x$

$y = \frac{5}{4}x$ или $y = 1.25x$

Это прямая с угловым коэффициентом $k_1 = 1.25$, проходящая через начало координат $(0, 0)$.

Второе уравнение: $2.5x - 2y = 1$.

$-2y = -2.5x + 1$

$y = \frac{2.5}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = 1.25x - 0.5$

Это прямая с угловым коэффициентом $k_2 = 1.25$ и y-пересечением в точке $(0, -0.5)$.

Угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2$), а y-пересечения различны ($0 \ne -0.5$). Это означает, что прямые параллельны и не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.