Страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.98. Решите систему уравнений графическим способом:

1) ${ \begin{cases} x - 2y = -1, \\ 2x + y = 3; \end{cases} }$

2) ${ \begin{cases} x - y = 8, \\ x + y = -3; \end{cases} }$

3) ${ \begin{cases} 3x + 4y = 2, \\ 5x - 2y = -1; \end{cases} }$

4) ${ \begin{cases} 2x - 3y = 4, \\ -x + 1,5y = -2. \end{cases} }$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = -1, \\ 2x + y = 3; \end{cases} $

Для решения системы графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Оба уравнения являются линейными, поэтому их графики — прямые. Для построения прямой достаточно двух точек.

Первое уравнение: $x - 2y = -1$.

Выразим $y$ через $x$:

$-2y = -x - 1$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Найдем координаты двух точек для этой прямой:

- при $x = 1$, $y = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2} = 1$. Точка $(1, 1)$.

- при $x = -1$, $y = \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2} = 0$. Точка $(-1, 0)$.

Второе уравнение: $2x + y = 3$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = -2x + 3$

Найдем координаты двух точек для этой прямой:

- при $x = 0$, $y = -2(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.

- при $x = 1$, $y = -2(1) + 3 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Построим на координатной плоскости прямую через точки $(1, 1)$ и $(-1, 0)$ и прямую через точки $(0, 3)$ и $(1, 1)$.

Графики пересекаются в точке $(1, 1)$. Координаты этой точки являются решением системы уравнений.

Ответ: $(1, 1)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 8, \\ x + y = -3; \end{cases} $

Построим графики каждого линейного уравнения.

Первое уравнение: $x - y = 8$.

Выразим $y$ через $x$:

$-y = -x + 8$

$y = x - 8$

Найдем координаты двух точек:

- при $x = 0$, $y = 0 - 8 = -8$. Точка $(0, -8)$.

- при $x = 8$, $y = 8 - 8 = 0$. Точка $(8, 0)$.

Второе уравнение: $x + y = -3$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = -x - 3$

Найдем координаты двух точек:

- при $x = 0$, $y = -0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.

- при $x = -3$, $y = -(-3) - 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.

Построим на координатной плоскости прямую через точки $(0, -8)$ и $(8, 0)$ и прямую через точки $(0, -3)$ и $(-3, 0)$.

Графики пересекаются в точке с координатами $(2.5, -5.5)$.

Ответ: $(2.5, -5.5)$.

3) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 2, \\ 5x - 2y = -1; \end{cases} $

Построим графики каждого линейного уравнения.

Первое уравнение: $3x + 4y = 2$.

Выразим $y$ через $x$:

$4y = -3x + 2$

$y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$

Найдем координаты двух точек:

- при $x = 2$, $y = -\frac{3}{4}(2) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$. Точка $(2, -1)$.

- при $x = -2$, $y = -\frac{3}{4}(-2) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$. Точка $(-2, 2)$.

Второе уравнение: $5x - 2y = -1$.

Выразим $y$ через $x$:

$-2y = -5x - 1$

$y = \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}$

Найдем координаты двух точек:

- при $x = 0$, $y = \frac{5}{2}(0) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Точка $(0, 0.5)$.

- при $x = 1$, $y = \frac{5}{2}(1) + \frac{1}{2} = 3$. Точка $(1, 3)$.

Построим на координатной плоскости прямую через точки $(2, -1)$ и $(-2, 2)$ и прямую через точки $(0, 0.5)$ и $(1, 3)$.

Графики пересекаются в точке $(0, 0.5)$.

Ответ: $(0, 0.5)$.

4) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 4, \\ -x + 1.5y = -2; \end{cases} $

Построим графики каждого линейного уравнения.

Первое уравнение: $2x - 3y = 4$.

Выразим $y$ через $x$:

$-3y = -2x + 4$

$y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$

Найдем координаты двух точек:

- при $x = 2$, $y = \frac{2}{3}(2) - \frac{4}{3} = 0$. Точка $(2, 0)$.

- при $x = -1$, $y = \frac{2}{3}(-1) - \frac{4}{3} = -2$. Точка $(-1, -2)$.

Второе уравнение: $-x + 1.5y = -2$.

Выразим $y$ через $x$:

$1.5y = x - 2$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $3y = 2x - 4$.

$y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$

Мы видим, что оба уравнения преобразуются к одному и тому же виду $y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$. Это означает, что графики этих уравнений — одна и та же прямая (совпадают).

Следовательно, система имеет бесконечно много решений. Любая точка, лежащая на прямой $y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$, является решением системы.

Ответ: система имеет бесконечно много решений. Все решения можно записать в виде пар $(x, y)$, где $2x - 3y = 4$.

3.99. Решите систему уравнений графическим способом:

1) $$ \begin{cases} 0.5x + y = 2, \\ -2x + 5y = 10; \end{cases} $$

2) $$ \begin{cases} 3x - 4y = -4, \\ 3x - 4y = 7; \end{cases} $$

3) $$ \begin{cases} 4x - 3y = 0, \\ 3x + 2y = 17; \end{cases} $$

4) $$ \begin{cases} 5x - 4y = 0, \\ 2.5x - 2y = 1. \end{cases} $$

1) $ \begin{cases} 0.5x + y = 2 \\ -2x + 5y = 10 \end{cases} $

Для решения системы графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет точка пересечения этих графиков.

Первое уравнение: $0.5x + y = 2$. Выразим $y$ через $x$:

$y = -0.5x + 2$

Это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = -0.5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x = 4$, $y = -0.5 \cdot 4 + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(4, 0)$.

Второе уравнение: $-2x + 5y = 10$. Выразим $y$ через $x$:

$5y = 2x + 10$

$y = \frac{2}{5}x + 2$ или $y = 0.4x + 2$

Это также уравнение прямой. Найдем две точки для ее построения:

• при $x = 0$, $y = 0.4 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x = 5$, $y = 0.4 \cdot 5 + 2 = 2 + 2 = 4$. Точка $(5, 4)$.

Построим графики этих двух прямых. Прямая $y = -0.5x + 2$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$. Прямая $y = 0.4x + 2$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(5, 4)$.

Графики пересекаются в точке $(0, 2)$, так как эта точка принадлежит обоим графикам.

Ответ: $(0, 2)$.

2) $ \begin{cases} 3x - 4y = -4 \\ 3x - 4y = 7 \end{cases} $

Преобразуем каждое уравнение к виду $y = kx + b$, чтобы определить параметры прямых.

Первое уравнение: $3x - 4y = -4$.

$-4y = -3x - 4$

$y = \frac{3}{4}x + 1$

Это прямая с угловым коэффициентом $k_1 = \frac{3}{4}$ и y-пересечением в точке $(0, 1)$.

Второе уравнение: $3x - 4y = 7$.

$-4y = -3x + 7$

$y = \frac{3}{4}x - \frac{7}{4}$

Это прямая с угловым коэффициентом $k_2 = \frac{3}{4}$ и y-пересечением в точке $(0, -1.75)$.

Поскольку угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2$), а точки пересечения с осью Y различны ($1 \ne -1.75$), то прямые параллельны. Параллельные прямые не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3) $ \begin{cases} 4x - 3y = 0 \\ 3x + 2y = 17 \end{cases} $

Построим графики для каждого уравнения.

Первое уравнение: $4x - 3y = 0$. Выразим $y$:

$3y = 4x$

$y = \frac{4}{3}x$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• при $x = 0$, $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 3$, $y = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$. Точка $(3, 4)$.

Второе уравнение: $3x + 2y = 17$. Выразим $y$:

$2y = -3x + 17$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{17}{2}$ или $y = -1.5x + 8.5$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• при $x = 1$, $y = -1.5 \cdot 1 + 8.5 = 7$. Точка $(1, 7)$.
• при $x = 3$, $y = -1.5 \cdot 3 + 8.5 = -4.5 + 8.5 = 4$. Точка $(3, 4)$.

Построим графики. Прямая $y = \frac{4}{3}x$ проходит через точки $(0, 0)$ и $(3, 4)$. Прямая $y = -1.5x + 8.5$ проходит через точки $(1, 7)$ и $(3, 4)$.

Точка пересечения графиков — $(3, 4)$.

Ответ: $(3, 4)$.

4) $ \begin{cases} 5x - 4y = 0 \\ 2.5x - 2y = 1 \end{cases} $

Преобразуем оба уравнения к виду $y = kx + b$.

Первое уравнение: $5x - 4y = 0$.

$-4y = -5x$

$y = \frac{5}{4}x$ или $y = 1.25x$

Это прямая с угловым коэффициентом $k_1 = 1.25$, проходящая через начало координат $(0, 0)$.

Второе уравнение: $2.5x - 2y = 1$.

$-2y = -2.5x + 1$

$y = \frac{2.5}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = 1.25x - 0.5$

Это прямая с угловым коэффициентом $k_2 = 1.25$ и y-пересечением в точке $(0, -0.5)$.

Угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2$), а y-пересечения различны ($0 \ne -0.5$). Это означает, что прямые параллельны и не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3.100. Прямая $ax - 3y = 4$ проходит через точку пересечения прямых $x - y = 7$ и $x + y = -3$. Найдите значение $a$.

Для решения задачи сначала найдем точку пересечения прямых $x - y = 7$ и $x + y = -3$. Координаты этой точки являются решением системы уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 7 \\ x + y = -3 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти значение $x$:

$(x - y) + (x + y) = 7 + (-3)$

$2x = 4$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x=2$ в любое из уравнений, например, во второе $x + y = -3$:

$2 + y = -3$

$y = -3 - 2$

$y = -5$

Таким образом, точка пересечения двух прямых имеет координаты $(2, -5)$.

По условию, прямая $ax - 3y = 4$ проходит через эту точку. Следовательно, координаты точки $(2, -5)$ должны удовлетворять этому уравнению. Подставим значения $x=2$ и $y=-5$ в уравнение прямой:

$a \cdot (2) - 3 \cdot (-5) = 4$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$2a + 15 = 4$

$2a = 4 - 15$

$2a = -11$

$a = -\frac{11}{2}$

$a = -5.5$

Ответ: $-5.5$

3.101. Прямая $2x + by = 3$ проходит через точку пересечения прямых $4x - 3y = 0$ и $-2x + 3y = -12$. Найдите $b$.

Чтобы найти значение коэффициента $b$, необходимо сначала найти координаты точки пересечения прямых $4x - 3y = 0$ и $-2x + 3y = -12$. Эта точка является решением системы данных линейных уравнений.

Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} 4x - 3y = 0 \\ -2x + 3y = -12 \end{cases} $

Для решения системы удобно применить метод алгебраического сложения, поскольку коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-3$ и $3$). Сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(4x - 3y) + (-2x + 3y) = 0 + (-12)$
$4x - 2x = -12$
$2x = -12$
$x = \frac{-12}{2} = -6$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение ($4x - 3y = 0$), чтобы вычислить значение $y$:
$4(-6) - 3y = 0$
$-24 - 3y = 0$
$-3y = 24$
$y = \frac{24}{-3} = -8$

Таким образом, точка пересечения двух прямых имеет координаты $(-6, -8)$.

По условию, прямая $2x + by = 3$ проходит через эту точку. Это значит, что координаты точки $(-6, -8)$ удовлетворяют уравнению этой прямой. Подставим значения $x = -6$ и $y = -8$ в уравнение $2x + by = 3$:
$2(-6) + b(-8) = 3$
$-12 - 8b = 3$

Решим полученное уравнение относительно $b$:
$-8b = 3 + 12$
$-8b = 15$
$b = \frac{15}{-8} = -\frac{15}{8}$

Ответ: $b = -\frac{15}{8}$

3.102. Имеет ли решение система из трех линейных уравнений:

1) $ \begin{cases} x - y = 3, \\ x + y = -1, \\ 2x - 3y = 8; \end{cases} $ 2) $ \begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x - y = 7, \\ 3x + 4y = 6? \end{cases} $

1) Чтобы определить, имеет ли система из трех линейных уравнений с двумя переменными решение, необходимо решить систему, состоящую из любых двух уравнений, и затем проверить, удовлетворяет ли найденное решение третьему уравнению.

Возьмем первые два уравнения:

$ \begin{cases} x - y = 3, \\ x + y = -1. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $y$:

$(x - y) + (x + y) = 3 + (-1)$

$2x = 2$

$x = 1$

Теперь подставим значение $x = 1$ в любое из этих двух уравнений, например, во второе:

$1 + y = -1$

$y = -1 - 1$

$y = -2$

Мы нашли, что решением системы из первых двух уравнений является пара чисел $(1; -2)$.

Теперь подставим эти значения $x=1$ и $y=-2$ в третье уравнение системы, $2x - 3y = 8$, чтобы проверить, является ли оно верным:

$2(1) - 3(-2) = 8$

$2 - (-6) = 8$

$2 + 6 = 8$

$8 = 8$

Равенство верное, следовательно, найденное решение удовлетворяет всем трем уравнениям.

Ответ: да, система имеет решение $(1; -2)$.

2) Поступим аналогично предыдущему пункту. Решим систему из первых двух уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x - y = 7. \end{cases} $

Для решения этой системы удобно второе уравнение умножить на 2 и сложить с первым, чтобы исключить $y$:

$2(2x - y) = 2(7) \Rightarrow 4x - 2y = 14$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(x + 2y) + (4x - 2y) = 1 + 14$

$5x = 15$

$x = 3$

Подставим значение $x = 3$ в первое уравнение исходной системы:

$3 + 2y = 1$

$2y = 1 - 3$

$2y = -2$

$y = -1$

Решением системы из первых двух уравнений является пара чисел $(3; -1)$.

Проверим, удовлетворяет ли эта пара третьему уравнению системы, $3x + 4y = 6$:

$3(3) + 4(-1) = 6$

$9 - 4 = 6$

$5 = 6$

Полученное равенство неверное. Это означает, что точка пересечения первых двух прямых не лежит на третьей прямой.

Ответ: нет, система не имеет решений.

3.103. Найдите значения $a, b$ и $c$ так, чтобы система:

1) $\begin{cases} 3x + 2y = 5, \\ ax + by = c, \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2y = 11, \\ ax + by = c \end{cases}$

а) имела единственное решение;

б) не имела решений;

в) имела бесконечно много решений.

1) Для системы уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 5, \\ ax + by = c; \end{cases} $

Рассмотрим условия на параметры $a, b, c$ для каждого случая.

а) имела единственное решение

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны, что эквивалентно непропорциональности коэффициентов при переменных $x$ и $y$.

Для общей системы $A_1x + B_1y = C_1$ и $A_2x + B_2y = C_2$ условие единственности решения записывается как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$.

В нашем случае $A_1=3, B_1=2, A_2=a, B_2=b$. Условие принимает вид:

$\frac{3}{a} \neq \frac{2}{b}$

Это соотношение можно записать в виде $3b \neq 2a$. При этом значение свободного члена $c$ может быть любым действительным числом.

Ответ: $3b \neq 2a$, $c$ — любое действительное число.

б) не имела решений

Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены этой пропорции не удовлетворяют:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$

Для нашей системы это означает:

$\frac{3}{a} = \frac{2}{b} \neq \frac{5}{c}$

Из равенства $\frac{3}{a} = \frac{2}{b}$ следует, что существует такое число $k$, что $a = 3k$ и $b = 2k$.

Из неравенства $\frac{2}{b} \neq \frac{5}{c}$ (или $\frac{3}{a} \neq \frac{5}{c}$) следует, что $c$ не должно быть равно $5k$. То есть $c \neq 5k$.

Это условие охватывает все случаи, включая когда $k=0$ (тогда $a=0, b=0$, а условие $c \neq 0$ обеспечивает отсутствие решений).

Ответ: Существует такое действительное число $k$, что $a = 3k$, $b = 2k$ и $c \neq 5k$.

в) имела бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. Это происходит, когда коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого, включая свободные члены:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Для нашей системы:

$\frac{3}{a} = \frac{2}{b} = \frac{5}{c}$

Это означает, что второе уравнение можно получить из первого умножением на некоторое число $k$. То есть, $a=3k$, $b=2k$, $c=5k$ для некоторого действительного числа $k$.

Ответ: Существует такое действительное число $k$, что $a = 3k$, $b = 2k$ и $c = 5k$.

2) Для системы уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 11, \\ ax + by = c; \end{cases} $

Рассмотрим условия на параметры $a, b, c$ для каждого случая.

а) имела единственное решение

Условие единственности решения — непропорциональность коэффициентов при $x$ и $y$:

$\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$

В данном случае $A_1=1, B_1=-2, A_2=a, B_2=b$. Получаем:

$\frac{1}{a} \neq \frac{-2}{b}$

Это соотношение можно переписать как $b \neq -2a$, или $2a + b \neq 0$. Значение $c$ может быть любым.

Ответ: $b \neq -2a$, $c$ — любое действительное число.

б) не имела решений

Условие отсутствия решений — коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$

Для нашей системы:

$\frac{1}{a} = \frac{-2}{b} \neq \frac{11}{c}$

Из равенства $\frac{1}{a} = \frac{-2}{b}$ следует, что $b = -2a$. Это можно представить в параметрическом виде: $a = k$ и $b = -2k$ для некоторого действительного числа $k$.

Из неравенства $\frac{1}{a} \neq \frac{11}{c}$ следует, что $c \neq 11a$, то есть $c \neq 11k$.

Ответ: Существует такое действительное число $k$, что $a = k$, $b = -2k$ и $c \neq 11k$.

в) имела бесконечно много решений

Условие бесконечного множества решений — пропорциональность всех коэффициентов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Для нашей системы:

$\frac{1}{a} = \frac{-2}{b} = \frac{11}{c}$

Это означает, что второе уравнение является произведением первого на некоторый коэффициент $k$. То есть, $a = 1 \cdot k$, $b = -2 \cdot k$ и $c = 11 \cdot k$.

Ответ: Существует такое действительное число $k$, что $a = k$, $b = -2k$ и $c = 11k$.

3.104. При каких условиях прямая $ax + by = c$:

1) параллельна оси $Ox$;

2) параллельна оси $Oy$;

3) проходит через начало координат;

4) параллельна прямой $2x - 3y = 7$;

5) перпендикулярна прямой $2x - y = 7$?

Проанализируем общее уравнение прямой $ax + by = c$. Чтобы это уравнение задавало прямую, коэффициенты $a$ и $b$ не должны быть одновременно равны нулю, то есть должно выполняться условие $a^2 + b^2 \neq 0$.

1) параллельна оси Ox

Уравнение прямой, параллельной оси Ox (оси абсцисс), имеет вид $y = \text{const}$. Исходное уравнение $ax + by = c$ можно привести к такому виду, если коэффициент при $x$ равен нулю. Для этого необходимо, чтобы $a = 0$. При этом, чтобы уравнение оставалось уравнением прямой, коэффициент при $y$ не должен быть равен нулю, то есть $b \neq 0$. В этом случае уравнение принимает вид $by = c$, или $y = \frac{c}{b}$, что и является уравнением прямой, параллельной оси Ox.

Ответ: $a=0, b \neq 0$.

2) параллельна оси Oy

Уравнение прямой, параллельной оси Oy (оси ординат), имеет вид $x = \text{const}$. Исходное уравнение $ax + by = c$ можно привести к такому виду, если коэффициент при $y$ равен нулю. Для этого необходимо, чтобы $b = 0$. При этом, чтобы уравнение определяло прямую, коэффициент при $x$ должен быть отличен от нуля, то есть $a \neq 0$. В этом случае уравнение принимает вид $ax = c$, или $x = \frac{c}{a}$, что является уравнением прямой, параллельной оси Oy.

Ответ: $b=0, a \neq 0$.

3) проходит через начало координат

Начало координат — это точка с координатами $(0, 0)$. Если прямая проходит через эту точку, ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим $x=0$ и $y=0$ в уравнение $ax + by = c$:

$a \cdot 0 + b \cdot 0 = c$

Отсюда получаем $c = 0$. При этом, чтобы уравнение задавало прямую, коэффициенты $a$ и $b$ не могут быть одновременно равны нулю.

Ответ: $c=0$ (при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно).

4) параллельна прямой $2x - 3y = 7$

Две прямые $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ коллинеарны. Это означает, что их координаты пропорциональны.

Для прямой $ax + by = c$ и прямой $2x - 3y = 7$ нормальные векторы равны $\vec{n_1}=(a, b)$ и $\vec{n_2}=(2, -3)$ соответственно. Условие их коллинеарности:

$\frac{a}{2} = \frac{b}{-3}$

Это равенство можно переписать в виде $-3a = 2b$, или $3a + 2b = 0$. Это условие должно выполняться для коэффициентов $a$ и $b$ (при условии, что они не равны нулю одновременно, что автоматически следует из пропорциональности ненулевому вектору).

Ответ: Коэффициенты $a$ и $b$ пропорциональны числам $2$ и $-3$, то есть выполняется соотношение $\frac{a}{2} = \frac{b}{-3}$.

5) перпендикулярна прямой $2x - y = 7$

Две прямые перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны. Условие ортогональности векторов — равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

Нормальный вектор для прямой $ax + by = c$ — это $\vec{n_1}=(a, b)$.

Нормальный вектор для прямой $2x - y = 7$ — это $\vec{n_2}=(2, -1)$.

Найдем их скалярное произведение:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a \cdot 2 + b \cdot (-1) = 2a - b$

Приравнивая скалярное произведение к нулю, получаем условие перпендикулярности:

$2a - b = 0$

Это соотношение должно выполняться для коэффициентов $a$ и $b$ (при условии, что они не равны нулю одновременно).

Ответ: $2a - b = 0$ (при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно).