Страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.75. По графику (рис. 3.20) запишите формулу линейных функций. Найдите координаты точек их пересечения аналитическим способом (письменно) и результат сверьте с рисунком.

Формулы линейных функций:

Для линии n: $y = -x + 1$

Для линии m: $y = \frac{2}{3}x + 1$

Координаты точки пересечения:

Приравняем правые части уравнений:

$-x + 1 = \frac{2}{3}x + 1$

$-x = \frac{2}{3}x$

$\frac{5}{3}x = 0$

$x = 0$

Подставим $x = 0$ в любое из уравнений (например, в уравнение для n):

$y = -0 + 1$

$y = 1$

Точка пересечения: $(0; 1)$

Рис. 3.20

Для решения задачи определим уравнения для каждой из двух прямых, обозначенных как m и n. Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью Y.

Запишем формулу для прямой m

1. Из графика видно, что прямая m пересекает ось Y в точке $(0; 1)$. Это означает, что свободный член $b = 1$.

2. Для нахождения углового коэффициента $k$ выберем две точки на прямой. У нас уже есть точка $(0; 1)$. В качестве второй точки возьмем точку пересечения с осью X, которая, судя по графику, имеет координаты $(-1,5; 0)$.

Угловой коэффициент $k$ вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты точек $(x_1; y_1) = (-1,5; 0)$ и $(x_2; y_2) = (0; 1)$:

$k = \frac{1 - 0}{0 - (-1,5)} = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.

Таким образом, формула для прямой m: $y = \frac{2}{3}x + 1$.

Ответ: Формула для прямой m: $y = \frac{2}{3}x + 1$.

Запишем формулу для прямой n

1. Прямая n также пересекает ось Y в точке $(0; 1)$, следовательно, для нее тоже $b = 1$.

2. В качестве второй точки на прямой n возьмем ее точку пересечения с осью X, которая имеет координаты $(1; 0)$.

Вычислим угловой коэффициент $k$ для прямой n, используя точки $(x_1; y_1) = (1; 0)$ и $(x_2; y_2) = (0; 1)$:

$k = \frac{1 - 0}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$.

Таким образом, формула для прямой n: $y = -x + 1$.

Ответ: Формула для прямой n: $y = -x + 1$.

Найдем координаты точек их пересечения аналитическим способом

Чтобы найти точку пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из формул двух прямых. В точке пересечения их координаты $(x; y)$ равны, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:

$\frac{2}{3}x + 1 = -x + 1$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$\frac{2}{3}x + x = 1 - 1$

$\frac{5}{3}x = 0$

$x = 0$

Подставим найденное значение $x=0$ в любое из уравнений, чтобы найти $y$. Используем второе уравнение:

$y = -0 + 1 = 1$

Таким образом, точка пересечения прямых m и n имеет координаты $(0; 1)$.

Ответ: Координаты точки пересечения: $(0; 1)$.

Сверим результат с рисунком

На графике (рис. 3.20) видно, что прямые m и n пересекаются на оси Y в точке, где $x=0$ и $y=1$. Координаты этой точки — $(0; 1)$. Аналитическое решение полностью совпадает с графическим представлением.

3.76. Напишите линейную функцию, график которой параллелен графику функции $y = -0,5x + 4$, а свободный член равен:

1) -4;

2) 3;

3) -1;

4) 5.

Постройте графики всех этих линейных функций на одной координатной плоскости.

Общий вид линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения графика с осью $Oy$).

Условие параллельности графиков двух линейных функций — равенство их угловых коэффициентов. В данном случае, график искомой функции должен быть параллелен графику функции $y = -0,5x + 4$. Следовательно, угловой коэффициент $k$ искомой функции также должен быть равен $-0,5$.

Таким образом, все искомые функции будут иметь вид $y = -0,5x + b$, где $b$ — заданный свободный член.

1) Свободный член равен $-4$.

Подставляем $b = -4$ в уравнение $y = -0,5x + b$. Получаем искомую функцию.

Ответ: $y = -0,5x - 4$.

2) Свободный член равен $3$.

Подставляем $b = 3$ в уравнение $y = -0,5x + b$. Получаем искомую функцию.

Ответ: $y = -0,5x + 3$.

3) Свободный член равен $-1$.

Подставляем $b = -1$ в уравнение $y = -0,5x + b$. Получаем искомую функцию.

Ответ: $y = -0,5x - 1$.

4) Свободный член равен $5$.

Подставляем $b = 5$ в уравнение $y = -0,5x + b$. Получаем искомую функцию.

Ответ: $y = -0,5x + 5$.

Построение графиков всех этих линейных функций на одной координатной плоскости.

Для построения графика каждой линейной функции достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этому графику. Например, можно найти точки пересечения с осями координат.

• Для $y = -0,5x + 4$ (исходная функция): точки $(0; 4)$ и $(8; 0)$.
• Для $y = -0,5x - 4$: точки $(0; -4)$ и $(-8; 0)$.
• Для $y = -0,5x + 3$: точки $(0; 3)$ и $(6; 0)$.
• Для $y = -0,5x - 1$: точки $(0; -1)$ и $(-2; 0)$.
• Для $y = -0,5x + 5$: точки $(0; 5)$ и $(10; 0)$.

Построим эти графики на одной координатной плоскости. Все графики являются параллельными прямыми, так как у них одинаковый угловой коэффициент $k=-0,5$.

Ответ: Графики всех пяти функций (исходной и четырех найденных) построены на координатной плоскости выше.

3.77. Напишите линейную функцию, график которой параллелен графику функции $y = 2x - 3$ и проходит через точку:

1) A(1; 2);

2) B(2; -1);

3) C(0; 2);

4) D(3; 0).

Постройте графики всех этих линейных функций на одной координатной плоскости.

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси Ox), а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью Oy.

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. В нашем случае дана функция $y = 2x - 3$. Ее угловой коэффициент $k = 2$.

Следовательно, все искомые линейные функции будут иметь вид $y = 2x + b$. Чтобы найти значение коэффициента $b$ для каждого случая, мы подставим координаты данной точки $(x_0; y_0)$ в это уравнение и решим его относительно $b$.

1) A(1; 2)
Подставляем координаты точки A($x=1, y=2$) в уравнение $y = 2x + b$:
$2 = 2 \cdot 1 + b$
$2 = 2 + b$
$b = 0$
Таким образом, уравнение искомой функции: $y = 2x$.
Ответ: $y = 2x$

2) B(2; -1)
Подставляем координаты точки B($x=2, y=-1$) в уравнение $y = 2x + b$:
$-1 = 2 \cdot 2 + b$
$-1 = 4 + b$
$b = -1 - 4$
$b = -5$
Таким образом, уравнение искомой функции: $y = 2x - 5$.
Ответ: $y = 2x - 5$

3) C(0; 2)
Подставляем координаты точки C($x=0, y=2$) в уравнение $y = 2x + b$:
$2 = 2 \cdot 0 + b$
$2 = 0 + b$
$b = 2$
Таким образом, уравнение искомой функции: $y = 2x + 2$.
Ответ: $y = 2x + 2$

4) D(3; 0)
Подставляем координаты точки D($x=3, y=0$) в уравнение $y = 2x + b$:
$0 = 2 \cdot 3 + b$
$0 = 6 + b$
$b = -6$
Таким образом, уравнение искомой функции: $y = 2x - 6$.
Ответ: $y = 2x - 6$

Построение графиков

Теперь построим графики всех найденных функций ($y = 2x$, $y = 2x - 5$, $y = 2x + 2$, $y = 2x - 6$) и исходной функции ($y = 2x - 3$) на одной координатной плоскости. Все эти прямые параллельны друг другу, так как имеют одинаковый угловой коэффициент $k=2$.

3.78. Напишите линейную функцию, график которой перпендикулярен графику функции $y = -0,5x + 4$ и свободный член которой равен:

1) -4;

2) 3;

3) -1;

4) 5.

Для решения этой задачи необходимо использовать условие перпендикулярности двух прямых. Две прямые, заданные уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1, то есть $k_1 \cdot k_2 = -1$.

В исходной функции $y = -0,5x + 4$ угловой коэффициент $k_1 = -0,5$.

Найдем угловой коэффициент $k_2$ для искомой функции, которая будет перпендикулярна данной:

$k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{-0,5} = \frac{1}{0,5} = 2$.

Таким образом, искомая линейная функция будет иметь вид $y = 2x + b$, где $b$ — это свободный член, значения которого даны в подпунктах.

1) Свободный член равен -4.

Подставляем $k=2$ и $b=-4$ в уравнение линейной функции $y = kx + b$.

Получаем функцию: $y = 2x - 4$.

Ответ: $y = 2x - 4$.

2) Свободный член равен 3.

Подставляем $k=2$ и $b=3$ в уравнение линейной функции $y = kx + b$.

Получаем функцию: $y = 2x + 3$.

Ответ: $y = 2x + 3$.

3) Свободный член равен -1.

3.79. Напишите линейную функцию, график которой перпендикулярен графику функции $y = 2x - 3$ и проходит через точку:

1) A(1; 2);

2) B(2; -1);

3) C(0; 2);

4) D(3; 0).

Для решения задачи воспользуемся свойством перпендикулярных прямых. Уравнение линейной функции имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент. У данной функции $y = 2x - 3$ угловой коэффициент $k_1 = 2$.

Графики двух прямых перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1. Для искомой прямой с коэффициентом $k_2$ это условие выглядит так: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Найдем $k_2$:$2 \cdot k_2 = -1$$k_2 = -\frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение искомой функции имеет вид $y = -\frac{1}{2}x + b$. Коэффициент $b$ (свободный член) найдем для каждого случая, подставив координаты данной точки $(x_0, y_0)$ в уравнение.

1) A(1; 2)
Подставим координаты точки A в уравнение $y = -\frac{1}{2}x + b$:
$2 = -\frac{1}{2} \cdot 1 + b$
$2 = -0.5 + b$
$b = 2 + 0.5 = 2.5$
Искомое уравнение: $y = -0.5x + 2.5$.
Ответ: $y = -0.5x + 2.5$

2) B(2; -1)
Подставим координаты точки B в уравнение $y = -\frac{1}{2}x + b$:
$-1 = -\frac{1}{2} \cdot 2 + b$
$-1 = -1 + b$
$b = 0$
Искомое уравнение: $y = -0.5x$.
Ответ: $y = -0.5x$

3) C(0; 2)
Подставим координаты точки C в уравнение $y = -\frac{1}{2}x + b$:
$2 = -\frac{1}{2} \cdot 0 + b$
$2 = 0 + b$
$b = 2$
Искомое уравнение: $y = -0.5x + 2$.
Ответ: $y = -0.5x + 2$

4) D(3; 0)
Подставим координаты точки D в уравнение $y = -\frac{1}{2}x + b$:
$0 = -\frac{1}{2} \cdot 3 + b$
$0 = -1.5 + b$
$b = 1.5$
Искомое уравнение: $y = -0.5x + 1.5$.
Ответ: $y = -0.5x + 1.5$

3.80. Постройте график функции $y = \frac{4}{3}x - 1$. По графику найдите координату точки, лежащей на этой прямой. Через эту точку проведите прямую, перпендикулярную данной прямой. Найдите угловой коэффициент перпендикулярной прямой и его свободный член.

Построение графика функции и нахождение координат точки

Данная функция $y = \frac{4}{3}x - 1$ является линейной, её график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Y). Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = \frac{4}{3} \cdot 0 - 1 = 0 - 1 = -1$

Получаем первую точку с координатами A$(0, -1)$.

2. Найдем вторую точку. Для удобства вычислений выберем значение $x$, кратное знаменателю дроби, например, $x=3$:

$y = \frac{4}{3} \cdot 3 - 1 = 4 - 1 = 3$

Получаем вторую точку с координатами B$(3, 3)$.

Отметив точки A$(0, -1)$ и B$(3, 3)$ на координатной плоскости и проведя через них прямую, мы получим график заданной функции. В качестве точки, лежащей на этой прямой, выберем точку B.

Ответ: Координаты точки, лежащей на данной прямой — $(3, 3)$.

Нахождение углового коэффициента и свободного члена перпендикулярной прямой

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (координата пересечения с осью Y).

Для нашей исходной прямой $y = \frac{4}{3}x - 1$ угловой коэффициент $k_1 = \frac{4}{3}$.

Условие перпендикулярности двух прямых гласит, что произведение их угловых коэффициентов равно -1:

$k_1 \cdot k_2 = -1$

Найдем угловой коэффициент $k_2$ перпендикулярной прямой:

$k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}$

Теперь уравнение перпендикулярной прямой имеет вид $y = -\frac{3}{4}x + b_2$.

Чтобы найти свободный член $b_2$, мы используем тот факт, что эта прямая проходит через выбранную нами точку $(3, 3)$. Подставим координаты этой точки в уравнение:

$3 = -\frac{3}{4} \cdot 3 + b_2$

$3 = -\frac{9}{4} + b_2$

Теперь выразим $b_2$:

$b_2 = 3 + \frac{9}{4} = \frac{12}{4} + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}$

Таким образом, мы нашли угловой коэффициент и свободный член перпендикулярной прямой.

Ответ: Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен $-\frac{3}{4}$, а её свободный член равен $\frac{21}{4}$.

3.81. По рисунку 3.21 напишите уравнения прямых a и b. По графику найдите приближенные значения координат точки C, проверьте точность аналитическим способом.

Уравнение прямой a

Прямая a проходит через точки $(-2; 2.5)$ и $(1; -1)$.

Угловой коэффициент $m_a = \frac{-1 - 2.5}{1 - (-2)} = \frac{-3.5}{3} = -\frac{7}{6}$.

Уравнение прямой a: $y - (-1) = -\frac{7}{6}(x - 1)$

$y + 1 = -\frac{7}{6}x + \frac{7}{6}$

$y = -\frac{7}{6}x + \frac{7}{6} - 1$

$y = -\frac{7}{6}x + \frac{1}{6}$

Итак, уравнение прямой a: $y = -\frac{7}{6}x + \frac{1}{6}$

Уравнение прямой b

Прямая b проходит через точки $(-2; 0)$ и $(0; 1)$.

Угловой коэффициент $m_b = \frac{1 - 0}{0 - (-2)} = \frac{1}{2}$.

Уравнение прямой b: $y = \frac{1}{2}x + 1$

Итак, уравнение прямой b: $y = \frac{1}{2}x + 1$

Приближенные значения координат точки C по графику

По графику точка C имеет приблизительные координаты: $C \approx (-1.5; 2)$

Аналитический способ проверки точности (нахождение точных координат точки C)

Для нахождения точных координат точки C решим систему уравнений:

$-\frac{7}{6}x + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}x + 1$

Умножим обе части уравнения на 6:

$-7x + 1 = 3x + 6$

$-7x - 3x = 6 - 1$

$-10x = 5$

$x = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$

Подставим значение $x$ в уравнение прямой b ($y = \frac{1}{2}x + 1$):

$y = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$

Точные координаты точки C: $C = (-\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$ или $C = (-0.5; 0.75)$

Рис. 3.21

По рисунку 3.21 напишите уравнения прямых a и b.

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + m$, где $k$ — это угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой), а $m$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Для прямой a:

Прямая a проходит через две точки, которые легко определить по сетке: $(0, 0)$ и $(-2, 2)$.

Поскольку прямая проходит через начало координат $(0, 0)$, её коэффициент $m$ равен 0. Уравнение принимает вид $y = kx$.

Чтобы найти угловой коэффициент $k$, подставим координаты второй точки $(-2, 2)$ в это уравнение:

$2 = k \cdot (-2)$

$k = \frac{2}{-2} = -1$

Таким образом, уравнение прямой a имеет вид $y = -x$.

Для прямой b:

Прямая b проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, 1)$.

Точка пересечения с осью $y$ - это $(0, 1)$, следовательно, коэффициент $m = 1$. Уравнение принимает вид $y = kx + 1$.

Чтобы найти угловой коэффициент $k$, подставим координаты точки $(-2, 0)$:

$0 = k \cdot (-2) + 1$

$-1 = -2k$

$k = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение прямой b имеет вид $y = \frac{1}{2}x + 1$.

Ответ: Уравнение прямой a: $y = -x$; уравнение прямой b: $y = \frac{1}{2}x + 1$.

По графику найдите приближенные значения координат точки С, проверьте точность аналитическим способом.

1. Нахождение приближенных координат по графику:

Точка C — это точка пересечения прямых a и b. Визуально по графику можно определить, что абсцисса (координата $x$) точки C находится между -1 и 0, а ордината (координата $y$) находится между 0 и 1. Приблизительные координаты точки C можно оценить как $C \approx (-0.7, 0.7)$.

2. Проверка точности аналитическим способом:

Для нахождения точных координат точки C необходимо решить систему из уравнений прямых a и b:

$\begin{cases} y = -x \\ y = \frac{1}{2}x + 1 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые равны:

$-x = \frac{1}{2}x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$-x - \frac{1}{2}x = 1$

$-\frac{3}{2}x = 1$

Находим $x$:

$x = 1 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3}$

Теперь находим $y$, подставив значение $x$ в первое, более простое, уравнение $y = -x$:

$y = -(-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$

Точные координаты точки C — $(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$. В десятичных дробях это приблизительно $(-0.67, 0.67)$, что подтверждает, что наша визуальная оценка была верной.

Ответ: Приближенные координаты по графику $C \approx (-0.7, 0.7)$. Точные координаты, найденные аналитически: $C(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$.

3.82. На рис. 3.22 изображен отрезок AB. Напишите уравнение этого отрезка. Для этого напишите уравнение прямой, проходящей через точки A и B. Примите во внимание то, что отрезок является ограниченной частью прямой.

Рис. 3.22

Для того чтобы написать уравнение отрезка AB, необходимо выполнить два шага, как предложено в условии задачи: сначала найти уравнение прямой, проходящей через точки A и B, а затем учесть, что отрезок является ограниченной частью этой прямой.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А и В.

1. По данным на рисунке определим координаты конечных точек отрезка:
Точка A имеет координаты $A(-1; -1)$.
Точка B имеет координаты $B(1; 2)$.

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по каноническому уравнению:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

3. Подставим в формулу координаты точек A и B:
$\frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{y - (-1)}{2 - (-1)}$

4. Упростим полученное выражение и приведем его к виду $y = kx + b$:
$\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{3}$
$3(x + 1) = 2(y + 1)$
$3x + 3 = 2y + 2$
$2y = 3x + 1$
$y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$
Это и есть уравнение прямой, на которой расположен отрезок AB.

Примите во внимание то, что отрезок является ограниченной частью прямой.

Так как отрезок AB ограничен точками A и B, то абсциссы ($x$) всех его точек должны находиться в промежутке между абсциссами точек A и B.
Абсцисса точки A: $x_A = -1$.
Абсцисса точки B: $x_B = 1$.

Следовательно, для всех точек отрезка должно выполняться условие: $-1 \le x \le 1$.
Аналогично для ординат ($y$): $-1 \le y \le 2$.

Чтобы полностью описать отрезок, нужно объединить уравнение прямой с ограничением на одну из переменных. Обычно используют ограничение по $x$.

Ответ: Уравнение отрезка AB задается функцией $y = 1.5x + 0.5$ при условии $-1 \le x \le 1$.