Страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.55. Постройте график линейной функции:

1) $y = \frac{2}{3}x - 4;$

2) $y = 2x + 6;$

3) $y = -1.5x - 3;$

4) $y = -\frac{1}{2}x + 1;$

5) $y = \frac{5}{3}x - 2;$

6) $y = -\frac{4}{3}x + 2.$

1) Для построения графика линейной функции $y = \frac{2}{3}x - 4$ необходимо найти координаты двух точек, через которые проходит этот график, так как графиком линейной функции является прямая.

Составим таблицу значений для двух точек. Удобно выбрать такие значения $x$, чтобы значения $y$ были целыми числами.

1. Возьмем $x = 0$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение $y$:

$y = \frac{2}{3} \cdot 0 - 4 = 0 - 4 = -4$

Получили первую точку с координатами $(0, -4)$. Это точка пересечения графика с осью ординат ($Oy$).

2. Чтобы избежать дробных значений, возьмем значение $x$, кратное знаменателю 3, например, $x = 3$.

$y = \frac{2}{3} \cdot 3 - 4 = 2 - 4 = -2$

Получили вторую точку с координатами $(3, -2)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, -4)$ и $(3, -2)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{3}x - 4$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(3, -2)$.

2) Графиком линейной функции $y = 2x + 6$ является прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек.

1. Найдем точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x = 0$:

$y = 2 \cdot 0 + 6 = 6$

Первая точка — $(0, 6)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $Ox$, подставив $y = 0$:

$0 = 2x + 6$

$2x = -6$

$x = -3$

Вторая точка — $(-3, 0)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, 6)$ и $(-3, 0)$ и соединяем их прямой.

Ответ: График функции $y = 2x + 6$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 6)$ и $(-3, 0)$.

3) Функция $y = -1,5x - 3$ — линейная, ее график — прямая. Найдем две точки для ее построения. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-1,5 = -\frac{3}{2}$.

$y = -\frac{3}{2}x - 3$

1. При $x = 0$:

$y = -1,5 \cdot 0 - 3 = -3$

Первая точка — $(0, -3)$.

2. Для получения целого значения $y$ выберем $x$, равное четному числу, например $x = -2$.

$y = -1,5 \cdot (-2) - 3 = 3 - 3 = 0$

Вторая точка — $(-2, 0)$.

Строим прямую, проходящую через точки $(0, -3)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: График функции $y = -1,5x - 3$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(-2, 0)$.

4) Функция $y = -\frac{1}{2}x + 1$ является линейной, ее график — прямая. Найдем координаты двух точек.

1. При $x = 0$:

$y = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$

Первая точка — $(0, 1)$.

2. Возьмем $x = 2$, чтобы избавиться от дроби:

$y = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = -1 + 1 = 0$

Вторая точка — $(2, 0)$.

Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x + 1$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(2, 0)$.

5) График линейной функции $y = \frac{5}{3}x - 2$ — это прямая. Для построения найдем две точки.

1. При $x = 0$:

$y = \frac{5}{3} \cdot 0 - 2 = -2$

Первая точка — $(0, -2)$.

2. Возьмем $x$ кратное 3, например $x = 3$:

$y = \frac{5}{3} \cdot 3 - 2 = 5 - 2 = 3$

Вторая точка — $(3, 3)$.

Отмечаем точки $(0, -2)$ и $(3, 3)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = \frac{5}{3}x - 2$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(3, 3)$.

6) Функция $y = -\frac{4}{3}x + 2$ является линейной, ее график — прямая. Найдем координаты двух точек.

1. При $x = 0$:

$y = -\frac{4}{3} \cdot 0 + 2 = 2$

Первая точка — $(0, 2)$.

2. Возьмем $x = 3$ для удобства вычислений:

$y = -\frac{4}{3} \cdot 3 + 2 = -4 + 2 = -2$

Вторая точка — $(3, -2)$.

Строим прямую по точкам $(0, 2)$ и $(3, -2)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{4}{3}x + 2$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(3, -2)$.

3.56. Найдите точки пересечения графика линейной функции с осями координат и постройте ее график:

1) $y = 2x - 3$;

2) $y = -1,5x + 1$;

3) $y = 0,3x - 1,5$;

4) $y = -x + 6$;

5) $y = 0,6x - 3$;

6) $y = -0,5x - 2$.

1) $y = 2x - 3$

Для нахождения точек пересечения графика с осями координат, необходимо поочередно приравнять к нулю каждую из координат.

1. Пересечение с осью ординат (осью Oy):
Координата $x$ в этой точке равна 0. Подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; -3)$.

2. Пересечение с осью абсцисс (осью Ox):
Координата $y$ в этой точке равна 0. Подставим $y=0$ в уравнение функции:
$0 = 2x - 3$
$2x = 3$
$x = 1,5$.
Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(1,5; 0)$.

3. Построение графика:
График линейной функции — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Мы нашли точки пересечения с осями: $(0; -3)$ и $(1,5; 0)$. Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Ответ: точки пересечения с осями: $(1,5; 0)$ и $(0; -3)$.

2) $y = -1,5x + 1$

1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$y = -1,5 \cdot 0 + 1 = 1$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 1)$.

2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$0 = -1,5x + 1$
$1,5x = 1$
$x = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{2}{3}; 0)$.

3. Построение графика:
Нанесем на координатную плоскость точки $(0; 1)$ и $(\frac{2}{3}; 0)$ и соединим их прямой линией.

Ответ: точки пересечения с осями: $(\frac{2}{3}; 0)$ и $(0; 1)$.

3) $y = 0,3x - 1,5$

1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$y = 0,3 \cdot 0 - 1,5 = -1,5$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1,5)$.

2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$0 = 0,3x - 1,5$
$0,3x = 1,5$
$x = \frac{1,5}{0,3} = 5$.
Точка пересечения с осью Ox: $(5; 0)$.

3. Построение графика:
График данной функции — это прямая, проходящая через точки $(0; -1,5)$ и $(5; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями: $(5; 0)$ и $(0; -1,5)$.

4) $y = -x + 6$

1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$y = -0 + 6 = 6$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 6)$.

2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$0 = -x + 6$
$x = 6$.
Точка пересечения с осью Ox: $(6; 0)$.

3. Построение графика:
График функции — прямая, которую можно построить по двум точкам пересечения с осями: $(0; 6)$ и $(6; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями: $(6; 0)$ и $(0; 6)$.

5) $y = 0,6x - 3$

1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$y = 0,6 \cdot 0 - 3 = -3$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; -3)$.

2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$0 = 0,6x - 3$
$0,6x = 3$
$x = \frac{3}{0,6} = 5$.
Точка пересечения с осью Ox: $(5; 0)$.

3. Построение графика:
Для построения графика отметим на координатной плоскости точки $(0; -3)$ и $(5; 0)$ и проведем через них прямую.

Ответ: точки пересечения с осями: $(5; 0)$ и $(0; -3)$.

6) $y = -0,5x - 2$

1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$y = -0,5 \cdot 0 - 2 = -2$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; -2)$.

2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$0 = -0,5x - 2$
$0,5x = -2$
$x = \frac{-2}{0,5} = -4$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-4; 0)$.

3. Построение графика:
График этой функции — прямая, проходящая через точки $(0; -2)$ и $(-4; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями: $(-4; 0)$ и $(0; -2)$.

3.57. Для линейной функции $f(x) = kx - 3$ найдите значение $k$ такое, чтобы:

1) $f(2) = 1$;

2) $f(-\frac{1}{2}) = -3,3$;

3) $f(2) = -6$.

Пересекаются ли эти три прямые? Если да, то найдите координаты точки их пересечения.

Дана линейная функция $f(x) = kx - 3$. Чтобы найти значение коэффициента $k$ для каждого случая, нужно подставить в уравнение функции координаты заданной точки $(x, f(x))$ и решить полученное уравнение относительно $k$.

1) По условию $f(2) = 1$. Это означает, что при $x = 2$ значение функции $f(x)$ равно 1. Подставим эти значения в уравнение функции:
$1 = k \cdot 2 - 3$
$2k = 1 + 3$
$2k = 4$
$k = \frac{4}{2} = 2$
Таким образом, первая функция имеет вид $f(x) = 2x - 3$.
Ответ: $k = 2$.

2) По условию $f(-\frac{1}{2}) = -3,3$. Подставим $x = -\frac{1}{2}$ и $f(x) = -3,3$ в уравнение функции:
$-3,3 = k \cdot (-\frac{1}{2}) - 3$
$-3,3 + 3 = -\frac{1}{2}k$
$-0,3 = -\frac{1}{2}k$
$k = -0,3 \cdot (-2) = 0,6$
Таким образом, вторая функция имеет вид $f(x) = 0,6x - 3$.
Ответ: $k = 0,6$.

3) По условию $f(2) = -6$. Подставим $x = 2$ и $f(x) = -6$ в уравнение функции:
$-6 = k \cdot 2 - 3$
$2k = -6 + 3$
$2k = -3$
$k = -\frac{3}{2} = -1,5$
Таким образом, третья функция имеет вид $f(x) = -1,5x - 3$.
Ответ: $k = -1,5$.

Теперь ответим на вопрос, пересекаются ли эти три прямые. Мы получили уравнения трех прямых:
1) $y = 2x - 3$
2) $y = 0,6x - 3$
3) $y = -1,5x - 3$
Все эти функции имеют вид $y = kx - 3$. Это означает, что у всех трех прямых одинаковый свободный член, равный -3. Свободный член в уравнении прямой $y = kx + b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $OY$. Следовательно, все три прямые пересекают ось $OY$ в одной и той же точке. Найдем координаты этой точки, подставив $x = 0$ в уравнение любой из функций:
$y = k \cdot 0 - 3 = -3$
Таким образом, все три прямые проходят через точку с координатами $(0, -3)$. Эта точка и является точкой их пересечения.
Ответ: Да, эти три прямые пересекаются. Координаты точки их пересечения — $(0, -3)$.

3.58. Для линейной функции $f(x) = 1.5x + b$ найдите значение $b$ такое, чтобы:

1) $f(1)=4.5$;

2) $f(-2)=1.5$;

3) $f(0.6)=-2$.

Пересекаются ли эти три прямые? Обоснуйте ответ.

1) Для нахождения значения $b$ в линейной функции $f(x) = 1,5x + b$ при условии $f(1) = 4,5$, необходимо подставить значения аргумента $x=1$ и функции $f(x)=4,5$ в уравнение:
$4,5 = 1,5 \cdot 1 + b$
$4,5 = 1,5 + b$
Теперь выразим $b$:
$b = 4,5 - 1,5$
$b = 3$
Таким образом, уравнение первой прямой: $y = 1,5x + 3$.
Ответ: $b=3$.

2) Аналогично найдем значение $b$ при условии $f(-2) = 1,5$. Подставляем $x=-2$ и $f(x)=1,5$:
$1,5 = 1,5 \cdot (-2) + b$
$1,5 = -3 + b$
Выразим $b$:
$b = 1,5 + 3$
$b = 4,5$
Уравнение второй прямой: $y = 1,5x + 4,5$.
Ответ: $b=4,5$.

3) Найдем значение $b$ при условии $f(0,6) = -2$. Подставляем $x=0,6$ и $f(x)=-2$:
$-2 = 1,5 \cdot 0,6 + b$
$-2 = 0,9 + b$
Выразим $b$:
$b = -2 - 0,9$
$b = -2,9$
Уравнение третьей прямой: $y = 1,5x - 2,9$.
Ответ: $b=-2,9$.

Теперь рассмотрим вопрос о пересечении этих трех прямых. Мы получили следующие уравнения:
1. $y = 1,5x + 3$
2. $y = 1,5x + 4,5$
3. $y = 1,5x - 2,9$
Общий вид уравнения линейной функции — $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — свободный член, показывающий точку пересечения прямой с осью ординат.
У всех трех прямых одинаковый угловой коэффициент $k = 1,5$. Прямые, имеющие равные угловые коэффициенты, параллельны.
При этом свободные члены у них различны: $3 \neq 4,5 \neq -2,9$. Это означает, что прямые не совпадают.
Таким образом, мы имеем три различные параллельные прямые. По определению, параллельные прямые не имеют общих точек, а значит, не пересекаются.
Ответ: Нет, эти три прямые не пересекаются, так как они параллельны друг другу.

3.59. Автобус идет с постоянной скоростью $54 \text{ км/ч}$. Пусть он за время $t$ ч пройдет $S$ км пути. Являются ли величины $S$ и $t$ пропорциональными? Если да, то каков коэффициент пропорциональности? Заполните таблицу.

Являются ли величины S и t пропорциональными?

Связь между расстоянием $S$, скоростью $v$ и временем $t$ выражается формулой $S = v \cdot t$. В условии задачи сказано, что скорость автобуса постоянна и равна $v = 54$ км/ч. Следовательно, формула, связывающая путь $S$ (в км) и время $t$ (в ч), имеет вид: $S = 54t$. Эта формула является формулой прямой пропорциональности вида $y = kx$, где $y = S$, $x = t$, а коэффициент пропорциональности $k = 54$. Таким образом, величины $S$ и $t$ являются прямо пропорциональными.

Ответ: Да, величины S и t являются пропорциональными.

Каков коэффициент пропорциональности?

Из формулы $S = 54t$ видно, что коэффициент пропорциональности $k$ равен 54. Физический смысл этого коэффициента — это скорость автобуса в км/ч.

Ответ: Коэффициент пропорциональности равен 54.

Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы будем использовать формулу $S = 54t$. Для каждого значения времени $t$ из верхней строки мы вычислим соответствующее значение расстояния $S$. Для заданных значений расстояния $S$ мы найдем соответствующее время $t$ по формуле $t = S/54$.

Выполним вычисления:

• При $t = \frac{1}{3}$ ч: $S = 54 \cdot \frac{1}{3} = 18$ км.
• При $S = 27$ км: $t = \frac{27}{54} = \frac{1}{2} = 0,5$ ч.
• При $t = \frac{2}{3}$ ч: $S = 54 \cdot \frac{2}{3} = 18 \cdot 2 = 36$ км.
• При $t = 1$ ч: $S = 54 \cdot 1 = 54$ км.
• При $t = 1,5$ ч: $S = 54 \cdot 1,5 = 81$ км. (Заметим, что значение 72, указанное в таблице на изображении, не соответствует условию задачи, так как $54 \cdot 1,5 = 81$, а не 72.)
• При $t = 1\frac{2}{3}$ ч = $\frac{5}{3}$ ч: $S = 54 \cdot \frac{5}{3} = 18 \cdot 5 = 90$ км.
• При $t = 2$ ч: $S = 54 \cdot 2 = 108$ км.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

3.60. Найдите коэффициент пропорциональности и заполните таблицу:

1) x: , -1, 1, , 5

y: -2, , , 2, $\frac{10}{3}$

2) x: , -1, 1, 2, 5

y: 1,2, , , -2,4, -3

1)

В данной задаче переменные x и y связаны прямой пропорциональностью, которая описывается формулой $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Чтобы найти коэффициент пропорциональности $k$, воспользуемся известной парой значений из таблицы: $x = 5$ и $y = \frac{10}{3}$.

Подставим эти значения в формулу $k = \frac{y}{x}$:

$k = \frac{10/3}{5} = \frac{10}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Итак, коэффициент пропорциональности равен $\frac{2}{3}$. Зависимость между x и y выражается формулой $y = \frac{2}{3}x$.

Теперь заполним пустые ячейки в таблице, используя найденную формулу.

• Найдем x, если $y = -2$:

  $-2 = \frac{2}{3}x$

  $x = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3$

• Найдем y, если $x = -1$:

  $y = \frac{2}{3} \cdot (-1) = -\frac{2}{3}$

• Найдем y, если $x = 1$:

  $y = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$

• Найдем x, если $y = 2$:

  $2 = \frac{2}{3}x$

  $x = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: коэффициент пропорциональности $k = \frac{2}{3}$. Заполненная таблица представлена выше.

2)

Аналогично первому пункту, предположим, что зависимость между x и y является прямой пропорциональностью, то есть $y = kx$.

Для нахождения коэффициента $k$ используем единственную полностью заданную пару значений из таблицы: $x = 5$ и $y = -3$.

Вычислим $k$ по формуле $k = \frac{y}{x}$:

$k = \frac{-3}{5} = -0,6$

Коэффициент пропорциональности равен $-0,6$. Формула зависимости: $y = -0,6x$.

Используем эту формулу для заполнения пропусков в таблице.

• Найдем x, если $y = 1,2$:

  $1,2 = -0,6x$

  $x = \frac{1,2}{-0,6} = -2$

• Найдем y, если $x = -1$:

  $y = -0,6 \cdot (-1) = 0,6$

• Найдем y, если $x = 1$:

  $y = -0,6 \cdot 1 = -0,6$

• Найдем y, если $x = 2$:

  $y = -0,6 \cdot 2 = -1,2$

• Найдем x, если $y = -2,4$:

  $-2,4 = -0,6x$

  $x = \frac{-2,4}{-0,6} = 4$

Заполненная таблица:

Ответ: коэффициент пропорциональности $k = -0,6$. Заполненная таблица представлена выше.

3.61. Плотность керосина равна $8\text{ г}/\text{см}^3$. Сколько килограммов керосина вмещается в 20-литровую канистру?

Для того чтобы определить массу керосина, который вмещается в канистру, необходимо использовать формулу, связывающую массу ($m$), плотность ($\rho$) и объем ($V$): $m = \rho \cdot V$.

Согласно условию задачи, нам известны следующие величины:

Плотность керосина: $\rho = 8 \text{ г/см}^3$

Объем канистры: $V = 20 \text{ литров}$

Для проведения расчетов необходимо привести единицы измерения к единой системе. Поскольку плотность дана в граммах на кубический сантиметр, переведем объем канистры из литров в кубические сантиметры. Известно, что 1 литр равен 1000 кубических сантиметров ($1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$).

Вычислим объем в $\text{см}^3$:

$V = 20 \text{ л} = 20 \cdot 1000 \text{ см}^3 = 20000 \text{ см}^3$

Теперь, используя формулу массы, мы можем вычислить массу керосина в граммах:

$m = \rho \cdot V = 8 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 20000 \text{ см}^3 = 160000 \text{ г}$

В вопросе требуется указать массу в килограммах. Для этого переведем полученное значение из граммов в килограммы, зная, что в 1 килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).

$m = \frac{160000 \text{ г}}{1000} = 160 \text{ кг}$

Примечание: Стоит отметить, что указанная в условии плотность керосина ($8 \text{ г/см}^3$) является физически некорректной, так как реальная плотность керосина составляет около $0.8 \text{ г/см}^3$. Данное решение основано строго на значениях, представленных в задаче.

Ответ: 160 кг.