Страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.68. Напишите функцию прямой пропорциональности, график которой параллелен графику линейной функции:

1) $y = 3x + 2;$

2) $y = -0,3x - 2;$

3) $y = \frac{1}{2}x + 4;$

4) $y = 1,5x - 5;$

5) $y = -\frac{2}{3}x + 4;$

6) $y = -6x + 1.$

Функция прямой пропорциональности — это функция вида $y=kx$, где $k$ — числовой коэффициент. Её график — это прямая, проходящая через начало координат.

Линейная функция имеет общий вид $y=kx+b$. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет наклон прямой.

Графики двух линейных функций параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Таким образом, чтобы найти искомую функцию прямой пропорциональности, нам нужно определить угловой коэффициент $k$ для каждой из заданных линейных функций и использовать его в уравнении вида $y=kx$.

1) Для функции $y = 3x + 2$ угловой коэффициент $k=3$. Следовательно, функция прямой пропорциональности, график которой параллелен графику данной функции, имеет вид $y = 3x$.
Ответ: $y = 3x$.

2) Для функции $y = -0{,}3x - 2$ угловой коэффициент $k=-0{,}3$. Следовательно, искомая функция прямой пропорциональности имеет вид $y = -0{,}3x$.
Ответ: $y = -0{,}3x$.

3) Для функции $y = \frac{1}{2}x + 4$ угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$. Следовательно, искомая функция прямой пропорциональности имеет вид $y = \frac{1}{2}x$.
Ответ: $y = \frac{1}{2}x$.

4) Для функции $y = 1{,}5x - 5$ угловой коэффициент $k=1{,}5$. Следовательно, искомая функция прямой пропорциональности имеет вид $y = 1{,}5x$.
Ответ: $y = 1{,}5x$.

5) Для функции $y = -\frac{2}{3}x + 4$ угловой коэффициент $k=-\frac{2}{3}$. Следовательно, искомая функция прямой пропорциональности имеет вид $y = -\frac{2}{3}x$.
Ответ: $y = -\frac{2}{3}x$.

6) Для функции $y = -6x + 1$ угловой коэффициент $k=-6$. Следовательно, искомая функция прямой пропорциональности имеет вид $y = -6x$.
Ответ: $y = -6x$.

3.69. Может ли график линейной функции располагаться только:

1) в I и III координатных четвертях;

2) во II и IV координатных четвертях;

3) в I и II координатных четвертях;

4) в III и IV координатных четвертях;

5) в I и IV координатных четвертях;

6) во II и III координатных четвертях?

Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая линия. Рассмотрим каждый случай расположения такой прямой на координатной плоскости, которая разделена на четыре четверти (квадранта): I ($x>0, y>0$), II ($x<0, y>0$), III ($x<0, y<0$) и IV ($x>0, y<0$).

1) в I и III координатных четвертях;

Да, может. Если график линейной функции проходит через начало координат (точка $(0,0)$), то свободный член $b$ в уравнении $y = kx + b$ равен нулю. Уравнение принимает вид $y = kx$. Если при этом угловой коэффициент $k$ положителен ($k > 0$), то при $x > 0$ будет $y > 0$ (I четверть), а при $x < 0$ будет $y < 0$ (III четверть). Таким образом, график будет расположен исключительно в I и III четвертях. Пример такой функции: $y = 2x$.

Ответ: Да.

2) во II и IV координатных четвертях;

Да, может. Аналогично предыдущему пункту, график должен проходить через начало координат ($b=0$), но угловой коэффициент должен быть отрицательным ($k < 0$). Уравнение функции: $y=kx$, где $k<0$. В этом случае, если $x < 0$, то $y > 0$ (II четверть), а если $x > 0$, то $y < 0$ (IV четверть). Пример такой функции: $y = -x$.

Ответ: Да.

3) в I и II координатных четвертях;

Да, может. Если прямая параллельна оси абсцисс ($Ox$) и расположена выше неё, то все её точки будут иметь положительную ординату ($y>0$). Это соответствует линейной функции $y=kx+b$ при $k=0$ и $b>0$. Уравнение такой функции — $y=b$, где $b>0$. Например, график функции $y=3$ целиком лежит в I и II четвертях.

Ответ: Да.

4) в III и IV координатных четвертях;

Да, может. Если прямая параллельна оси $Ox$ и расположена ниже неё, то все её точки будут иметь отрицательную ординату ($y<0$). Это соответствует линейной функции $y=kx+b$ при $k=0$ и $b<0$. Уравнение такой функции — $y=b$, где $b<0$. Например, график функции $y=-4$ целиком лежит в III и IV четвертях.

Ответ: Да.

5) в I и IV координатных четвертях;

Нет, не может. Чтобы график располагался только в I и IV четвертях, все его точки должны иметь положительную абсциссу ($x > 0$). Этому условию удовлетворяет только вертикальная прямая вида $x=c$ (где $c>0$). Однако вертикальная прямая не является графиком функции вида $y=f(x)$, так как одному значению $x$ соответствует бесконечное множество значений $y$. Область определения любой линейной функции $y=kx+b$ — это все действительные числа, поэтому её график не может быть ограничен только правой полуплоскостью ($x>0$).

Ответ: Нет.

6) во II и III координатных четвертях?

Нет, не может. Чтобы график располагался только во II и III четвертях, все его точки должны иметь отрицательную абсциссу ($x < 0$). Этому соответствует вертикальная прямая $x=c$ (где $c<0$), которая не является графиком линейной функции по тем же причинам, что и в предыдущем пункте. График линейной функции $y=kx+b$ всегда определен для всех $x$, а значит, не может находиться только в левой полуплоскости ($x<0$).

Ответ: Нет.

3.70. Какое число нужно подставить вместо $\Box$, чтобы графики линейных функций были параллельными:

1) $y = 3x - 4$ и $y = \Box x + 4;$

2) $y = -\frac{1}{2}x$ и $y = \Box x + 3;$

3) $y = \Box x - 1$ и $y = -0,3x - 3;$

4) $y = \Box x + 7$ и $y = -2x - 3?$

Два графика линейных функций вида $y = kx + b$ параллельны, если их угловые коэффициенты (числа, стоящие перед $x$) равны, а их свободные члены (числа $b$) различны. Во всех предложенных случаях свободные члены различны, поэтому для обеспечения параллельности графиков нужно лишь приравнять их угловые коэффициенты.

1) $y = 3x - 4$ и $y = \Box x + 4$

Угловой коэффициент первой функции $k_1 = 3$. Угловой коэффициент второй функции $k_2$ — это число, которое нужно подставить в квадрат. Чтобы графики были параллельны, должно выполняться равенство $k_1 = k_2$. Следовательно, в квадрат нужно подставить число 3.

Ответ: 3

2) $y = -\frac{1}{2}x$ и $y = \Box x + 3$

Угловой коэффициент первой функции $k_1 = -\frac{1}{2}$. Для параллельности графиков угловой коэффициент второй функции $k_2$ должен быть равен $k_1$. Следовательно, в квадрат нужно подставить число $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) $y = \Box x - 1$ и $y = -0,3x - 3$

Угловой коэффициент второй функции $k_2 = -0,3$. Для параллельности графиков угловой коэффициент первой функции $k_1$ должен быть равен $k_2$. Следовательно, в квадрат нужно подставить число -0,3.

Ответ: -0,3

4) $y = \Box x + 7$ и $y = -2x - 3$

Угловой коэффициент второй функции $k_2 = -2$. Для параллельности графиков угловой коэффициент первой функции $k_1$ должен быть равен $k_2$. Следовательно, в квадрат нужно подставить число -2.

Ответ: -2

3.71. Какое число нужно подставить вместо знака $ \Box $ в упражнении 3.70, чтобы указанные прямые были перпендикулярными?

Для того чтобы две прямые были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

• Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом вида $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, то произведение их угловых коэффициентов должно быть равно -1: $k_1 \cdot k_2 = -1$.
• Если прямые заданы общими уравнениями вида $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, то должно выполняться равенство: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Поскольку в задании 3.71 есть ссылка на упражнение 3.70, которое не приведено, мы решим несколько типичных примеров, которые могли бы быть в упражнении 3.70.

а) Пусть даны прямые $y = 5x - 3$ и $y = \square x + 2$.

Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = 5$. Обозначим искомый угловой коэффициент второй прямой как $k_2$.

Используем условие перпендикулярности прямых: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Подставляем известное значение $k_1$:

$5 \cdot k_2 = -1$

Отсюда находим $k_2$:

$k_2 = -\frac{1}{5}$

Следовательно, вместо знака $\square$ нужно подставить число $-\frac{1}{5}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}$.

б) Пусть даны прямые $y = -\frac{2}{3}x + 1$ и $y = \square x - 4$.

Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = -\frac{2}{3}$. Обозначим искомый угловой коэффициент второй прямой как $k_2$.

Из условия перпендикулярности $k_1 \cdot k_2 = -1$ получаем:

$(-\frac{2}{3}) \cdot k_2 = -1$

Решаем уравнение относительно $k_2$:

$k_2 = \frac{-1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

Следовательно, вместо знака $\square$ нужно подставить число $\frac{3}{2}$ или 1.5.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

в) Пусть даны прямые $4x + 7y - 1 = 0$ и $\square x - 8y + 5 = 0$.

Эти уравнения заданы в общем виде $Ax + By + C = 0$.

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 4$, $B_1 = 7$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = \square$, $B_2 = -8$. Обозначим неизвестный коэффициент как $A_2$.

Используем условие перпендикулярности прямых в общем виде: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Подставляем известные коэффициенты:

$4 \cdot A_2 + 7 \cdot (-8) = 0$

$4A_2 - 56 = 0$

$4A_2 = 56$

$A_2 = \frac{56}{4} = 14$

Таким образом, вместо знака $\square$ нужно подставить число $14$.

Ответ: $14$.

г) Пусть даны прямые $3x + \square y + 9 = 0$ и $2x - 5y - 2 = 0$.

Уравнения заданы в общем виде. Для первой прямой: $A_1 = 3$, $B_1 = \square$. Обозначим неизвестный коэффициент как $B_1$.

Для второй прямой: $A_2 = 2$, $B_2 = -5$.

Применяем условие перпендикулярности $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$:

$3 \cdot 2 + B_1 \cdot (-5) = 0$

$6 - 5B_1 = 0$

$6 = 5B_1$

$B_1 = \frac{6}{5}$

Следовательно, вместо знака $\square$ необходимо подставить число $\frac{6}{5}$ или 1.2.

Ответ: $\frac{6}{5}$.

3.72. Найдите точки пересечения прямых, предварительно построив графики указанных линейных функций:

1) $y = 2x - 3$ и $y = -\frac{1}{2}x$;

2) $y = 1,5x + 2$ и $y = -2x - 5$;

3) $y = 0,5x$ и $y = -0,3x + 3,2$;

4) $y = -\frac{4}{3}x + 2$ и $y = 3x - 11$.

1)

Даны две линейные функции: $y = 2x - 3$ и $y = -\frac{1}{2}x$.
Для построения графика каждой функции (прямой) найдем координаты двух точек.

Для прямой $y = 2x - 3$:
- при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
- при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Точка $(2; 1)$.

Для прямой $y = -\frac{1}{2}x$:
- при $x = 0$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
- при $x = 2$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$. Точка $(2; -1)$.

Теперь найдем точку пересечения аналитически. В точке пересечения значения $y$ равны, поэтому приравняем правые части уравнений: $2x - 3 = -\frac{1}{2}x$

Решим уравнение относительно $x$:
$2x + \frac{1}{2}x = 3$
$\frac{4}{2}x + \frac{1}{2}x = 3$
$\frac{5}{2}x = 3$
$x = 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$

Подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем второе уравнение:
$y = -\frac{1}{2}x = -\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{6}{10} = -0.6$

Координаты точки пересечения: $(1.2; -0.6)$.

Ответ: $(1.2; -0.6)$.

2)

Даны две линейные функции: $y = 1.5x + 2$ и $y = -2x - 5$.
Для построения графика каждой функции найдем координаты двух точек.

Для прямой $y = 1.5x + 2$:
- при $x = 0$, $y = 1.5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
- при $x = -2$, $y = 1.5 \cdot (-2) + 2 = -3 + 2 = -1$. Точка $(-2; -1)$.

Для прямой $y = -2x - 5$:
- при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0; -5)$.
- при $x = -2$, $y = -2 \cdot (-2) - 5 = 4 - 5 = -1$. Точка $(-2; -1)$.

Найдем точку пересечения, приравняв правые части уравнений: $1.5x + 2 = -2x - 5$

Решим уравнение относительно $x$:
$1.5x + 2x = -5 - 2$
$3.5x = -7$
$x = \frac{-7}{3.5} = -2$

Подставим $x = -2$ в любое из уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое уравнение:
$y = 1.5 \cdot (-2) + 2 = -3 + 2 = -1$

Координаты точки пересечения: $(-2; -1)$.

Ответ: $(-2; -1)$.

3)

Даны две линейные функции: $y = 0.5x$ и $y = -0.3x + 3.2$.
Для построения графика каждой функции найдем координаты двух точек.

Для прямой $y = 0.5x$:
- при $x = 0$, $y = 0.5 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
- при $x = 4$, $y = 0.5 \cdot 4 = 2$. Точка $(4; 2)$.

Для прямой $y = -0.3x + 3.2$:
- при $x = 0$, $y = -0.3 \cdot 0 + 3.2 = 3.2$. Точка $(0; 3.2)$.
- при $x = 4$, $y = -0.3 \cdot 4 + 3.2 = -1.2 + 3.2 = 2$. Точка $(4; 2)$.

Найдем точку пересечения, приравняв правые части уравнений: $0.5x = -0.3x + 3.2$

Решим уравнение относительно $x$:
$0.5x + 0.3x = 3.2$
$0.8x = 3.2$
$x = \frac{3.2}{0.8} = 4$

Подставим $x = 4$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 0.5 \cdot 4 = 2$

Координаты точки пересечения: $(4; 2)$.

Ответ: $(4; 2)$.

4)

Даны две линейные функции: $y = -\frac{4}{3}x + 2$ и $y = 3x - 11$.
Для построения графика каждой функции найдем координаты двух точек.

Для прямой $y = -\frac{4}{3}x + 2$:
- при $x = 0$, $y = -\frac{4}{3} \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
- при $x = 3$, $y = -\frac{4}{3} \cdot 3 + 2 = -4 + 2 = -2$. Точка $(3; -2)$.

Для прямой $y = 3x - 11$:
- при $x = 3$, $y = 3 \cdot 3 - 11 = 9 - 11 = -2$. Точка $(3; -2)$.
- при $x = 4$, $y = 3 \cdot 4 - 11 = 12 - 11 = 1$. Точка $(4; 1)$.

Найдем точку пересечения, приравняв правые части уравнений: $-\frac{4}{3}x + 2 = 3x - 11$

Решим уравнение относительно $x$:
$2 + 11 = 3x + \frac{4}{3}x$
$13 = \frac{9}{3}x + \frac{4}{3}x$
$13 = \frac{13}{3}x$
$x = 13 \cdot \frac{3}{13} = 3$

Подставим $x = 3$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 3 \cdot 3 - 11 = 9 - 11 = -2$

Координаты точки пересечения: $(3; -2)$.

Ответ: $(3; -2)$.

3.73. Проверьте результаты упражнения 3.72, находя точки пересечения графиков данных линейных функций аналитическим способом.

Чтобы найти точки пересечения графиков двух линейных функций аналитическим способом, необходимо решить систему, состоящую из уравнений этих функций. Для этого приравнивают выражения для $y$ и решают полученное уравнение относительно $x$. Затем, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, находят соответствующее значение $y$.

Так как в задании требуется проверить результаты упражнения 3.72, ниже будут решены типичные примеры, которые могли быть в том упражнении.

а) $y = 2x + 1$ и $y = -x + 4$

Приравниваем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ должны быть одинаковыми:

$2x + 1 = -x + 4$

Переносим слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x + x = 4 - 1$

$3x = 3$

Находим значение $x$:

$x = \frac{3}{3} = 1$

Теперь подставляем найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое уравнение:

$y = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3$

Для проверки можно подставить $x=1$ и во второе уравнение:

$y = -(1) + 4 = -1 + 4 = 3$

Результаты совпадают. Координаты точки пересечения — $(1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$.

б) $y = 3x - 2$ и $y = 3x + 5$

Приравниваем правые части уравнений:

$3x - 2 = 3x + 5$

Переносим слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:

$3x - 3x = 5 + 2$

$0 \cdot x = 7$

Получилось неверное равенство $0 = 7$, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что система уравнений не имеет решений. Графики данных функций являются параллельными прямыми (угловые коэффициенты равны: $k_1=k_2=3$), которые не пересекаются.

Ответ: точек пересечения нет.

в) $y = \frac{1}{2}x - 1$ и $y = -2x + 9$

Приравниваем правые части уравнений:

$\frac{1}{2}x - 1 = -2x + 9$

Переносим слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$\frac{1}{2}x + 2x = 9 + 1$

Приводим подобные слагаемые в левой части:

$\frac{1}{2}x + \frac{4}{2}x = 10$

$\frac{5}{2}x = 10$

Находим $x$:

$x = 10 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20}{5} = 4$

Подставляем $x=4$ в любое из уравнений для нахождения $y$. Удобнее использовать второе уравнение:

$y = -2(4) + 9 = -8 + 9 = 1$

Координаты точки пересечения — $(4; 1)$.

Ответ: $(4; 1)$.

г) $y = 4$ и $y = -x + 6$

Приравниваем правые части уравнений:

$4 = -x + 6$

Решаем полученное уравнение относительно $x$:

$x = 6 - 4$

$x = 2$

Значение $y$ уже известно из первого уравнения: $y = 4$.

Таким образом, координаты точки пересечения — $(2; 4)$.

Ответ: $(2; 4)$.

3.74. При каких значениях $k$ и $b$ графики функций: 1) $y = kx + 3$; 2) $y = -2x + b$ проходят через точку А $(1; -2)$? Проведите проверку, построив графики обеих функций на одной координатной плоскости.

Чтобы график функции проходил через заданную точку, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Для нахождения неизвестных коэффициентов $k$ и $b$ подставим координаты точки $A(1; -2)$ (где $x=1$ и $y=-2$) в уравнения каждой функции.

1) $y = kx + 3$

Подставляем координаты точки A в уравнение:

$-2 = k \cdot 1 + 3$

Решаем полученное уравнение относительно $k$:

$-2 = k + 3$

$k = -2 - 3$

$k = -5$

Ответ: $k = -5$.

2) $y = -2x + b$

Подставляем координаты точки A в уравнение:

$-2 = -2 \cdot 1 + b$

Решаем полученное уравнение относительно $b$:

$-2 = -2 + b$

$b = -2 + 2$

$b = 0$

Ответ: $b = 0$.

Проверка построением графиков

Теперь, когда мы нашли значения $k$ и $b$, уравнения наших функций приняли вид: $y = -5x + 3$ и $y = -2x$. Для проверки построим их графики на одной координатной плоскости и убедимся, что они проходят через точку $A(1; -2)$.

График линейной функции — это прямая, для построения которой достаточно двух точек.

Для функции $y = -5x + 3$:

- Найдем первую точку: если $x = 0$, то $y = -5 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.

- Вторая точка нам известна по условию: $A(1; -2)$.

Для функции $y = -2x$:

- Найдем первую точку: если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$.

- Вторая точка нам также известна: $A(1; -2)$.

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и проводим через них две прямые. Построенные графики (прямая $y = -5x + 3$, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(1; -2)$, и прямая $y = -2x$, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(1; -2)$) оба пересекаются в точке $A(1; -2)$. Проверка пройдена успешно.