Номер 3.71, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.71. Какое число нужно подставить вместо знака $ \Box $ в упражнении 3.70, чтобы указанные прямые были перпендикулярными?

Для того чтобы две прямые были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

• Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом вида $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, то произведение их угловых коэффициентов должно быть равно -1: $k_1 \cdot k_2 = -1$.
• Если прямые заданы общими уравнениями вида $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, то должно выполняться равенство: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Поскольку в задании 3.71 есть ссылка на упражнение 3.70, которое не приведено, мы решим несколько типичных примеров, которые могли бы быть в упражнении 3.70.

а) Пусть даны прямые $y = 5x - 3$ и $y = \square x + 2$.

Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = 5$. Обозначим искомый угловой коэффициент второй прямой как $k_2$.

Используем условие перпендикулярности прямых: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Подставляем известное значение $k_1$:

$5 \cdot k_2 = -1$

Отсюда находим $k_2$:

$k_2 = -\frac{1}{5}$

Следовательно, вместо знака $\square$ нужно подставить число $-\frac{1}{5}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}$.

б) Пусть даны прямые $y = -\frac{2}{3}x + 1$ и $y = \square x - 4$.

Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = -\frac{2}{3}$. Обозначим искомый угловой коэффициент второй прямой как $k_2$.

Из условия перпендикулярности $k_1 \cdot k_2 = -1$ получаем:

$(-\frac{2}{3}) \cdot k_2 = -1$

Решаем уравнение относительно $k_2$:

$k_2 = \frac{-1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

Следовательно, вместо знака $\square$ нужно подставить число $\frac{3}{2}$ или 1.5.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

в) Пусть даны прямые $4x + 7y - 1 = 0$ и $\square x - 8y + 5 = 0$.

Эти уравнения заданы в общем виде $Ax + By + C = 0$.

Для первой прямой коэффициенты: $A_1 = 4$, $B_1 = 7$.

Для второй прямой коэффициенты: $A_2 = \square$, $B_2 = -8$. Обозначим неизвестный коэффициент как $A_2$.

Используем условие перпендикулярности прямых в общем виде: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Подставляем известные коэффициенты:

$4 \cdot A_2 + 7 \cdot (-8) = 0$

$4A_2 - 56 = 0$

$4A_2 = 56$

$A_2 = \frac{56}{4} = 14$

Таким образом, вместо знака $\square$ нужно подставить число $14$.

Ответ: $14$.

г) Пусть даны прямые $3x + \square y + 9 = 0$ и $2x - 5y - 2 = 0$.

Уравнения заданы в общем виде. Для первой прямой: $A_1 = 3$, $B_1 = \square$. Обозначим неизвестный коэффициент как $B_1$.

Для второй прямой: $A_2 = 2$, $B_2 = -5$.

Применяем условие перпендикулярности $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$:

$3 \cdot 2 + B_1 \cdot (-5) = 0$

$6 - 5B_1 = 0$

$6 = 5B_1$

$B_1 = \frac{6}{5}$

Следовательно, вместо знака $\square$ необходимо подставить число $\frac{6}{5}$ или 1.2.

Ответ: $\frac{6}{5}$.