Номер 3.75, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.75. По графику (рис. 3.20) запишите формулу линейных функций. Найдите координаты точек их пересечения аналитическим способом (письменно) и результат сверьте с рисунком.

Формулы линейных функций:

Для линии n: $y = -x + 1$

Для линии m: $y = \frac{2}{3}x + 1$

Координаты точки пересечения:

Приравняем правые части уравнений:

$-x + 1 = \frac{2}{3}x + 1$

$-x = \frac{2}{3}x$

$\frac{5}{3}x = 0$

$x = 0$

Подставим $x = 0$ в любое из уравнений (например, в уравнение для n):

$y = -0 + 1$

$y = 1$

Точка пересечения: $(0; 1)$

Рис. 3.20

Для решения задачи определим уравнения для каждой из двух прямых, обозначенных как m и n. Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью Y.

Запишем формулу для прямой m

1. Из графика видно, что прямая m пересекает ось Y в точке $(0; 1)$. Это означает, что свободный член $b = 1$.

2. Для нахождения углового коэффициента $k$ выберем две точки на прямой. У нас уже есть точка $(0; 1)$. В качестве второй точки возьмем точку пересечения с осью X, которая, судя по графику, имеет координаты $(-1,5; 0)$.

Угловой коэффициент $k$ вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты точек $(x_1; y_1) = (-1,5; 0)$ и $(x_2; y_2) = (0; 1)$:

$k = \frac{1 - 0}{0 - (-1,5)} = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.

Таким образом, формула для прямой m: $y = \frac{2}{3}x + 1$.

Ответ: Формула для прямой m: $y = \frac{2}{3}x + 1$.

Запишем формулу для прямой n

1. Прямая n также пересекает ось Y в точке $(0; 1)$, следовательно, для нее тоже $b = 1$.

2. В качестве второй точки на прямой n возьмем ее точку пересечения с осью X, которая имеет координаты $(1; 0)$.

Вычислим угловой коэффициент $k$ для прямой n, используя точки $(x_1; y_1) = (1; 0)$ и $(x_2; y_2) = (0; 1)$:

$k = \frac{1 - 0}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$.

Таким образом, формула для прямой n: $y = -x + 1$.

Ответ: Формула для прямой n: $y = -x + 1$.

Найдем координаты точек их пересечения аналитическим способом

Чтобы найти точку пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из формул двух прямых. В точке пересечения их координаты $(x; y)$ равны, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:

$\frac{2}{3}x + 1 = -x + 1$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$\frac{2}{3}x + x = 1 - 1$

$\frac{5}{3}x = 0$

$x = 0$

Подставим найденное значение $x=0$ в любое из уравнений, чтобы найти $y$. Используем второе уравнение:

$y = -0 + 1 = 1$

Таким образом, точка пересечения прямых m и n имеет координаты $(0; 1)$.

Ответ: Координаты точки пересечения: $(0; 1)$.

Сверим результат с рисунком

На графике (рис. 3.20) видно, что прямые m и n пересекаются на оси Y в точке, где $x=0$ и $y=1$. Координаты этой точки — $(0; 1)$. Аналитическое решение полностью совпадает с графическим представлением.