Номер 3.81, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.81. По рисунку 3.21 напишите уравнения прямых a и b. По графику найдите приближенные значения координат точки C, проверьте точность аналитическим способом.

Уравнение прямой a

Прямая a проходит через точки $(-2; 2.5)$ и $(1; -1)$.

Угловой коэффициент $m_a = \frac{-1 - 2.5}{1 - (-2)} = \frac{-3.5}{3} = -\frac{7}{6}$.

Уравнение прямой a: $y - (-1) = -\frac{7}{6}(x - 1)$

$y + 1 = -\frac{7}{6}x + \frac{7}{6}$

$y = -\frac{7}{6}x + \frac{7}{6} - 1$

$y = -\frac{7}{6}x + \frac{1}{6}$

Итак, уравнение прямой a: $y = -\frac{7}{6}x + \frac{1}{6}$

Уравнение прямой b

Прямая b проходит через точки $(-2; 0)$ и $(0; 1)$.

Угловой коэффициент $m_b = \frac{1 - 0}{0 - (-2)} = \frac{1}{2}$.

Уравнение прямой b: $y = \frac{1}{2}x + 1$

Итак, уравнение прямой b: $y = \frac{1}{2}x + 1$

Приближенные значения координат точки C по графику

По графику точка C имеет приблизительные координаты: $C \approx (-1.5; 2)$

Аналитический способ проверки точности (нахождение точных координат точки C)

Для нахождения точных координат точки C решим систему уравнений:

$-\frac{7}{6}x + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}x + 1$

Умножим обе части уравнения на 6:

$-7x + 1 = 3x + 6$

$-7x - 3x = 6 - 1$

$-10x = 5$

$x = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$

Подставим значение $x$ в уравнение прямой b ($y = \frac{1}{2}x + 1$):

$y = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$

Точные координаты точки C: $C = (-\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$ или $C = (-0.5; 0.75)$

Рис. 3.21

По рисунку 3.21 напишите уравнения прямых a и b.

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + m$, где $k$ — это угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой), а $m$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Для прямой a:

Прямая a проходит через две точки, которые легко определить по сетке: $(0, 0)$ и $(-2, 2)$.

Поскольку прямая проходит через начало координат $(0, 0)$, её коэффициент $m$ равен 0. Уравнение принимает вид $y = kx$.

Чтобы найти угловой коэффициент $k$, подставим координаты второй точки $(-2, 2)$ в это уравнение:

$2 = k \cdot (-2)$

$k = \frac{2}{-2} = -1$

Таким образом, уравнение прямой a имеет вид $y = -x$.

Для прямой b:

Прямая b проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, 1)$.

Точка пересечения с осью $y$ - это $(0, 1)$, следовательно, коэффициент $m = 1$. Уравнение принимает вид $y = kx + 1$.

Чтобы найти угловой коэффициент $k$, подставим координаты точки $(-2, 0)$:

$0 = k \cdot (-2) + 1$

$-1 = -2k$

$k = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение прямой b имеет вид $y = \frac{1}{2}x + 1$.

Ответ: Уравнение прямой a: $y = -x$; уравнение прямой b: $y = \frac{1}{2}x + 1$.

По графику найдите приближенные значения координат точки С, проверьте точность аналитическим способом.

1. Нахождение приближенных координат по графику:

Точка C — это точка пересечения прямых a и b. Визуально по графику можно определить, что абсцисса (координата $x$) точки C находится между -1 и 0, а ордината (координата $y$) находится между 0 и 1. Приблизительные координаты точки C можно оценить как $C \approx (-0.7, 0.7)$.

2. Проверка точности аналитическим способом:

Для нахождения точных координат точки C необходимо решить систему из уравнений прямых a и b:

$\begin{cases} y = -x \\ y = \frac{1}{2}x + 1 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые равны:

$-x = \frac{1}{2}x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$-x - \frac{1}{2}x = 1$

$-\frac{3}{2}x = 1$

Находим $x$:

$x = 1 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3}$

Теперь находим $y$, подставив значение $x$ в первое, более простое, уравнение $y = -x$:

$y = -(-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$

Точные координаты точки C — $(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$. В десятичных дробях это приблизительно $(-0.67, 0.67)$, что подтверждает, что наша визуальная оценка была верной.

Ответ: Приближенные координаты по графику $C \approx (-0.7, 0.7)$. Точные координаты, найденные аналитически: $C(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$.