Номер 3.85, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.85. Напишите число $m^{10} (m \neq 0)$ в виде степени с основанием:

1) $m^2$;

2) $m^{-5}$;

3) $\frac{1}{m^2}$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$. Согласно этому свойству, при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются. Нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы, возведя в него новое основание, мы получили исходное число $m^{10}$.

1) $m^2$;
Требуется представить число $m^{10}$ в виде степени с основанием $m^2$. Обозначим искомый показатель степени через $x$. Тогда можно составить уравнение: $(m^2)^x = m^{10}$.
Используя свойство возведения степени в степень, преобразуем левую часть: $m^{2 \cdot x} = m^{10}$.
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $2x = 10$.
Решая уравнение, находим $x$: $x = \frac{10}{2} = 5$.
Таким образом, $m^{10} = (m^2)^5$.
Ответ: $(m^2)^5$.

2) $m^{-5}$;
Требуется представить $m^{10}$ в виде степени с основанием $m^{-5}$. Пусть искомый показатель степени равен $x$. Составим уравнение: $(m^{-5})^x = m^{10}$.
Преобразуем левую часть по свойству степеней: $m^{-5 \cdot x} = m^{10}$.
Приравниваем показатели: $-5x = 10$.
Находим $x$: $x = \frac{10}{-5} = -2$.
Следовательно, $m^{10} = (m^{-5})^{-2}$.
Ответ: $(m^{-5})^{-2}$.

3) $\frac{1}{m^2}$
Требуется представить $m^{10}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{m^2}$. Сначала преобразуем основание, используя свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$\frac{1}{m^2} = m^{-2}$.
Теперь задача сводится к тому, чтобы представить $m^{10}$ в виде степени с основанием $m^{-2}$. Пусть искомый показатель равен $x$. $(m^{-2})^x = m^{10}$.
Преобразуем левую часть: $m^{-2 \cdot x} = m^{10}$.
Приравниваем показатели: $-2x = 10$.
Находим $x$: $x = \frac{10}{-2} = -5$.
Значит, $m^{10} = (m^{-2})^{-5}$, что равносильно исходному основанию: $m^{10} = \left(\frac{1}{m^2}\right)^{-5}$.
Ответ: $\left(\frac{1}{m^2}\right)^{-5}$.