Страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.83. Напишите уравнения отрезка MN и луча a, изображенных на рис. 3.23.

Уравнение отрезка MN

$y = x + 1, \text{ при } -1 \le x \le 1$

Уравнение луча a

$y = \frac{1}{2}x - 1, \text{ при } x \ge 0$

Рис. 3.23

Отрезок MN

1. Чтобы найти уравнение отрезка MN, сначала найдем уравнение прямой, на которой он лежит. Для этого определим по рисунку координаты его концов: точки M и N.
Координаты точки M: $(1; 2)$.
Координаты точки N: $(-1; 0)$.

2. Составим уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, по формуле:
$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
Подставим координаты точек N и M в формулу:
$\frac{y - 0}{2 - 0} = \frac{x - (-1)}{1 - (-1)}$
$\frac{y}{2} = \frac{x + 1}{2}$
Умножив обе части уравнения на 2, получим уравнение прямой:
$y = x + 1$

3. Отрезок MN — это часть прямой, ограниченная точками M и N. Абсциссы (координаты x) всех точек этого отрезка находятся в промежутке от -1 до 1 включительно. Поэтому для полного описания отрезка необходимо добавить это ограничение.

Ответ: $y = x + 1$, при $-1 \le x \le 1$.

Луч a

1. Чтобы найти уравнение луча 'a', сначала найдем уравнение прямой, частью которой он является. Для этого определим по рисунку координаты начальной точки луча и любой другой точки на нем.
Начальная точка луча, точка A, имеет координаты $(0; -1)$.
Луч также проходит через точку с координатами $(2; 0)$.

2. Составим уравнение прямой, проходящей через точки A(0; -1) и (2; 0), используя ту же формулу:
$\frac{y - (-1)}{0 - (-1)} = \frac{x - 0}{2 - 0}$
$\frac{y + 1}{1} = \frac{x}{2}$
Выразим y, чтобы получить уравнение прямой в виде $y = kx + b$:
$y + 1 = \frac{1}{2}x$
$y = \frac{1}{2}x - 1$

3. Луч 'a' начинается в точке A(0; -1) и продолжается в направлении увеличения x. Это означает, что для всех точек луча абсцисса (координата x) должна быть больше или равна абсциссе начальной точки, то есть $x \ge 0$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x - 1$, при $x \ge 0$.

3.84. Сократите дробь:

1) $ \frac{(5,7 + 1,9) \cdot 1,44}{(-1,9) \cdot 0,48} $;

2) $ \frac{(9,5 - 6) \cdot 0,9}{(-0,1) \cdot 0,7} $.

1) $\frac{(5,7 + 1,9) \cdot 1,44}{(-1,9) \cdot 0,48}$

Для решения этой задачи выполним действия по порядку. Сначала вычислим сумму в скобках в числителе:

$5,7 + 1,9 = 7,6$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{7,6 \cdot 1,44}{(-1,9) \cdot 0,48}$

Далее можно заметить, что $1,44$ делится на $0,48$ без остатка:

$\frac{1,44}{0,48} = \frac{144}{48} = 3$

Сократим дробь на $0,48$:

$\frac{7,6 \cdot 3}{-1,9}$

Теперь разделим $7,6$ на $-1,9$:

$\frac{7,6}{-1,9} = -\frac{76}{19} = -4$

Наконец, умножим полученный результат на 3:

$-4 \cdot 3 = -12$

Ответ: -12

2) $\frac{(9,5 - 6) \cdot 0,9}{(-0,1) \cdot 0,7}$

Сначала выполним вычитание в скобках в числителе:

$9,5 - 6 = 3,5$

Подставим полученное значение в выражение:

$\frac{3,5 \cdot 0,9}{(-0,1) \cdot 0,7}$

Теперь можно сократить дробь, разделив $3,5$ в числителе на $0,7$ в знаменателе:

$\frac{3,5}{0,7} = \frac{35}{7} = 5$

Выражение упрощается до следующего вида:

$\frac{5 \cdot 0,9}{-0,1}$

Вычислим произведение в числителе:

$5 \cdot 0,9 = 4,5$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{4,5}{-0,1} = -45$

Ответ: -45

3.85. Напишите число $m^{10} (m \neq 0)$ в виде степени с основанием:

1) $m^2$;

2) $m^{-5}$;

3) $\frac{1}{m^2}$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$. Согласно этому свойству, при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются. Нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы, возведя в него новое основание, мы получили исходное число $m^{10}$.

1) $m^2$;
Требуется представить число $m^{10}$ в виде степени с основанием $m^2$. Обозначим искомый показатель степени через $x$. Тогда можно составить уравнение: $(m^2)^x = m^{10}$.
Используя свойство возведения степени в степень, преобразуем левую часть: $m^{2 \cdot x} = m^{10}$.
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $2x = 10$.
Решая уравнение, находим $x$: $x = \frac{10}{2} = 5$.
Таким образом, $m^{10} = (m^2)^5$.
Ответ: $(m^2)^5$.

2) $m^{-5}$;
Требуется представить $m^{10}$ в виде степени с основанием $m^{-5}$. Пусть искомый показатель степени равен $x$. Составим уравнение: $(m^{-5})^x = m^{10}$.
Преобразуем левую часть по свойству степеней: $m^{-5 \cdot x} = m^{10}$.
Приравниваем показатели: $-5x = 10$.
Находим $x$: $x = \frac{10}{-5} = -2$.
Следовательно, $m^{10} = (m^{-5})^{-2}$.
Ответ: $(m^{-5})^{-2}$.

3) $\frac{1}{m^2}$
Требуется представить $m^{10}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{m^2}$. Сначала преобразуем основание, используя свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$\frac{1}{m^2} = m^{-2}$.
Теперь задача сводится к тому, чтобы представить $m^{10}$ в виде степени с основанием $m^{-2}$. Пусть искомый показатель равен $x$. $(m^{-2})^x = m^{10}$.
Преобразуем левую часть: $m^{-2 \cdot x} = m^{10}$.
Приравниваем показатели: $-2x = 10$.
Находим $x$: $x = \frac{10}{-2} = -5$.
Значит, $m^{10} = (m^{-2})^{-5}$, что равносильно исходному основанию: $m^{10} = \left(\frac{1}{m^2}\right)^{-5}$.
Ответ: $\left(\frac{1}{m^2}\right)^{-5}$.

3.86. Напишите многочлен в стандартном виде:

1) $(1 + 3a) + (a^2 - 2a) - (2a^2 - a);$

2) $(5x - 12x^2) + (x + 11x^2) - (x^2 - 1).$

1)

Чтобы записать многочлен $ (1 + 3a) + (a^2 - 2a) - (2a^2 - a) $ в стандартном виде, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых внутри скобок сохраняются. Если стоит знак «-», знаки слагаемых меняются на противоположные.

$ (1 + 3a) + (a^2 - 2a) - (2a^2 - a) = 1 + 3a + a^2 - 2a - 2a^2 + a $

Теперь сгруппируем подобные слагаемые (члены с одинаковой степенью переменной $a$):

$ (a^2 - 2a^2) + (3a - 2a + a) + 1 $

Выполним действия в каждой группе:

$ a^2 - 2a^2 = -a^2 $

$ 3a - 2a + a = (3 - 2 + 1)a = 2a $

Соберем все вместе и запишем многочлен в стандартном виде, располагая члены в порядке убывания их степеней:

$ -a^2 + 2a + 1 $

Ответ: $ -a^2 + 2a + 1 $

2)

Чтобы записать многочлен $ (5x - 12x^2) + (x + 11x^2) - (x^2 - 1) $ в стандартном виде, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Раскрываем скобки, учитывая знаки перед ними:

$ (5x - 12x^2) + (x + 11x^2) - (x^2 - 1) = 5x - 12x^2 + x + 11x^2 - x^2 + 1 $

Сгруппируем подобные слагаемые (члены с $x^2$, члены с $x$ и свободные члены):

$ (-12x^2 + 11x^2 - x^2) + (5x + x) + 1 $

Выполним действия в каждой группе:

$ -12x^2 + 11x^2 - x^2 = (-12 + 11 - 1)x^2 = -2x^2 $

$ 5x + x = (5 + 1)x = 6x $

Собираем все вместе и записываем многочлен в стандартном виде, то есть в порядке убывания степеней переменной $x$:

$ -2x^2 + 6x + 1 $

Ответ: $ -2x^2 + 6x + 1 $