Страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. При каких условиях графики двух линейных функций: а) пересекаются; б) параллельны; в) перпендикулярны? Приведите пример.

2. Как могут располагаться относительно друг друга две прямые, заданные линейными функциями, с равными свободными членами? Найдите координаты точки пересечения этих прямых, если $b$ – общий свободный член.

Через водителя автобуса, который отправился из Тараза в Алматы, было передано заказное письмо. В силу срочной необходимости отправленного документа через час после отправления автобуса к нему навстречу из Алматы выехал легковой автомобиль, и спустя 3 ч они встретились. Расстояние между городами Алматы и Тараз равно 500 км, средняя скорость автобуса – $x$ км/ч, средняя скорость легкового автомобиля – $y$ км/ч.

1) Запишите зависимость между $x$ и $y$ с помощью уравнения.

2) Каким должно быть значение $y$, если $x = 70$ км/ч?

3) Чему равно наименьшее возможное время встречи автобуса и легкового автомобиля, если вдоль автобана имеется ограничение скорости 90 км/ч?

4) Могли бы они встретиться через 3 ч после выезда легкового автомобиля из Алматы, если средняя скорость автобуса равна 60 км/ч?

Помните! По правилу дорожного движения нельзя превышать скорость движения выше указанного ограничения скорости.

1) Запишите зависимость между x и y с помощью уравнения
Пусть $x$ — средняя скорость автобуса в км/ч, а $y$ — средняя скорость легкового автомобиля в км/ч. Автобус выехал из Тараза в Алматы. Через 1 час после него из Алматы навстречу выехал легковой автомобиль. Они встретились через 3 часа после выезда автомобиля. Это означает, что легковой автомобиль был в пути 3 часа, а автобус был в пути на 1 час дольше, то есть $1 + 3 = 4$ часа. За 4 часа автобус проехал расстояние $S_{автобуса} = 4x$ км. За 3 часа легковой автомобиль проехал расстояние $S_{автомобиля} = 3y$ км. Поскольку они двигались навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 500 км, то к моменту встречи сумма пройденных ими расстояний будет равна 500 км. $S_{автобуса} + S_{автомобиля} = 500$ Получаем уравнение, связывающее $x$ и $y$: $4x + 3y = 500$.
Ответ: $4x + 3y = 500$.

2) Каким должно быть значение y, если x = 70 км/ч?
Используем уравнение, полученное в пункте 1: $4x + 3y = 500$. Подставим в него известное значение скорости автобуса $x = 70$ км/ч: $4 \cdot 70 + 3y = 500$ $280 + 3y = 500$ $3y = 500 - 280$ $3y = 220$ $y = \frac{220}{3}$ $y = 73\frac{1}{3}$ км/ч.
Ответ: Значение $y$ должно быть $73\frac{1}{3}$ км/ч.

3) Чему равно наименьшее возможное время встречи автобуса и легкового автомобиля, если вдоль автобана имеется ограничение скорости 90 км/ч?
Пусть $t$ — время в часах, прошедшее с момента выезда легкового автомобиля до встречи. Тогда автобус будет в пути $(t+1)$ час. Сумма расстояний, пройденных автобусом и автомобилем, равна 500 км: $x(t+1) + yt = 500$ Чтобы время встречи $t$ было наименьшим, скорости автобуса $x$ и автомобиля $y$ должны быть максимально возможными. Согласно ограничению, $x \le 90$ км/ч и $y \le 90$ км/ч. Следовательно, для нахождения минимального времени $t_{min}$ примем $x = 90$ км/ч и $y = 90$ км/ч. Подставим эти значения в уравнение: $90(t+1) + 90t = 500$ $90t + 90 + 90t = 500$ $180t = 500 - 90$ $180t = 410$ $t = \frac{410}{180} = \frac{41}{18}$ $t = 2\frac{5}{18}$ часа. Переведем дробную часть в минуты: $\frac{5}{18} \cdot 60 = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$ минуты.
Ответ: Наименьшее возможное время встречи (с момента выезда автомобиля) равно $2\frac{5}{18}$ часа, или примерно 2 часа 17 минут.

4) Могли бы они встретиться через 3 ч после выезда легкового автомобиля из Алматы, если средняя скорость автобуса равна 60 км/ч?
Используем уравнение зависимости скоростей из пункта 1: $4x + 3y = 500$. Нам даны условия: время встречи 3 часа после выезда автомобиля (это условие уже заложено в уравнении) и скорость автобуса $x = 60$ км/ч. Подставим значение $x$ в уравнение, чтобы найти требуемую скорость легкового автомобиля $y$: $4 \cdot 60 + 3y = 500$ $240 + 3y = 500$ $3y = 500 - 240$ $3y = 260$ $y = \frac{260}{3} = 86\frac{2}{3}$ км/ч. Теперь проверим, соответствует ли эта скорость правилам дорожного движения. Ограничение скорости на автобане — 90 км/ч. Поскольку $86\frac{2}{3} < 90$, требуемая скорость автомобиля не превышает разрешенную. Следовательно, такая встреча возможна.
Ответ: Да, могли бы, так как для этого скорость легкового автомобиля должна быть $86\frac{2}{3}$ км/ч, что не превышает ограничение в 90 км/ч.