Номер 3.63, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.63. Напишите линейную функцию, график которой проходит через две заданные точки $M_1 (x_1; y_1)$ и $M_2 (x_2; y_2)$. Используя найденную формулу, напишите линейную функцию, проходящую через точки:

1) $A (2; 0)$ и $B (0; 3);$

2) $P (-1; -4)$ и $Q (2; 2).$

Общий вид линейной функции — $y = kx + b$. Чтобы найти уравнение функции, график которой проходит через две заданные точки $M_1(x_1; y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$, необходимо найти значения коэффициентов $k$ (угловой коэффициент) и $b$ (свободный член).

Для этого можно использовать общую формулу уравнения прямой, проходящей через две точки:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Из этой формулы можно выразить $y$ через $x$. Однако более практичным является пошаговый метод нахождения коэффициентов $k$ и $b$, который мы и применим.
1. Сначала находим угловой коэффициент $k$ по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
2. Затем подставляем найденное значение $k$ в уравнение функции $y = kx + b$.
3. Наконец, подставляем координаты одной из заданных точек (например, $M_1(x_1, y_1)$) в полученное уравнение и вычисляем $b$: $y_1 = kx_1 + b \Rightarrow b = y_1 - kx_1$.

1) A (2; 0) и B (0; 3)

Найдем уравнение линейной функции, проходящей через точки $A(2; 0)$ и $B(0; 3)$.
В данном случае имеем: $x_1 = 2, y_1 = 0$ и $x_2 = 0, y_2 = 3$.
Сначала вычислим угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{0 - 2} = \frac{3}{-2} = -1.5$
Теперь уравнение функции принимает вид $y = -1.5x + b$.
Для нахождения $b$ подставим в это уравнение координаты точки $B(0; 3)$ (вычисления с нулем проще):
$3 = -1.5 \cdot 0 + b$
$b = 3$
Таким образом, искомая линейная функция: $y = -1.5x + 3$.

Ответ: $y = -1.5x + 3$

2) P (-1; -4) и Q (2; 2)

Найдем уравнение линейной функции, проходящей через точки $P(-1; -4)$ и $Q(2; 2)$.
Здесь $x_1 = -1, y_1 = -4$ и $x_2 = 2, y_2 = 2$.
Вычислим угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-4)}{2 - (-1)} = \frac{2 + 4}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2$
Уравнение функции принимает вид $y = 2x + b$.
Для нахождения $b$ подставим в это уравнение координаты точки $Q(2; 2)$:
$2 = 2 \cdot 2 + b$
$2 = 4 + b$
$b = 2 - 4 = -2$
Таким образом, искомая линейная функция: $y = 2x - 2$.

Ответ: $y = 2x - 2$