Номер 3.62, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.62. Линейная функция $y = kx + b$ задана таблицей:

1)

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2

y | | | 4 | | 3

2)

x | -2,5 | -1 | 0 | 1 | 2

y | -4,25 | | | -2,5 |

1)

Решение для первой таблицы.

1) Определите по таблице значения k и b и запишите линейную функцию формулой;

Линейная функция имеет вид $y = kx + b$. Для нахождения коэффициентов $k$ и $b$ воспользуемся двумя известными точками из первой таблицы: $(0, 4)$ и $(2, 3)$.
Подставим координаты точки $(0, 4)$ в уравнение функции:
$4 = k \cdot 0 + b$
Отсюда сразу находим, что $b = 4$.
Теперь подставим координаты точки $(2, 3)$ и найденное значение $b = 4$ в уравнение функции:
$3 = k \cdot 2 + 4$
$2k = 3 - 4$
$2k = -1$
$k = -0.5$
Следовательно, линейная функция задается формулой $y = -0.5x + 4$.
Ответ: $k = -0.5$, $b = 4$; формула функции: $y = -0.5x + 4$.

2) заполните пустующие клетки;

Используя полученную формулу $y = -0.5x + 4$, найдем недостающие значения $y$ для первой таблицы.
При $x = -2$: $y = -0.5(-2) + 4 = 1 + 4 = 5$.
При $x = -1$: $y = -0.5(-1) + 4 = 0.5 + 4 = 4.5$.
При $x = 1$: $y = -0.5(1) + 4 = -0.5 + 4 = 3.5$.

Заполненная таблица:

Ответ: При $x = -2, y = 5$; при $x = -1, y = 4.5$; при $x = 1, y = 3.5$.

3) найдите точки пересечения прямой с осями координат и постройте график этой линейной функции;

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy) подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = -0.5(0) + 4 = 4$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.
Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (Ox) подставим $y = 0$ в уравнение функции:
$0 = -0.5x + 4$
$0.5x = 4$
$x = 8$. Точка пересечения с осью Ox: $(8, 0)$.
График функции – это прямая, которую можно построить, проведя линию через точки $(0, 4)$ и $(8, 0)$.
Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$, точка пересечения с осью Ox: $(8, 0)$.

4) найдите площадь треугольника, отсекаемого графиком линейной функции от координатного угла.

График функции $y = -0.5x + 4$ образует с осями координат прямоугольный треугольник. Вершины этого треугольника находятся в точках $(0, 0)$, $(8, 0)$ и $(0, 4)$.
Длины катетов этого треугольника равны модулям координат точек пересечения с осями: катет по оси Ox равен $|8| = 8$, катет по оси Oy равен $|4| = 4$.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ - длины катетов.
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$ (квадратных единиц).
Ответ: Площадь треугольника равна 16.

2)

Решение для второй таблицы.

1) Определите по таблице значения k и b и запишите линейную функцию формулой;

Для второй таблицы используем точки $(-2.5, -4.25)$ и $(1, -2.5)$.
Составим систему уравнений на основе общей формулы $y=kx+b$:
$\begin{cases} -4.25 = -2.5k + b \\ -2.5 = 1 \cdot k + b \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $b$: $b = -2.5 - k$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$-4.25 = -2.5k + (-2.5 - k)$
$-4.25 = -3.5k - 2.5$
$-4.25 + 2.5 = -3.5k$
$-1.75 = -3.5k$
$k = \frac{-1.75}{-3.5} = 0.5$
Теперь найдем $b$:
$b = -2.5 - 0.5 = -3$.
Следовательно, линейная функция задается формулой $y = 0.5x - 3$.
Ответ: $k = 0.5$, $b = -3$; формула функции: $y = 0.5x - 3$.

2) заполните пустующие клетки;

Используя полученную формулу $y = 0.5x - 3$, найдем недостающие значения $y$ для второй таблицы.
При $x = -1$: $y = 0.5(-1) - 3 = -0.5 - 3 = -3.5$.
При $x = 0$: $y = 0.5(0) - 3 = -3$.
При $x = 2$: $y = 0.5(2) - 3 = 1 - 3 = -2$.

Заполненная таблица:

Ответ: При $x = -1, y = -3.5$; при $x = 0, y = -3$; при $x = 2, y = -2$.

3) найдите точки пересечения прямой с осями координат и постройте график этой линейной функции;

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy) подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 0.5(0) - 3 = -3$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.
Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (Ox) подставим $y = 0$ в уравнение функции:
$0 = 0.5x - 3$
$0.5x = 3$
$x = 6$. Точка пересечения с осью Ox: $(6, 0)$.
График функции – это прямая, которую можно построить, проведя линию через точки $(0, -3)$ и $(6, 0)$.
Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$, точка пересечения с осью Ox: $(6, 0)$.

4) найдите площадь треугольника, отсекаемого графиком линейной функции от координатного угла.

График функции $y = 0.5x - 3$ образует с осями координат прямоугольный треугольник. Вершины этого треугольника находятся в точках $(0, 0)$, $(6, 0)$ и $(0, -3)$.
Длины катетов этого треугольника равны модулям координат точек пересечения с осями: катет по оси Ox равен $|6| = 6$, катет по оси Oy равен $|-3| = 3$.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$ (квадратных единиц).
Ответ: Площадь треугольника равна 9.