Номер 3.57, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.57. Для линейной функции $f(x) = kx - 3$ найдите значение $k$ такое, чтобы:

1) $f(2) = 1$;

2) $f(-\frac{1}{2}) = -3,3$;

3) $f(2) = -6$.

Пересекаются ли эти три прямые? Если да, то найдите координаты точки их пересечения.

Дана линейная функция $f(x) = kx - 3$. Чтобы найти значение коэффициента $k$ для каждого случая, нужно подставить в уравнение функции координаты заданной точки $(x, f(x))$ и решить полученное уравнение относительно $k$.

1) По условию $f(2) = 1$. Это означает, что при $x = 2$ значение функции $f(x)$ равно 1. Подставим эти значения в уравнение функции:
$1 = k \cdot 2 - 3$
$2k = 1 + 3$
$2k = 4$
$k = \frac{4}{2} = 2$
Таким образом, первая функция имеет вид $f(x) = 2x - 3$.
Ответ: $k = 2$.

2) По условию $f(-\frac{1}{2}) = -3,3$. Подставим $x = -\frac{1}{2}$ и $f(x) = -3,3$ в уравнение функции:
$-3,3 = k \cdot (-\frac{1}{2}) - 3$
$-3,3 + 3 = -\frac{1}{2}k$
$-0,3 = -\frac{1}{2}k$
$k = -0,3 \cdot (-2) = 0,6$
Таким образом, вторая функция имеет вид $f(x) = 0,6x - 3$.
Ответ: $k = 0,6$.

3) По условию $f(2) = -6$. Подставим $x = 2$ и $f(x) = -6$ в уравнение функции:
$-6 = k \cdot 2 - 3$
$2k = -6 + 3$
$2k = -3$
$k = -\frac{3}{2} = -1,5$
Таким образом, третья функция имеет вид $f(x) = -1,5x - 3$.
Ответ: $k = -1,5$.

Теперь ответим на вопрос, пересекаются ли эти три прямые. Мы получили уравнения трех прямых:
1) $y = 2x - 3$
2) $y = 0,6x - 3$
3) $y = -1,5x - 3$
Все эти функции имеют вид $y = kx - 3$. Это означает, что у всех трех прямых одинаковый свободный член, равный -3. Свободный член в уравнении прямой $y = kx + b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $OY$. Следовательно, все три прямые пересекают ось $OY$ в одной и той же точке. Найдем координаты этой точки, подставив $x = 0$ в уравнение любой из функций:
$y = k \cdot 0 - 3 = -3$
Таким образом, все три прямые проходят через точку с координатами $(0, -3)$. Эта точка и является точкой их пересечения.
Ответ: Да, эти три прямые пересекаются. Координаты точки их пересечения — $(0, -3)$.