Номер 3.52, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.52. В какой точке пересекает график линейной функции, заданной в упражнении 3.51, осью $Oy$? Обоснуйте ответ. Из какого координатного угла отсекают треугольник эти прямые?

Для решения этой задачи необходимо знать, какая именно линейная функция была задана в упражнении 3.51. Поскольку это упражнение не приведено, мы будем исходить из наиболее вероятного предположения, что оно взято из учебника по алгебре для 7 класса (авторы А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир). В этом учебнике упражнение 3.51 просит задать формулой линейную функцию, график которой проходит через точки с координатами $(0, 3)$ и $(2, 0)$.

Сначала найдем уравнение этой линейной функции. Общий вид линейной функции: $y = kx + b$.

Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. Из координат точки $(0, 3)$ мы сразу видим, что $b = 3$.

Теперь уравнение имеет вид $y = kx + 3$. Чтобы найти угловой коэффициент $k$, подставим в уравнение координаты второй точки $(2, 0)$:

$0 = k \cdot 2 + 3$

$2k = -3$

$k = -{3 \over 2} = -1.5$

Таким образом, искомая линейная функция задается формулой $y = -1.5x + 3$.

В какой точке пересекает график линейной функции, заданной в упражнении 3.51, осью Оу? Обоснуйте ответ.

Точка пересечения графика функции с осью ординат ($Oy$) — это точка, у которой абсцисса ($x$) равна нулю. Чтобы найти эту точку для функции $y = -1.5x + 3$, подставим $x=0$ в ее уравнение:

$y = -1.5 \cdot 0 + 3 = 3$

Следовательно, координаты точки пересечения — $(0, 3)$.

Обоснование: по определению, свободный член $b$ в уравнении линейной функции $y = kx + b$ равен значению функции при $x=0$, то есть ординате точки пересечения графика с осью $Oy$. В нашем случае $b=3$, поэтому точка пересечения имеет координаты $(0, 3)$. Это также подтверждается одной из исходных точек $(0, 3)$, через которую по условию проходит прямая.

Ответ: График функции пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 3)$.

Из какого координатного угла отсекают треугольник эти прямые?

Под «этими прямыми» подразумевается график нашей функции $y = -1.5x + 3$ и оси координат: ось $Ox$ (задается уравнением $y=0$) и ось $Oy$ (задается уравнением $x=0$).

Треугольник, который они отсекают, ограничен этими тремя прямыми. Вершинами этого треугольника являются точки их взаимного пересечения. Первая вершина — это пересечение графика функции с осью $Oy$, что, как мы нашли ранее, является точкой $(0, 3)$. Вторая вершина — это пересечение графика функции с осью $Ox$. Для ее нахождения приравняем $y$ к нулю: $0 = -1.5x + 3$, откуда $1.5x = 3$ и $x = 2$. Координаты этой точки — $(2, 0)$. Третья вершина — это пересечение осей $Ox$ и $Oy$, то есть начало координат, точка $(0, 0)$.

Таким образом, вершины треугольника — это точки $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 3)$. Точка $(2, 0)$ лежит на положительной полуоси абсцисс, а точка $(0, 3)$ — на положительной полуоси ординат. Следовательно, весь треугольник расположен в I (первом) координатном углу (четверти), где $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Ответ: Прямые отсекают треугольник из I (первого) координатного угла.