Страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.48. Заполните таблицу:

1)

Для заполнения таблицы необходимо подставить заданные значения x в формулу $y = 0,5x$ и вычислить соответствующие значения y.

• При $x = -2$: $y = 0,5 \cdot (-2) = -1$

• При $x = 0$: $y = 0,5 \cdot 0 = 0$

• При $x = 1$: $y = 0,5 \cdot 1 = 0,5$

• При $x = 3$: $y = 0,5 \cdot 3 = 1,5$

• При $x = 7$: $y = 0,5 \cdot 7 = 3,5$

Ответ:

2)

Для заполнения таблицы используем формулу $y = -2x$. В некоторых ячейках нужно найти y по известному x, а в других — найти x по известному y. Для второго случая выразим x из формулы: $x = \frac{y}{-2}$.

• Для первого столбца дано $x = 1$. Находим y: $y = -2 \cdot 1 = -2$.

• Для второго столбца дано $y = -3$. Находим x: $x = \frac{-3}{-2} = 1,5$.

• Для третьего столбца дано $x = 2$. Находим y: $y = -2 \cdot 2 = -4$.

• Для четвертого столбца дано $y = -5$. Находим x: $x = \frac{-5}{-2} = 2,5$.

• Для пятого столбца дано $x = 3$. Находим y: $y = -2 \cdot 3 = -6$.

Ответ:

3.49. Через какие координатные четверти проходит график прямой пропорциональности:

1) $y = 3x$;

2) $y = -0,3x$;

3) $y = -x$;

4) $y = 0,2x?$

График прямой пропорциональности задается уравнением вида $y = kx$. Этот график представляет собой прямую линию, которая всегда проходит через начало координат (точку с координатами $(0, 0)$). Расположение графика в координатных четвертях полностью определяется знаком коэффициента пропорциональности $k$.

• Если коэффициент $k > 0$, то значения $y$ имеют тот же знак, что и значения $x$. Это означает, что при $x > 0$ будет и $y > 0$ (I координатная четверть), а при $x < 0$ будет и $y < 0$ (III координатная четверть). Таким образом, график проходит через I и III координатные четверти.
• Если коэффициент $k < 0$, то значения $y$ имеют противоположный знак по сравнению со значениями $x$. Это означает, что при $x > 0$ будет $y < 0$ (IV координатная четверть), а при $x < 0$ будет $y > 0$ (II координатная четверть). Таким образом, график проходит через II и IV координатные четверти.

Применим это правило к каждому из заданных уравнений.

1) $y = 3x$
В данном уравнении коэффициент пропорциональности $k = 3$. Так как $k > 0$, график прямой проходит через первую и третью координатные четверти.
Ответ: I и III.

2) $y = -0,3x$
В данном уравнении коэффициент пропорциональности $k = -0,3$. Так как $k < 0$, график прямой проходит через вторую и четвертую координатные четверти.
Ответ: II и IV.

3) $y = -x$
Это уравнение можно записать как $y = -1x$. Коэффициент пропорциональности $k = -1$. Так как $k < 0$, график прямой проходит через вторую и четвертую координатные четверти.
Ответ: II и IV.

4) $y = 0,2x$
В данном уравнении коэффициент пропорциональности $k = 0,2$. Так как $k > 0$, график прямой проходит через первую и третью координатные четверти.
Ответ: I и III.

3.50. Напишите уравнение прямой пропорциональности, график которой параллелен графику линейной функции:

1) $y = -5x + 7$;
2) $y = \frac{1}{2}x - 3$;
3) $y = 3x + 5$;
4) $y = -0,5x - 4$.

Уравнение прямой пропорциональности, то есть функции, график которой является прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$.

Уравнение линейной функции в общем виде записывается как $y = kx + b$. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом, он отвечает за наклон графика функции.

Два графика линейных функций параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.

Таким образом, для нахождения уравнения искомой прямой пропорциональности, нам нужно определить угловой коэффициент $k$ для каждой из заданных линейных функций и использовать его в уравнении вида $y = kx$.

1) Дана линейная функция $y = -5x + 7$.

Угловой коэффициент этой прямой равен $k = -5$.

Прямая пропорциональность, параллельная данной прямой, должна иметь такой же угловой коэффициент.

Следовательно, её уравнение будет $y = -5x$.

Ответ: $y = -5x$.

2) Дана линейная функция $y = \frac{1}{2}x - 3$.

Угловой коэффициент этой прямой равен $k = \frac{1}{2}$.

Искомая прямая пропорциональность должна быть параллельна данной, поэтому её угловой коэффициент также равен $\frac{1}{2}$.

Уравнение искомой прямой: $y = \frac{1}{2}x$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x$.

3) Дана линейная функция $y = 3x + 5$.

Угловой коэффициент этой прямой равен $k = 3$.

Прямая пропорциональность, параллельная данной, будет иметь тот же угловой коэффициент $k = 3$.

Следовательно, её уравнение $y = 3x$.

Ответ: $y = 3x$.

4) Дана линейная функция $y = -0,5x - 4$.

Угловой коэффициент этой прямой равен $k = -0,5$.

Прямая пропорциональность, параллельная данной, будет иметь угловой коэффициент $k = -0,5$.

Таким образом, её уравнение $y = -0,5x$.

Ответ: $y = -0,5x$.

3.51. Постройте график функции:

1) $y = 2$;

2) $y = -2$;

3) $y = 0$;

4) $y = -3$.

Общая теория: функция вида $y = c$, где $c$ является постоянным числом (константой), называется постоянной функцией. Её график — это прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, c)$ на оси ординат (оси Oy).

1) $y = 2$

Данное уравнение задает функцию, у которой для любого значения аргумента $x$ значение функции $y$ всегда равно 2. Это означает, что все точки графика будут иметь ординату, равную 2.

Например, точки с координатами $(-4, 2)$, $(0, 2)$, $(3, 2)$ принадлежат этому графику. Если соединить эти точки, мы получим прямую линию.

Эта прямая будет параллельна оси абсцисс (оси Ox), так как ордината $y$ не меняется. Она будет пересекать ось ординат (ось Oy) в точке, где $y=2$, то есть в точке с координатами $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = 2$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 2)$.

2) $y = -2$

Это также постоянная функция. Для любого значения $x$ значение $y$ всегда будет равно -2. Все точки графика имеют ординату -2.

Примеры точек на графике: $(-1, -2)$, $(0, -2)$, $(5, -2)$.

Графиком является прямая, параллельная оси Ox. Она пересекает ось Oy в точке, где $y=-2$, то есть в точке с координатами $(0, -2)$. Эта прямая расположена ниже оси абсцисс.

Ответ: График функции $y = -2$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, -2)$.

3) $y = 0$

В этом случае постоянная равна нулю. Для любого значения $x$ значение $y$ всегда равно 0. Это означает, что все точки графика лежат на оси абсцисс.

Например, точки $(-3, 0)$, $(0, 0)$, $(5, 0)$ принадлежат графику. Множество всех точек, у которых ордината равна нулю, и есть ось абсцисс.

Таким образом, график функции $y = 0$ полностью совпадает с осью Ox.

Ответ: График функции $y = 0$ — это ось абсцисс (ось Ox).

4) $y = -3$

Это постоянная функция, где для любого значения $x$ значение $y$ всегда равно -3. Все точки графика имеют ординату -3.

Примеры точек на графике: $(-2, -3)$, $(0, -3)$, $(1, -3)$.

Графиком является прямая, параллельная оси Ox. Она пересекает ось Oy в точке с координатами $(0, -3)$. Эта прямая расположена ниже оси абсцисс, на 3 единицы ниже.

Ответ: График функции $y = -3$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, -3)$.

3.52. В какой точке пересекает график линейной функции, заданной в упражнении 3.51, осью $Oy$? Обоснуйте ответ. Из какого координатного угла отсекают треугольник эти прямые?

Для решения этой задачи необходимо знать, какая именно линейная функция была задана в упражнении 3.51. Поскольку это упражнение не приведено, мы будем исходить из наиболее вероятного предположения, что оно взято из учебника по алгебре для 7 класса (авторы А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир). В этом учебнике упражнение 3.51 просит задать формулой линейную функцию, график которой проходит через точки с координатами $(0, 3)$ и $(2, 0)$.

Сначала найдем уравнение этой линейной функции. Общий вид линейной функции: $y = kx + b$.

Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. Из координат точки $(0, 3)$ мы сразу видим, что $b = 3$.

Теперь уравнение имеет вид $y = kx + 3$. Чтобы найти угловой коэффициент $k$, подставим в уравнение координаты второй точки $(2, 0)$:

$0 = k \cdot 2 + 3$

$2k = -3$

$k = -{3 \over 2} = -1.5$

Таким образом, искомая линейная функция задается формулой $y = -1.5x + 3$.

В какой точке пересекает график линейной функции, заданной в упражнении 3.51, осью Оу? Обоснуйте ответ.

Точка пересечения графика функции с осью ординат ($Oy$) — это точка, у которой абсцисса ($x$) равна нулю. Чтобы найти эту точку для функции $y = -1.5x + 3$, подставим $x=0$ в ее уравнение:

$y = -1.5 \cdot 0 + 3 = 3$

Следовательно, координаты точки пересечения — $(0, 3)$.

Обоснование: по определению, свободный член $b$ в уравнении линейной функции $y = kx + b$ равен значению функции при $x=0$, то есть ординате точки пересечения графика с осью $Oy$. В нашем случае $b=3$, поэтому точка пересечения имеет координаты $(0, 3)$. Это также подтверждается одной из исходных точек $(0, 3)$, через которую по условию проходит прямая.

Ответ: График функции пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 3)$.

Из какого координатного угла отсекают треугольник эти прямые?

Под «этими прямыми» подразумевается график нашей функции $y = -1.5x + 3$ и оси координат: ось $Ox$ (задается уравнением $y=0$) и ось $Oy$ (задается уравнением $x=0$).

Треугольник, который они отсекают, ограничен этими тремя прямыми. Вершинами этого треугольника являются точки их взаимного пересечения. Первая вершина — это пересечение графика функции с осью $Oy$, что, как мы нашли ранее, является точкой $(0, 3)$. Вторая вершина — это пересечение графика функции с осью $Ox$. Для ее нахождения приравняем $y$ к нулю: $0 = -1.5x + 3$, откуда $1.5x = 3$ и $x = 2$. Координаты этой точки — $(2, 0)$. Третья вершина — это пересечение осей $Ox$ и $Oy$, то есть начало координат, точка $(0, 0)$.

Таким образом, вершины треугольника — это точки $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 3)$. Точка $(2, 0)$ лежит на положительной полуоси абсцисс, а точка $(0, 3)$ — на положительной полуоси ординат. Следовательно, весь треугольник расположен в I (первом) координатном углу (четверти), где $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Ответ: Прямые отсекают треугольник из I (первого) координатного угла.

3.53. Какая из точек A (8; 0), B (–2; 3), C (–2; 5) и D(2; 5) лежит на графике функции $y = -0.5x + 4$? Постройте график этой линейной функции.

Определение принадлежности точек графику функции

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить её координаты $(x; y)$ в уравнение функции $y = -0,5x + 4$. Если в результате вычислений получается верное равенство, то точка принадлежит графику.

• Проверка точки A (8; 0):

  Подставляем $x=8$ и $y=0$:

  $0 = -0,5 \cdot 8 + 4$

  $0 = -4 + 4$

  $0 = 0$

  Равенство верное, следовательно, точка A принадлежит графику функции.

• Проверка точки B (–2; 3):

  Подставляем $x=-2$ и $y=3$:

  $3 = -0,5 \cdot (-2) + 4$

  $3 = 1 + 4$

  $3 = 5$

  Равенство неверное, следовательно, точка B не принадлежит графику функции.

• Проверка точки C (–2; 5):

  Подставляем $x=-2$ и $y=5$:

  $5 = -0,5 \cdot (-2) + 4$

  $5 = 1 + 4$

  $5 = 5$

  Равенство верное, следовательно, точка C принадлежит графику функции.

• Проверка точки D (2; 5):

  Подставляем $x=2$ и $y=5$:

  $5 = -0,5 \cdot 2 + 4$

  $5 = -1 + 4$

  $5 = 3$

  Равенство неверное, следовательно, точка D не принадлежит графику функции.

Ответ: На графике функции $y = -0,5x + 4$ лежат точки A (8; 0) и C (–2; 5).

Построение графика линейной функции

Функция $y = -0,5x + 4$ — линейная, её график представляет собой прямую. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек, через которые она проходит.

Из первой части задания мы уже нашли две точки, принадлежащие графику: A (8; 0) и C (–2; 5). Мы можем использовать их для построения.

Также стандартным методом является нахождение точек пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью ординат (осью Oy): в этой точке абсцисса $x=0$.

  $y = -0,5 \cdot 0 + 4 = 4$.

  Координаты точки пересечения с осью Oy: (0; 4).

• Пересечение с осью абсцисс (осью Ox): в этой точке ордината $y=0$.

  $0 = -0,5x + 4$

  $0,5x = 4$

  $x = 4 / 0,5$

  $x = 8$

  Координаты точки пересечения с осью Ox: (8; 0).

Для построения графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить прямоугольную систему координат OXY.

2. Отметить на ней две найденные точки, например, (0; 4) и (8; 0).

3. Провести через эти две точки прямую линию.

Полученная прямая является графиком функции $y = -0,5x + 4$.

Ответ: Для построения графика функции $y = -0,5x + 4$ необходимо на координатной плоскости отметить две точки, координаты которых удовлетворяют данному уравнению (например, (0; 4) и (8; 0)), и провести через них прямую.

3.54. В каждом из рис. 3.14 найдите угловой коэффициент и запишите уравнение соответствующей прямой пропорциональности.

а) Угловой коэффициент: $k = \frac{2}{3}$

Уравнение: $y = \frac{2}{3}x$

б) Угловой коэффициент: $k = -\frac{1}{2}$

Уравнение: $y = -\frac{1}{2}x$

в) Угловой коэффициент: $k = 3$

Уравнение: $y = 3x$

Рис. 3.14

а) Уравнение прямой пропорциональности имеет вид $y=kx$, где $k$ — угловой коэффициент. График этой функции всегда проходит через начало координат, точку $(0;0)$. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике еще одну точку, через которую проходит прямая. Из рисунка видно, что прямая проходит через точку с координатами $(3; 2)$.
Угловой коэффициент $k$ можно найти по формуле $k = \frac{y}{x}$. Подставим координаты точки $(3; 2)$:
$k = \frac{2}{3}$
Следовательно, уравнение прямой пропорциональности имеет вид $y = \frac{2}{3}x$.
Ответ: угловой коэффициент $k=\frac{2}{3}$, уравнение прямой $y=\frac{2}{3}x$.

б) Уравнение прямой пропорциональности имеет вид $y=kx$. График проходит через начало координат $(0;0)$. Найдем на графике еще одну точку, принадлежащую прямой. Из рисунка видно, что прямая проходит через точку с координатами $(2; -1)$.
Найдем угловой коэффициент $k$ по формуле $k = \frac{y}{x}$. Подставим координаты точки $(2; -1)$:
$k = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$
Следовательно, уравнение прямой пропорциональности имеет вид $y = -\frac{1}{2}x$.
Ответ: угловой коэффициент $k=-\frac{1}{2}$, уравнение прямой $y=-\frac{1}{2}x$.

в) Уравнение прямой пропорциональности имеет вид $y=kx$. График проходит через начало координат $(0;0)$. Найдем на графике еще одну точку, принадлежащую прямой. Из рисунка видно, что прямая проходит через точку с координатами $(1; 3)$.
Найдем угловой коэффициент $k$ по формуле $k = \frac{y}{x}$. Подставим координаты точки $(1; 3)$:
$k = \frac{3}{1} = 3$
Следовательно, уравнение прямой пропорциональности имеет вид $y = 3x$.
Ответ: угловой коэффициент $k=3$, уравнение прямой $y=3x$.