Страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что называется функцией прямой пропорциональности и какой формулой она задается? Приведите пример.

2. Что такое угловой коэффициент? Как влияет его знак на расположение графика прямой пропорциональности? Приведите пример.

3. Что называется линейной функцией? Какая линия является ее графиком?

4. Чему равен свободный член соответствующей линейной функции, если прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 3)$? Приведите пример.

5. Из каких координатных углов отсекает треугольник в зависимости от знака углового коэффициента и свободного члена графика линейной функции? Приведите пример.

6. В чем отличие уравнения прямой пропорциональности от линейной функции?

Найдите высоту школьного здания. Для этого найдите ответы на следующие вопросы:

1) Являются ли пропорциональными длина тела и длина его тени? Если да, то в $12^{00}$ ч дня найдите коэффициент пропорциональности между высотой тела и его тенью. Обоснуйте ответ.

2) Найдите длину тени здания школы.

3) Умножьте результат на коэффициент пропорциональности. Результат умножения даст приближенное значение высоты здания школы.

4) Этим способом можно определить высоту любого высокого объекта (столба, дерева и т.д.) Здесь, чтобы определить коэффициент пропорциональности, можно использовать шест длиной $1 \text{ м}$, $2 \text{ м}$. Обоснуйте алгоритм определения высоты объекта.

1. Что называется функцией прямой пропорциональности и какой формулой она задается? Приведите пример.

Функцией прямой пропорциональности называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx$, где $x$ – независимая переменная (аргумент), $y$ – зависимая переменная, а $k$ – постоянное, не равное нулю число, которое называется коэффициентом пропорциональности. Эта зависимость означает, что при изменении одной величины ($x$) в несколько раз, другая величина ($y$) изменяется во столько же раз.
Пример: Зависимость стоимости товара от его количества. Если цена одного килограмма яблок составляет 100 рублей, то стоимость $y$ (в рублях) $x$ килограммов яблок выражается формулой $y = 100x$. Здесь $k=100$. Если купить 2 кг, стоимость будет 200 руб., если купить 3 кг - 300 руб. Отношение стоимости к количеству всегда постоянно и равно 100.
Ответ: Функция прямой пропорциональности — это функция, задаваемая формулой $y=kx$, где $k \neq 0$. Пример: зависимость пройденного пути $S$ от времени $t$ при постоянной скорости $v$, $S=vt$.

2. Что такое угловой коэффициент? Как влияет его знак на расположение графика прямой пропорциональности? Приведите пример.

Угловой коэффициент в уравнении прямой пропорциональности $y = kx$ (а также в уравнении линейной функции $y = kx + b$) — это коэффициент $k$. Он показывает тангенс угла наклона прямой (графика функции) к положительному направлению оси абсцисс (оси Ox).
Знак углового коэффициента $k$ влияет на расположение графика следующим образом:
- Если $k > 0$, то график функции расположен в I и III координатных четвертях. Угол наклона прямой к оси Ox острый, функция является возрастающей.
- Если $k < 0$, то график функции расположен во II и IV координатных четвертях. Угол наклона прямой к оси Ox тупой, функция является убывающей.
Пример:
1) $y = 2x$. Здесь $k=2 > 0$. График — прямая, проходящая через начало координат и, например, точку (1; 2), расположен в I и III четвертях.
2) $y = -0.5x$. Здесь $k=-0.5 < 0$. График — прямая, проходящая через начало координат и, например, точку (2; -1), расположен во II и IV четвертях.
Ответ: Угловой коэффициент $k$ в уравнении $y=kx$ определяет угол наклона графика к оси Ox. Если $k > 0$, график лежит в I и III четвертях; если $k < 0$, то во II и IV четвертях.

3. Что называется линейной функцией? Какая линия является ее графиком?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).
Графиком линейной функции является прямая линия.
Ответ: Линейная функция — это функция вида $y = kx + b$. Ее графиком является прямая линия.

4. Чему равен свободный член соответствующей линейной функции, если прямая пересекает ось Oy в точке (0; 3)? Приведите пример.

Свободный член в уравнении линейной функции $y = kx + b$ — это коэффициент $b$. Геометрически он показывает ординату точки, в которой график функции пересекает ось ординат (ось Oy). Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; b)$.
Если прямая пересекает ось Oy в точке (0; 3), это означает, что при $x=0$ значение $y$ равно 3. Подставив эти значения в уравнение $y = kx + b$, получаем: $3 = k \cdot 0 + b$, откуда $b = 3$.
Пример: Функция $y = 5x + 3$. Ее график пересекает ось Oy в точке (0; 3). Другой пример: $y = -x + 3$.
Ответ: Свободный член $b$ равен 3. Пример: $y = 2x + 3$.

5. Из каких координатных углов отсекает треугольник в зависимости от знака углового коэффициента и свободного члена графика линейной функции? Приведите пример.

График линейной функции $y = kx + b$ (при $k \neq 0$ и $b \neq 0$) пересекает обе координатные оси, отсекая от координатной плоскости прямоугольный треугольник. Расположение этого треугольника зависит от знаков коэффициентов $k$ и $b$.
- Если $k > 0$ и $b > 0$, прямая пересекает положительную полуось Oy и отрицательную полуось Ox. Треугольник расположен во II координатной четверти. Пример: $y = x + 2$.
- Если $k > 0$ и $b < 0$, прямая пересекает отрицательную полуось Oy и положительную полуось Ox. Треугольник расположен в IV координатной четверти. Пример: $y = x - 2$.
- Если $k < 0$ и $b > 0$, прямая пересекает положительные полуоси Oy и Ox. Треугольник расположен в I координатной четверти. Пример: $y = -x + 2$.
- Если $k < 0$ и $b < 0$, прямая пересекает отрицательные полуоси Oy и Ox. Треугольник расположен в III координатной четверти. Пример: $y = -x - 2$.
Ответ: При $k>0, b>0$ – во II четверти; при $k>0, b<0$ – в IV четверти; при $k<0, b>0$ – в I четверти; при $k<0, b<0$ – в III четверти.

6. В чем отличие уравнения прямой пропорциональности от линейной функции?

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.
- Уравнение линейной функции имеет общий вид $y = kx + b$. Ее график — прямая, пересекающая ось Oy в точке $(0; b)$.
- Уравнение прямой пропорциональности имеет вид $y = kx$. Это то же самое уравнение, что и для линейной функции, но при условии, что свободный член $b=0$.
Основное отличие заключается в том, что график прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат, точку (0; 0), в то время как график линейной функции в общем случае — нет (он проходит через начало координат только если $b=0$).
Ответ: Отличие в свободном члене $b$: у прямой пропорциональности $b=0$, а у линейной функции $b$ может быть любым числом. График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат, а график линейной функции — не обязательно.

ПЗ. Найдите высоту школьного здания. Для этого найдите ответы на следующие вопросы:

1) Являются ли пропорциональными длина тела и длина его тени? Если да, то в 12:00 ч дня найдите коэффициент пропорциональности между высотой тела и его тенью. Обоснуйте ответ.

Да, в один и тот же момент времени высота объекта и длина отбрасываемой им тени являются прямо пропорциональными величинами.
Обоснование: Солнечные лучи, падающие на небольшом участке земной поверхности, можно считать параллельными. Вертикально стоящий объект образует с горизонтальной поверхностью земли прямой угол. Таким образом, объект (катет), его тень (второй катет) и солнечный луч (гипотенуза) образуют прямоугольный треугольник. Угол падения солнечных лучей на землю ($\alpha$) в один и тот же момент времени одинаков для всех объектов. Следовательно, все прямоугольные треугольники, образованные различными объектами и их тенями, подобны друг другу по двум углам (прямому углу и углу $\alpha$). Из подобия треугольников следует, что отношение высоты объекта $H$ к длине его тени $L$ является постоянной величиной: $H/L = k$, где $k$ - коэффициент пропорциональности. Отсюда $H = kL$.
Для нахождения коэффициента пропорциональности $k$ в 12:00 необходимо провести измерения. Возьмем объект известной высоты, например, человека ростом $H_{чел} = 1.8$ м, и измерим длину его тени $L_{чел}$. Допустим, она составила $1.2$ м. Тогда коэффициент пропорциональности: $k = H_{чел} / L_{чел} = 1.8 / 1.2 = 1.5$.
Ответ: Да, являются, так как отношение высоты к длине тени постоянно в один момент времени. Коэффициент пропорциональности $k = H/L$. Для его нахождения нужны измерения; в приведенном примере $k=1.5$.

2) Найдите длину тени здания школы.

Для ответа на этот вопрос необходимо провести реальное измерение. Нужно измерить рулеткой длину тени, которую отбрасывает здание школы, в то же самое время (в 12:00), когда производилось измерение для нахождения коэффициента $k$. Предположим, что в результате измерения мы получили, что длина тени школы $L_{шк}$ равна 15 метров.
Ответ: Длину тени здания нужно измерить. В нашем примере она равна 15 м.

3) Умножьте результат на коэффициент пропорциональности. Результат умножения даст приближенное значение высоты здания школы.

Используя формулу прямой пропорциональности $H = kL$, найдем высоту здания школы $H_{шк}$.
$H_{шк} = k \times L_{шк}$
Подставим значения из предыдущих пунктов: $H_{шк} = 1.5 \times 15 \text{ м} = 22.5 \text{ м}$.
Приближенная высота здания школы составляет 22.5 метра.
Ответ: $1.5 \times 15 = 22.5$ м. Приближенная высота здания школы - 22.5 метра.

4) Этим способом можно определить высоту любого высокого объекта (столба, дерева и т.д.) Здесь, чтобы определить коэффициент пропорциональности, можно использовать шест длиной 1 м, 2 м. Обоснуйте алгоритм определения высоты объекта.

Да, этот метод универсален для определения высоты любых объектов. Алгоритм действий следующий:
1. Подготовка. Возьмите предмет с известной, легко измеряемой высотой. Удобно использовать вертикальный шест высотой $H_{шест} = 1$ м или $2$ м.
2. Измерения. В солнечный день выберите момент времени и одновременно измерьте длину тени от шеста ($L_{шест}$) и длину тени от измеряемого высокого объекта ($L_{объект}$), например, дерева. Важно, чтобы измерения были сделаны одновременно.
3. Расчет коэффициента пропорциональности. Вычислите коэффициент $k$ по данным для шеста: $k = H_{шест} / L_{шест}$.
4. Расчет высоты объекта. Найдите высоту искомого объекта, умножив длину его тени на вычисленный коэффициент: $H_{объект} = k \times L_{объект}$.
Обоснование алгоритма: Как было показано в пункте 1, метод основан на подобии прямоугольных треугольников, образованных объектами и их тенями. Равенство отношений соответствующих катетов в этих треугольниках ($H_{объект} / L_{объект} = H_{шест} / L_{шест}$) позволяет найти неизвестную высоту ($H_{объект}$) через три известные величины.
Ответ: Алгоритм: 1) измерить высоту шеста $H_{шест}$; 2) одновременно измерить длины теней шеста $L_{шест}$ и объекта $L_{объект}$; 3) найти $k = H_{шест} / L_{шест}$; 4) вычислить высоту объекта $H_{объект} = k \times L_{объект}$. Метод основан на подобии треугольников.

3.43. Постройте график прямой пропорциональности $y = -\frac{1}{2}x$.

Определите по графику значение $y$ при $x = -4; 2; 6$.

1. Построение графика прямой пропорциональности $y = -\frac{1}{2}x$

Функция $y = -\frac{1}{2}x$ является прямой пропорциональностью. График такой функции — это прямая линия, которая проходит через начало координат, то есть через точку (0; 0).

Для построения прямой необходимо найти координаты еще одной точки, принадлежащей графику. Для этого выберем удобное значение аргумента $x$, например, $x=2$.

Подставим $x=2$ в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение $y$:
$y = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$.

Таким образом, мы получили вторую точку с координатами (2; -1).

Теперь на координатной плоскости нужно отметить точки (0; 0) и (2; -1) и провести через них прямую. Эта прямая и будет являться графиком функции $y = -\frac{1}{2}x$.

2. Определение по графику значений y

при x = -4: Находим на оси абсцисс (горизонтальная ось $x$) значение -4. Из этой точки проводим вертикальную линию вверх до пересечения с построенным графиком. От полученной точки пересечения проводим горизонтальную линию вправо до пересечения с осью ординат (вертикальная ось $y$). Значение на оси $y$ будет равно 2.
Ответ: при $x=-4$, $y=2$.

при x = 2: Находим на оси $x$ значение 2. Из этой точки проводим вертикальную линию вниз до пересечения с графиком. От точки пересечения (это точка (2; -1), которую мы использовали для построения) проводим горизонтальную линию влево к оси $y$. Значение на оси $y$ будет равно -1.
Ответ: при $x=2$, $y=-1$.

при x = 6: Находим на оси $x$ значение 6. Из этой точки проводим вертикальную линию вниз до пересечения с графиком. От точки пересечения проводим горизонтальную линию влево к оси $y$. Значение на оси $y$ будет равно -3.
Ответ: при $x=6$, $y=-3$.

Определите по графику значение $y$ при $x = 1, 2, 3$.

3.44. При каком значении $x$ значение $y$ равно $4$? (Используйте условие упражнения 3.43.)

3.44. В условии упражнения 3.43 задана функция $y = \frac{20}{x-3}$.

Чтобы найти значение x, при котором значение y равно 4, необходимо подставить $y=4$ в уравнение функции и решить его относительно x.

Получаем уравнение:

$4 = \frac{20}{x-3}$

Область допустимых значений переменной x определяется условием, что знаменатель не может быть равен нулю: $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

Для решения уравнения умножим обе его части на $(x-3)$:

$4(x-3) = 20$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$4x - 12 = 20$

Перенесем -12 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$4x = 20 + 12$

$4x = 32$

Найдем x, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{32}{4}$

$x = 8$

Полученное значение $x=8$ не противоречит области допустимых значений ($x \neq 3$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: 8.

3.45. Сколько тенге стоят 2 кг сахара, если за 5 кг сахара заплатили 1200 тг?

Для решения этой задачи нужно сначала определить стоимость одного килограмма сахара, а затем умножить эту стоимость на необходимое количество.

1. Находим стоимость 1 кг сахара.

Известно, что за 5 кг сахара заплатили 1200 тенге. Чтобы найти цену за 1 кг, разделим общую стоимость на общее количество килограммов:
$1200 \text{ тг} \div 5 \text{ кг} = 240 \text{ тг/кг}$
Таким образом, стоимость одного килограмма сахара составляет 240 тенге.

2. Находим стоимость 2 кг сахара.

Теперь, зная стоимость одного килограмма, мы можем вычислить стоимость двух килограммов, умножив цену за 1 кг на 2:
$240 \text{ тг/кг} \times 2 \text{ кг} = 480 \text{ тг}$

Альтернативное решение (с помощью пропорции):

Пусть $x$ — искомая стоимость 2 кг сахара. Составим пропорцию:
5 кг сахара — 1200 тг
2 кг сахара — $x$ тг
$\frac{5}{2} = \frac{1200}{x}$
Чтобы найти $x$, решим уравнение:
$5 \cdot x = 1200 \cdot 2$
$5x = 2400$
$x = \frac{2400}{5}$
$x = 480$

Ответ: 2 кг сахара стоят 480 тенге.

3.46. Чтобы покрасить пол комнаты площадью $16\text{ м}^2$, потребовалось 3,6 кг эмали. Сколько килограммов краски потребуется для покраски пола комнаты площадью $22\text{ м}^2$?

Для решения этой задачи необходимо найти расход краски на единицу площади, а затем рассчитать, сколько краски потребуется для новой площади. Это задача на прямую пропорциональность, которую можно решить двумя способами.

Способ 1: Нахождение расхода на 1 м².

1. Сначала определим, сколько килограммов эмали требуется для покраски одного квадратного метра пола. Для этого разделим общее количество эмали на площадь, для которой оно было использовано:

Расход = $3.6 \text{ кг} \div 16 \text{ м}^2 = 0.225 \text{ кг/м}^2$

2. Теперь, зная расход краски на 1 м², мы можем вычислить, сколько эмали потребуется для покраски пола площадью 22 м². Для этого умножим расход на новую площадь:

Необходимое количество краски = $0.225 \text{ кг/м}^2 \times 22 \text{ м}^2 = 4.95 \text{ кг}$

Способ 2: Составление пропорции.

Пусть $x$ — это искомое количество килограммов краски для площади 22 м². Так как количество краски прямо пропорционально площади, составим пропорцию:

$16 \text{ м}^2 \rightarrow 3.6 \text{ кг}$

$22 \text{ м}^2 \rightarrow x \text{ кг}$

Математически это записывается как отношение:

$\frac{3.6}{16} = \frac{x}{22}$

Чтобы найти $x$, решим это уравнение:

$x = \frac{3.6 \times 22}{16} = \frac{79.2}{16} = 4.95$

Оба способа показывают, что для покраски 22 м² пола потребуется 4,95 кг эмали.

Ответ: 4,95 кг.

3.47. Функция прямой пропорциональности задана таблицей:

$x$: -2, [ ], 1, 3, [ ]

$y=kx$: 4, 0, [ ], [ ], -10

1) Заполните пустующие клетки;

2) найдите угловой коэффициент.

1) Заполните пустующие клетки;

Функция прямой пропорциональности задана общей формулой $y = kx$, где $k$ — это постоянный коэффициент. Чтобы заполнить пустые клетки, сначала необходимо найти этот коэффициент.

Для нахождения коэффициента $k$ воспользуемся первой парой полностью известных значений из таблицы: $x = -2$ и $y = 4$.

Подставим эти значения в формулу:
$4 = k \cdot (-2)$

Теперь решим это уравнение относительно $k$:
$k = \frac{4}{-2} = -2$

Итак, мы определили, что функция задается формулой $y = -2x$. Теперь мы можем использовать эту формулу для заполнения всех пустых ячеек в таблице.

- Найдем $x$, если $y = 0$:
$0 = -2x \implies x = 0$

- Найдем $y$, если $x = 1$:
$y = -2 \cdot 1 = -2$

- Найдем $y$, если $x = 3$:
$y = -2 \cdot 3 = -6$

- Найдем $x$, если $y = -10$:
$-10 = -2x \implies x = \frac{-10}{-2} = 5$

В результате получаем полностью заполненную таблицу:

Ответ: Пропущенные значения в строке $x$: 0 и 5. Пропущенные значения в строке $y$: -2 и -6.

2) найдите угловой коэффициент.

Угловой коэффициент $k$ — это коэффициент пропорциональности в формуле $y=kx$.

Как было найдено при решении первого пункта, мы можем вычислить его, используя любую известную пару $(x, y)$ из таблицы (где $x \neq 0$). Например, используя $x=-2$ и $y=4$:
$k = \frac{y}{x} = \frac{4}{-2} = -2$

Ответ: -2.