Страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.32. Функция $y = f(x)$ задана таблицей:

1) При каком значении аргумента функция достигает своего наименьшего (наибольшего) значения?

2) Определив закономерность функциональной зависимости, найдите $f(-2)$ и $f(3)$.

1) При каком значении аргумента функция достигает своего наименьшего (наибольшего) значения?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать значения функции $f(x)$ в представленной таблице: 0; -0,75; -1; -0,75; 0; 1,25; 3.

Наименьшее значение функции в таблице — это -1. Смотрим, какому значению аргумента $x$ оно соответствует. Это значение достигается при $x = 0$.

Наибольшее значение функции в таблице — это 3. Смотрим, какому значению аргумента $x$ оно соответствует. Это значение достигается при $x = 2$.

Ответ: Наименьшее значение -1 функция достигает при $x = 0$, а наибольшее значение 3 — при $x = 2$.

2) Определив закономерность функциональной зависимости, найдите f(-2) и f(3).

Чтобы определить закономерность, попробуем подобрать вид функции. Заметим, что $f(-1) = f(1) = 0$ и $f(-0,5) = f(0,5) = -0,75$. Это свойство четной функции, график которой симметричен относительно оси OY. Также видно, что вершина находится в точке $(0, -1)$. Это характерно для квадратичной функции (параболы) вида $y = ax^2 + bx + c$.

Поскольку вершина параболы находится в точке $(0, -1)$, можно использовать формулу $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины. Подставив наши значения, получаем: $y = a(x - 0)^2 - 1$ $y = ax^2 - 1$

Чтобы найти коэффициент $a$, подставим в это уравнение координаты любой другой точки из таблицы, например, $(1, 0)$: $0 = a \cdot 1^2 - 1$ $a - 1 = 0$ $a = 1$

Таким образом, мы предполагаем, что функциональная зависимость описывается формулой $f(x) = x^2 - 1$. Проверим эту формулу для других точек из таблицы:
При $x=2$: $f(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. (Совпадает с таблицей)
При $x=1,5$: $f(1,5) = (1,5)^2 - 1 = 2,25 - 1 = 1,25$. (Совпадает с таблицей)
При $x=-0,5$: $f(-0,5) = (-0,5)^2 - 1 = 0,25 - 1 = -0,75$. (Совпадает с таблицей)

Формула верна. Теперь мы можем найти значения функции для $x = -2$ и $x = 3$:
$f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
$f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$

Ответ: $f(-2) = 3$, $f(3) = 8$.

3.33. Функция задана графическим способом (рис. 3.6). Задайте ее табличным способом и найдите значения $f (-2)$, $f (0)$, $f (3)$. Каким может быть значение $f (4)$? Обоснуйте ответ.

Табличный способ:

x = -3, y = 5

x = -2, y = -3

x = -1, y = -3

x = 0, y = -4

x = 1, y = -3

x = 2, y = -3

x = 3, y = 5

Значения функции:

$f (-2) = -3$

$f (0) = -4$

$f (3) = 5$

Вопрос о $f (4)$:

Каким может быть значение $f (4)$? Обоснуйте ответ.

Рис. 3.6

Задайте ее табличным способом и найдите значения $f(-2)$, $f(0)$, $f(3)$

Для того чтобы задать функцию табличным способом, определим по графику координаты целочисленных точек, через которые проходит кривая, и занесем их в таблицу.

Для нахождения значений функции $f(-2)$, $f(0)$ и $f(3)$ найдем на графике точки с соответствующими абсциссами ($x$) и определим их ординаты ($y$).

• При $x = -2$ график пересекает ось абсцисс, значит, ордината равна $0$. Следовательно, $f(-2) = 0$.
• При $x = 0$ график пересекает ось ординат в точке с ординатой $-4$. Следовательно, $f(0) = -4$.
• При $x = 3$ ордината соответствующей точки на графике равна $5$. Следовательно, $f(3) = 5$.

Ответ: Таблица значений представлена выше; $f(-2) = 0$, $f(0) = -4$, $f(3) = 5$.

Каким может быть значение $f(4)$? Обоснуйте ответ.

График, изображенный на рисунке, является параболой. Область определения функции, показанная на графике, — это отрезок $[-3; 3]$. Строго говоря, значение $f(4)$ не определено, так как точка $x=4$ не входит в эту область.

Однако, мы можем предположить, что график является частью параболы, которая продолжается неограниченно. В этом случае мы можем найти уравнение этой параболы и вычислить значение $f(4)$.

Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ следующий: $f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0$.

Из графика видно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(0, -4)$. Подставим эти значения в формулу: $f(x) = a(x - 0)^2 + (-4) = ax^2 - 4$.

Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся координатами любой другой точки на графике, например, $(2, 0)$. Подставим $x=2$ и $f(x)=0$ в уравнение: $0 = a \cdot 2^2 - 4$
$0 = 4a - 4$
$4a = 4$
$a = 1$

Таким образом, функция задается формулой $f(x) = x^2 - 4$.

Теперь можно вычислить значение функции при $x=4$: $f(4) = 4^2 - 4 = 16 - 4 = 12$.

Обоснование: если предположить, что функция является квадратичной ($f(x) = x^2 - 4$), то ее значение в точке $x=4$ будет равно $12$.

Ответ: Если предположить, что функция является квадратичной, то значение $f(4)$ может быть равно $12$.

3.34. Функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ заданы таблицей.

$x$: 0, 1, 2, 3, 4, 5

$f(x)$: 7, 5, 3, 1, -1, -3

$x$: 0, 1, 2, 3, 4, 5

$g(x)$: 0, 1, 4, 9, 16, 25

Найдите:

1) $\varphi(3)$, $\varphi(1)$, если $\varphi(x) = f(x) + g(x)$;

2) $r(2)$ и $r(4)$, если $r(x) = f(x) \cdot g(x)$.

1) Для нахождения значений функции $\phi(x)$, которая определена как $\phi(x) = f(x) + g(x)$, мы будем использовать данные из предоставленных таблиц.

Чтобы найти $\phi(3)$, мы должны сложить значения $f(3)$ и $g(3)$.

Из первой таблицы находим, что при $x=3$, $f(3) = 1$.

Из второй таблицы находим, что при $x=3$, $g(3) = 9$.

Следовательно, $\phi(3) = f(3) + g(3) = 1 + 9 = 10$.

Чтобы найти $\phi(1)$, мы должны сложить значения $f(1)$ и $g(1)$.

Из первой таблицы находим, что при $x=1$, $f(1) = 5$.

Из второй таблицы находим, что при $x=1$, $g(1) = 1$.

Следовательно, $\phi(1) = f(1) + g(1) = 5 + 1 = 6$.

Ответ: $\phi(3) = 10$, $\phi(1) = 6$.

2) Для нахождения значений функции $r(x)$, которая определена как $r(x) = f(x) \cdot g(x)$, мы также будем использовать данные из таблиц.

Чтобы найти $r(2)$, мы должны перемножить значения $f(2)$ и $g(2)$.

Из первой таблицы находим, что при $x=2$, $f(2) = 3$.

Из второй таблицы находим, что при $x=2$, $g(2) = 4$.

Следовательно, $r(2) = f(2) \cdot g(2) = 3 \cdot 4 = 12$.

Чтобы найти $r(4)$, мы должны перемножить значения $f(4)$ и $g(4)$.

Из первой таблицы находим, что при $x=4$, $f(4) = -1$.

Из второй таблицы находим, что при $x=4$, $g(4) = 16$.

Следовательно, $r(4) = f(4) \cdot g(4) = -1 \cdot 16 = -16$.

Ответ: $r(2) = 12$, $r(4) = -16$.

3.35. Междугородный автобус движется с постоянной скоростью 80 км/ч. Зависимость пройденного автобусом пути $S$ км от времени $t$ ч задана таблицей. Заполните пустующие клетки.

$t$ | 15 мин | 30 мин | | 1 ч 20 мин | | 2 ч

$S$ | | | 80 км | | 120 км |

Для заполнения пустых клеток в таблице необходимо использовать формулу зависимости пути $S$ от времени $t$ при постоянной скорости $v$: $S = v \cdot t$. Из условия известно, что постоянная скорость автобуса $v = 80$ км/ч.

Если в таблице дано время $t$, мы находим путь $S$. Если дан путь $S$, мы находим время по формуле $t = \frac{S}{v}$. Для корректных расчетов необходимо переводить время, заданное в минутах, в часы, так как скорость выражена в км/ч.

Расчет для t = 15 мин
Сначала переводим 15 минут в часы: $t = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0.25 \text{ ч}$.
Теперь находим пройденный путь: $S = 80 \text{ км/ч} \cdot 0.25 \text{ ч} = 20 \text{ км}$.
Ответ: 20 км.

Расчет для t = 30 мин
Переводим 30 минут в часы: $t = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = \frac{1}{2} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.
Находим пройденный путь: $S = 80 \text{ км/ч} \cdot 0.5 \text{ ч} = 40 \text{ км}$.
Ответ: 40 км.

Расчет для S = 80 км
Находим время, за которое автобус проехал 80 км: $t = \frac{S}{v} = \frac{80 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 1 \text{ ч}$.
Ответ: 1 ч.

Расчет для t = 1 ч 20 мин
Переводим время в часы. Так как 20 минут это $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа, то $t = 1 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 1\frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{4}{3} \text{ ч}$.
Находим пройденный путь: $S = 80 \text{ км/ч} \cdot \frac{4}{3} \text{ ч} = \frac{320}{3} \text{ км} = 106\frac{2}{3} \text{ км}$.
Ответ: $106\frac{2}{3}$ км.

Расчет для S = 120 км
Находим время, за которое автобус проехал 120 км: $t = \frac{S}{v} = \frac{120 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = \frac{12}{8} \text{ ч} = \frac{3}{2} \text{ ч} = 1.5 \text{ ч}$.
Переводим в часы и минуты: $1.5 \text{ ч} = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин}$.
Ответ: 1 ч 30 мин.

Расчет для t = 2 ч
Находим пройденный путь: $S = 80 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 160 \text{ км}$.
Ответ: 160 км.

Заполненная таблица: