Страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.4. Может ли значение функции $f(x) = 1,2x + 3,8$ быть равным: 1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 6, если $x = 1$? Обоснуйте ответ.

Для того чтобы определить, может ли значение функции $f(x) = 1,2x + 3,8$ быть равным предложенным числам при условии, что $x=1$, необходимо сначала вычислить значение самой функции при $x=1$.

Подставляем $x=1$ в уравнение функции:

$f(1) = 1,2 \cdot 1 + 3,8$

$f(1) = 1,2 + 3,8$

$f(1) = 5$

Таким образом, мы получили, что при $x=1$ значение функции строго равно 5. Теперь, основываясь на этом результате, мы можем ответить на каждый из поставленных вопросов.

1) 3

Чтобы значение функции было равно 3, необходимо, чтобы $f(1) = 3$. Однако мы вычислили, что $f(1) = 5$. Так как $5 \neq 3$, значение функции не может быть равным 3 при $x=1$.

Ответ: нет, не может.

2) 4

Чтобы значение функции было равно 4, необходимо, чтобы $f(1) = 4$. Мы знаем, что $f(1) = 5$. Так как $5 \neq 4$, значение функции не может быть равным 4 при $x=1$.

Ответ: нет, не может.

3) 5

Чтобы значение функции было равно 5, необходимо, чтобы $f(1) = 5$. Наше вычисление показало, что $f(1)$ действительно равно 5. Следовательно, это возможно.

Ответ: да, может.

4) 6

Чтобы значение функции было равно 6, необходимо, чтобы $f(1) = 6$. Мы вычислили, что $f(1) = 5$. Так как $5 \neq 6$, значение функции не может быть равным 6 при $x=1$.

Ответ: нет, не может.

3.5. Запишите область определения функции в виде числового множества:

1) $f(x) = 0.5x + 4$; $0 \le x \le 3$;

2) $f(x) = 0.3x - 2$, $-2 \le x \le 1$;

3) $f(x) = 4 - x$, $-2 \le x$;

4) $f(x) = \frac{x+1}{4}$, $x \le 3$.

1) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. В данном случае функция $f(x) = 0,5x + 4$ задана с явным указанием области определения в виде двойного неравенства: $0 \le x \le 3$. Это неравенство означает, что переменная $x$ может принимать любые значения от 0 до 3, включая граничные значения. Такое числовое множество представляет собой замкнутый отрезок.
Ответ: $[0; 3]$.

2) Для функции $f(x) = 0,3x - 2$ область определения также задана явно с помощью двойного неравенства: $-2 \le x \le 1$. Это означает, что аргумент $x$ может быть любым числом, которое больше или равно -2 и одновременно меньше или равно 1. В виде числового множества это записывается как замкнутый отрезок.
Ответ: $[-2; 1]$.

3) Функция $f(x) = 4 - x$ определена при условии $ -2 \le x$. Это неравенство эквивалентно записи $x \ge -2$. Оно описывает множество всех чисел, которые больше или равны -2. Такое числовое множество представляет собой числовой луч, включающий начальную точку -2 и простирающийся до плюс бесконечности.
Ответ: $[-2; +\infty)$.

4) Для функции $f(x) = \frac{x+1}{4}$ задано ограничение $x \le 3$. Сама по себе функция представляет собой дробь, знаменатель которой — константа 4, не равная нулю. Поэтому выражение $\frac{x+1}{4}$ определено для любого действительного числа $x$. Таким образом, область определения функции полностью совпадает с заданным условием $x \le 3$. Это неравенство описывает множество всех чисел, которые меньше или равны 3. Такое множество является числовым лучом, идущим от минус бесконечности до 3, включая точку 3.
Ответ: $(-\infty; 3]$.

3.6. Для функции $y = f(x)$ найдите значения $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$:

1) $f(x) = 4 - 0,5x$;

2) $f(x) = 3x - 2$;

3) $f(x) = x^2 + 1$;

4) $f(x) = \frac{3}{x+5}$.

1) Для функции $f(x) = 4 - 0,5x$:

Чтобы найти значения функции, подставим вместо $x$ заданные значения $-1, 0, 1, 2$.

$f(-1) = 4 - 0,5 \cdot (-1) = 4 + 0,5 = 4,5$

$f(0) = 4 - 0,5 \cdot 0 = 4 - 0 = 4$

$f(1) = 4 - 0,5 \cdot 1 = 4 - 0,5 = 3,5$

$f(2) = 4 - 0,5 \cdot 2 = 4 - 1 = 3$

Ответ: $f(-1) = 4,5$; $f(0) = 4$; $f(1) = 3,5$; $f(2) = 3$.

2) Для функции $f(x) = 3x - 2$:

Подставляем значения $x = -1, 0, 1, 2$ в уравнение функции.

$f(-1) = 3 \cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = -5$

$f(0) = 3 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = -2$

$f(1) = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$

$f(2) = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$

Ответ: $f(-1) = -5$; $f(0) = -2$; $f(1) = 1$; $f(2) = 4$.

3) Для функции $f(x) = x^2 + 1$:

Вычисляем значения функции для заданных аргументов.

$f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$f(0) = 0^2 + 1 = 0 + 1 = 1$

$f(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$f(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

Ответ: $f(-1) = 2$; $f(0) = 1$; $f(1) = 2$; $f(2) = 5$.

4) Для функции $f(x) = \frac{3}{x+5}$:

Находим значения функции путем подстановки $x$.

$f(-1) = \frac{3}{-1+5} = \frac{3}{4}$

$f(0) = \frac{3}{0+5} = \frac{3}{5}$

$f(1) = \frac{3}{1+5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$f(2) = \frac{3}{2+5} = \frac{3}{7}$

Ответ: $f(-1) = \frac{3}{4}$; $f(0) = \frac{3}{5}$; $f(1) = \frac{1}{2}$; $f(2) = \frac{3}{7}$.

3.7. Для функции $f(x) = 2x - 3$ заполните таблицу

Чтобы заполнить таблицу для функции $f(x) = 2x - 3$, необходимо вычислить недостающие значения. Для этого мы будем либо подставлять известное значение $x$ в формулу функции, чтобы найти $f(x)$, либо решать уравнение относительно $x$ при известном значении $f(x)$.

Подставляем значение $x=0$ в формулу функции:
$f(0) = 2 \cdot 0 - 3 = 0 - 3 = -3$.
Ответ: -3.

Подставляем значение $x=-1$ в формулу функции:
$f(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$.
Ответ: -5.

Подставляем значение $f(x)=2$ и решаем уравнение относительно $x$:
$2 = 2x - 3$
$2x = 2 + 3$
$2x = 5$
$x = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5.

Подставляем значение $x=-2$ в формулу функции:
$f(-2) = 2 \cdot (-2) - 3 = -4 - 3 = -7$.
Ответ: -7.

Подставляем значение $f(x)=4,5$ и решаем уравнение относительно $x$:
$4,5 = 2x - 3$
$2x = 4,5 + 3$
$2x = 7,5$
$x = \frac{7,5}{2} = 3,75$.
Ответ: 3,75.

Подставляем значение $f(x)=7$ и решаем уравнение относительно $x$:
$7 = 2x - 3$
$2x = 7 + 3$
$2x = 10$
$x = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: 5.

Подставляем значение $x=5$ в формулу функции:
$f(5) = 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7$.
Ответ: 7.

Итоговая заполненная таблица:

3.8. Одно из измерений прямоугольника равно 3 см, а другое – $x$ см. Запишите площадь прямоугольника S в виде функции, зависящей от $x$. Каким может быть:

1) значение $x$ при $S = 13,5 \text{ см}^2$;

2) значение $S$ при $x = 5,7 \text{ см}?$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его сторон. В данном случае, одна сторона равна 3 см, а другая — $x$ см. Следовательно, формула для площади $S$ как функции, зависящей от $x$, имеет вид:
$S(x) = 3x$

1) значение x при S = 13,5 см²;

Чтобы найти значение $x$, при котором площадь $S$ равна 13,5 см², подставим это значение в нашу функцию и решим получившееся уравнение:
$13,5 = 3x$
Для нахождения $x$ разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{13,5}{3}$
$x = 4,5$
Ответ: $x = 4,5$ см.

2) значение S при x = 5,7 см?

Чтобы найти значение площади $S$ при $x = 5,7$ см, подставим это значение $x$ в нашу функцию:
$S = 3 \cdot 5,7$
$S = 17,1$
Ответ: $S = 17,1$ см².

3.9. Является ли следующая зависимость функциональной? Если да, то запишите ее в виде формулы, данной ниже.

1) Длине стороны квадрата x м соответствует его площадь S(x);

$S(x) = x^2$

2) оператор за 7 ч рабочего времени может набрать на компьютере 30 страниц рукописи произведения, которая имеет 300 страниц. Каждому пройденному часу x ставится в соответствие количество еще ненабранных страниц y.

$y = 300 - \frac{30}{7}x$

1) Да, данная зависимость является функциональной. По определению функции, каждому значению независимой переменной (аргумента) должно соответствовать единственное значение зависимой переменной (функции). В данном случае, каждому значению длины стороны квадрата $x$ соответствует только одно, единственно возможное значение его площади $S$.
Площадь квадрата вычисляется как квадрат его стороны. Следовательно, формула, выражающая эту зависимость, имеет вид: $S(x) = x^2$.
Ответ: да, является. Формула: $S(x) = x^2$.

2) Да, данная зависимость является функциональной. Каждому значению времени $x$, прошедшему с начала работы, соответствует единственное значение количества оставшихся (ненабранных) страниц $y$.
Для того чтобы записать формулу, выполним следующие шаги:
1. Найдем производительность (скорость набора) оператора. По условию, он набирает 30 страниц за 7 часов. Значит, его скорость $v$ равна:
$v = \frac{30}{7}$ страниц/час.
2. Определим, сколько страниц оператор наберет за время $x$. Это будет произведение скорости на время:
Количество набранных страниц = $v \cdot x = \frac{30}{7}x$.
3. Количество еще ненабранных страниц $y$ равно разности между общим количеством страниц в рукописи (300) и количеством уже набранных страниц.
$y(x) = 300 - \frac{30}{7}x$.
Эта формула однозначно определяет $y$ для любого заданного $x$ (в пределах выполнения работы).
Ответ: да, является. Формула: $y = 300 - \frac{30}{7}x$.

3.10. Будет ли следующая зависимость функциональной: «Каждому двузначному числу ставится в соответствие сумма его цифр»? Если зависимость функциональная, то найдите значения $f(12)$, $f(35)$, $f(92)$. Можно ли найти значения $f(7)$ и $f(102)$? Обоснуйте ответ. Найдите область определения и область значений этой функции.

Будет ли следующая зависимость функциональной: «Каждому двузначному числу ставится в соответствие сумма его цифр»?

Да, заданная зависимость является функциональной. По определению, функция — это правило, по которому каждому элементу из одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный элемент из другого множества (области значений). В данном случае, любому двузначному числу (аргументу функции) соответствует ровно одно число — сумма его цифр. Поскольку для каждого двузначного числа результат вычисления суммы его цифр является единственным, это правило является функцией.

Ответ: Да, данная зависимость является функциональной.

Если зависимость функциональная, то найдите значения $f(12), f(35), f(92)$.

Чтобы найти значения функции $f(x)$ для заданных аргументов, необходимо вычислить сумму цифр каждого числа, где $f$ — это наша функция:
$f(12) = 1 + 2 = 3$
$f(35) = 3 + 5 = 8$
$f(92) = 9 + 2 = 11$

Ответ: $f(12) = 3$, $f(35) = 8$, $f(92) = 11$.

Можно ли найти значения $f(7)$ и $f(102)$? Обоснуйте ответ.

Найти значения $f(7)$ и $f(102)$ в рамках заданной функции невозможно. Правило, определяющее функцию, звучит как «Каждому двузначному числу ставится в соответствие...». Это означает, что область определения функции состоит только из двузначных чисел. Число 7 является однозначным, а число 102 — трехзначным. Так как они не являются двузначными, они не принадлежат области определения данной функции, и, следовательно, правило к ним неприменимо.

Ответ: Нет, найти эти значения нельзя, так как числа 7 и 102 не являются двузначными и не входят в область определения функции.

Найдите область определения и область значений этой функции.

Область определения функции (обозначается $D(f)$) — это множество всех допустимых значений аргумента. Согласно условию, аргументами функции являются все двузначные числа. Множество двузначных натуральных чисел начинается с 10 и заканчивается 99.
Область значений функции (обозначается $E(f)$) — это множество всех значений, которые может принимать функция. Чтобы найти его, определим минимальное и максимальное возможные значения суммы цифр для двузначных чисел.

• Минимальная сумма цифр соответствует числу 10: $f(10) = 1 + 0 = 1$.
• Максимальная сумма цифр соответствует числу 99: $f(99) = 9 + 9 = 18$.

Любое целое число в промежутке от 1 до 18 можно получить как сумму цифр некоторого двузначного числа (например, $f(11)=2, f(25)=7, f(89)=17$). Таким образом, область значений функции включает все натуральные числа от 1 до 18.

Ответ: Область определения $D(f)$ — это множество натуральных чисел от 10 до 99, что можно записать как $D(f) = \{x \in \mathbb{N} \mid 10 \le x \le 99\}$. Область значений $E(f)$ — это множество натуральных чисел от 1 до 18: $E(f) = \{y \in \mathbb{N} \mid 1 \le y \le 18\}$.