Страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.125. Докажите, что:

1) сумма двух нечетных чисел – четное число;

2) произведение двух нечетных чисел – нечетное число.

1)

Для доказательства воспользуемся алгебраическим представлением четных и нечетных чисел. Любое нечетное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — любое целое число. Любое четное число можно представить в виде $2n$, где $n$ — любое целое число.

Возьмем два произвольных нечетных числа. Обозначим их как $a$ и $b$. Согласно определению, их можно записать в следующем виде:

$a = 2k + 1$

$b = 2m + 1$

где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Теперь найдем их сумму:

$a + b = (2k + 1) + (2m + 1)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$a + b = 2k + 2m + 1 + 1 = 2k + 2m + 2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$a + b = 2(k + m + 1)$

Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, их сумма $k + m$ также является целым числом. Тогда и выражение $(k + m + 1)$ — это целое число. Обозначим это целое число как $n = k + m + 1$.

Таким образом, сумма двух нечетных чисел представляется в виде $2n$, что по определению является формулой четного числа. Следовательно, сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом.

Ответ: Доказано.

2)

Используем те же представления для двух произвольных нечетных чисел $a$ и $b$:

$a = 2k + 1$

$b = 2m + 1$

где $k$ и $m$ — целые числа.

Найдем их произведение:

$a \cdot b = (2k + 1)(2m + 1)$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$a \cdot b = (2k)(2m) + (2k)(1) + (1)(2m) + (1)(1) = 4km + 2k + 2m + 1$

Сгруппируем первые три слагаемых и вынесем за скобки общий множитель 2:

$a \cdot b = 2(2km + k + m) + 1$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то произведение $2km$, а также суммы $(2km + k)$ и $(2km + k + m)$ являются целыми числами. Обозначим целое число в скобках как $q = 2km + k + m$.

Тогда произведение двух нечетных чисел можно представить в виде $2q + 1$, что соответствует определению нечетного числа. Следовательно, произведение двух нечетных чисел всегда является нечетным числом.

Ответ: Доказано.

2.126. Разложите на множители трехчлен:

1) $x^2 + 5x + 6;$

2) $x^2 - 5x + 6;$

3) $x^2 - 8x + 15;$

4) $x^2 - 7x + 12;$

5) $x^2 - x - 12;$

6) $x^2 - 3x - 4;$

7) $x^2 - x - 6;$

8) $x^2 + 2x - 15.$

1) Для разложения трехчлена $x^2 + 5x + 6$ на множители используется формула $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$.
Методом подбора находим, что корни равны $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.
Подставляем корни в формулу разложения (здесь $a=1$):
$x^2 + 5x + 6 = (x - (-2))(x - (-3)) = (x + 2)(x + 3)$.
Ответ: $(x + 2)(x + 3)$

2) Разложим на множители трехчлен $x^2 - 5x + 6$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, разложение имеет вид:
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
Ответ: $(x - 2)(x - 3)$

3) Разложим на множители трехчлен $x^2 - 8x + 15$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 15$.
Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
Следовательно, разложение имеет вид:
$x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.
Ответ: $(x - 3)(x - 5)$

4) Разложим на множители трехчлен $x^2 - 7x + 12$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 \cdot x_2 = 12$.
Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, разложение имеет вид:
$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.
Ответ: $(x - 3)(x - 4)$

5) Разложим на множители трехчлен $x^2 - x - 12$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$.
Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.
Следовательно, разложение имеет вид:
$x^2 - x - 12 = (x - 4)(x - (-3)) = (x - 4)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 4)(x + 3)$

6) Разложим на множители трехчлен $x^2 - 3x - 4$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = -4$.
Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Следовательно, разложение имеет вид:
$x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x - (-1)) = (x - 4)(x + 1)$.
Ответ: $(x - 4)(x + 1)$

7) Разложим на множители трехчлен $x^2 - x - 6$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$.
Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Следовательно, разложение имеет вид:
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2)$.
Ответ: $(x - 3)(x + 2)$

8) Разложим на множители трехчлен $x^2 + 2x - 15$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -15$.
Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.
Следовательно, разложение имеет вид:
$x^2 + 2x - 15 = (x - 3)(x - (-5)) = (x - 3)(x + 5)$.
Ответ: $(x - 3)(x + 5)$

2.127. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 4 м, а длину его уменьшить на 5 м, то площадь прямоугольника увеличится на $15 \text{ м}^2$. Найдите размеры прямоугольника.

Пусть ширина исходного прямоугольника равна $x$ м. Поскольку длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины, то длина равна $3x$ м.

Площадь исходного прямоугольника $S_1$ равна произведению его длины и ширины:
$S_1 = 3x \cdot x = 3x^2$ м².

Согласно условию, ширину прямоугольника увеличили на 4 м, а длину уменьшили на 5 м. Получился новый прямоугольник со следующими размерами:
Новая ширина: $(x + 4)$ м.
Новая длина: $(3x - 5)$ м.

Площадь нового прямоугольника $S_2$ равна:
$S_2 = (x + 4)(3x - 5)$ м².

Известно, что новая площадь на 15 м² больше исходной. Это можно записать в виде уравнения:
$S_2 = S_1 + 15$
$(x + 4)(3x - 5) = 3x^2 + 15$

Решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части:
$x \cdot 3x - x \cdot 5 + 4 \cdot 3x - 4 \cdot 5 = 3x^2 + 15$
$3x^2 - 5x + 12x - 20 = 3x^2 + 15$

Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3x^2 + 7x - 20 = 3x^2 + 15$

Вычтем $3x^2$ из обеих частей уравнения:
$7x - 20 = 15$

Перенесем -20 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$7x = 15 + 20$
$7x = 35$

Найдем $x$:
$x = \frac{35}{7}$
$x = 5$

Итак, ширина исходного прямоугольника равна 5 м.

Найдем длину исходного прямоугольника:
$3x = 3 \cdot 5 = 15$ м.

Ответ: ширина прямоугольника 5 м, длина 15 м.

2.128. Решите уравнение, предварительно разложив его левую часть на множители:

1) $x^2 - 4x - 5 = 0;$

2) $x^2 + 7x + 12 = 0;$

3) $x^2 - 11x + 10 = 0;$

4) $2x^2 - 3x + 1 = 0.$

1) $x^2 - 4x - 5 = 0$
Чтобы разложить левую часть уравнения на множители, воспользуемся теоремой Виета. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно свободному члену ($-5$), а их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($4$). Легко подобрать эти числа: это $5$ и $-1$.
$5 \cdot (-1) = -5$
$5 + (-1) = 4$
Следовательно, левую часть уравнения можно разложить на множители $(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.
$(x - 5)(x - (-1)) = 0$
$(x - 5)(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x - 5 = 0$ или $x + 1 = 0$
$x_1 = 5$
$x_2 = -1$
Ответ: $-1; 5$.

2) $x^2 + 7x + 12 = 0$
Разложим левую часть на множители. Согласно теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно $12$, а сумма равна $-7$. Это числа $-3$ и $-4$.
$(-3) \cdot (-4) = 12$
$(-3) + (-4) = -7$
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(x - (-3))(x - (-4)) = 0$
$(x + 3)(x + 4) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$x + 3 = 0$ или $x + 4 = 0$
$x_1 = -3$
$x_2 = -4$
Ответ: $-4; -3$.

3) $x^2 - 11x + 10 = 0$
Для разложения левой части на множители найдем два числа, произведение которых равно $10$, а сумма равна $11$ (по теореме Виета). Это числа $1$ и $10$.
$1 \cdot 10 = 10$
$1 + 10 = 11$
Запишем уравнение в разложенном на множители виде:
$(x - 1)(x - 10) = 0$
Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю.
$x - 1 = 0$ или $x - 10 = 0$
$x_1 = 1$
$x_2 = 10$
Ответ: $1; 10$.

4) $2x^2 - 3x + 1 = 0$
Для разложения на множители воспользуемся формулой $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$. Сначала найдем корни уравнения с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
Теперь разложим левую часть на множители:
$2(x - 1)(x - 0.5) = 0$
Можно внести множитель $2$ во вторую скобку:
$(x - 1)(2(x - 0.5)) = 0$
$(x - 1)(2x - 1) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$x - 1 = 0$ или $2x - 1 = 0$
$x_1 = 1$
$2x = 1 \implies x_2 = 0.5$
Ответ: $0.5; 1$.

2.129. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа ($n^2 - n$) – четное число.

Чтобы доказать, что разность квадрата целого числа и самого числа является четным числом, обозначим это целое число переменной $n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Нам необходимо доказать, что выражение $n^2 - n$ всегда является четным.

Для начала преобразуем данное выражение, вынеся за скобки общий множитель $n$:

$n^2 - n = n(n-1)$

Полученное выражение $n(n-1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел: $n-1$ и $n$.

Для доказательства утверждения рассмотрим два возможных случая, поскольку любое целое число является либо четным, либо нечетным.

Случай 1: $n$ — четное число.

Если $n$ — четное, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда произведение $n(n-1)$ будет равно:

$n(n-1) = 2k(2k-1)$

Поскольку в этом произведении есть множитель 2, результат всегда будет делиться на 2, то есть будет четным числом.

Случай 2: $n$ — нечетное число.

Если $n$ — нечетное, то его можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. В этом случае предыдущее число $(n-1)$ будет четным, так как:

$n-1 = (2k+1) - 1 = 2k$

Тогда произведение $n(n-1)$ будет равно:

$n(n-1) = (2k+1)(2k)$

В этом произведении также есть множитель 2 (в составе множителя $2k$), поэтому результат также будет четным числом.

Мы рассмотрели все возможные варианты для целого числа $n$. В обоих случаях разность квадрата числа и самого числа ($n^2 - n$) является четным числом, так как она всегда представляет собой произведение двух последовательных чисел, одно из которых обязательно четное.

Ответ: утверждение доказано. Разность квадрата целого числа и самого числа всегда является четным числом.

2.130. Докажите, что если $b+c=10$, то $(10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc$.

С помощью этой формулы вычислите:

1) $24 \cdot 26$;

2) $37 \cdot 33$;

3) $42 \cdot 48$;

4) $81 \cdot 89$.

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Раскроем скобки в выражении $(10a+b)(10a+c)$: $(10a)^2 + 10ac + 10ab + bc = 100a^2 + 10ab + 10ac + bc$. Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $10a$: $100a^2 + 10a(b+c) + bc$. По условию задачи дано, что $b+c = 10$. Подставим это значение в полученное выражение: $100a^2 + 10a \cdot 10 + bc = 100a^2 + 100a + bc$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $100a$: $100a(a+1) + bc$. В результате преобразований мы получили правую часть исходного тождества, следовательно, равенство $(10a+b)(10a+c) = 100a(a+1)+bc$ доказано. Ответ: Тождество доказано.

1) Для вычисления произведения $24 \cdot 26$ представим множители в виде $(10a+b)$ и $(10a+c)$. В данном случае $24 = 10 \cdot 2 + 4$ и $26 = 10 \cdot 2 + 6$. Следовательно, $a=2$, $b=4$, $c=6$. Проверяем выполнение условия $b+c=10$: $4+6=10$. Условие выполняется, поэтому можем применить доказанную формулу $100a(a+1)+bc$. Подставляем значения и вычисляем: $100 \cdot 2 \cdot (2+1) + 4 \cdot 6 = 100 \cdot 2 \cdot 3 + 24 = 600 + 24 = 624$. Ответ: 624.

2) Для вычисления произведения $37 \cdot 33$ представим множители в виде $(10a+b)$ и $(10a+c)$. В данном случае $37 = 10 \cdot 3 + 7$ и $33 = 10 \cdot 3 + 3$. Следовательно, $a=3$, $b=7$, $c=3$. Проверяем условие $b+c=10$: $7+3=10$. Условие выполняется, поэтому применяем формулу $100a(a+1)+bc$. Подставляем значения и вычисляем: $100 \cdot 3 \cdot (3+1) + 7 \cdot 3 = 100 \cdot 3 \cdot 4 + 21 = 1200 + 21 = 1221$. Ответ: 1221.

3) Для вычисления произведения $42 \cdot 48$ представим множители в виде $(10a+b)$ и $(10a+c)$. В данном случае $42 = 10 \cdot 4 + 2$ и $48 = 10 \cdot 4 + 8$. Следовательно, $a=4$, $b=2$, $c=8$. Проверяем условие $b+c=10$: $2+8=10$. Условие выполняется, поэтому применяем формулу $100a(a+1)+bc$. Подставляем значения и вычисляем: $100 \cdot 4 \cdot (4+1) + 2 \cdot 8 = 100 \cdot 4 \cdot 5 + 16 = 2000 + 16 = 2016$. Ответ: 2016.

4) Для вычисления произведения $81 \cdot 89$ представим множители в виде $(10a+b)$ и $(10a+c)$. В данном случае $81 = 10 \cdot 8 + 1$ и $89 = 10 \cdot 8 + 9$. Следовательно, $a=8$, $b=1$, $c=9$. Проверяем условие $b+c=10$: $1+9=10$. Условие выполняется, поэтому применяем формулу $100a(a+1)+bc$. Подставляем значения и вычисляем: $100 \cdot 8 \cdot (8+1) + 1 \cdot 9 = 100 \cdot 8 \cdot 9 + 9 = 7200 + 9 = 7209$. Ответ: 7209.

2.131. Докажите, что $(a+c)(b+c)+(a-c)(b-c)=0$, если $ab+c^2=0$.

Чтобы доказать данное тождество, необходимо преобразовать его левую часть, используя алгебраические операции.

Раскроем скобки в выражении $(a+c)(b+c) + (a-c)(b-c)$:

$(a+c)(b+c) = ab + ac + bc + c^2$

$(a-c)(b-c) = ab - ac - bc + c^2$

Теперь сложим полученные результаты:

$(ab + ac + bc + c^2) + (ab - ac - bc + c^2)$

Приведем подобные слагаемые. Члены $ac$ и $-ac$, а также $bc$ и $-bc$ взаимно уничтожаются:

$ab + ab + c^2 + c^2 = 2ab + 2c^2$

Вынесем общий множитель $2$ за скобки:

$2(ab + c^2)$

Согласно условию задачи, $ab+c^2=0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$2 \cdot (ab + c^2) = 2 \cdot 0 = 0$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна $0$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: В результате преобразования левой части выражения $(a+c)(b+c) + (a-c)(b-c)$ получается $2(ab+c^2)$. Так как по условию $ab+c^2=0$, то значение всего выражения равно $2 \cdot 0 = 0$. Таким образом, утверждение доказано.

2.132. Тракторная бригада должна была по плану вспахивать ежедневно 112 га земли. Перевыполняя план на 8 га в день, бригада уже за день до срока закончила пахоту. Сколько гектаров земли вспахала бригада?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это плановое количество дней для выполнения работы.

Согласно плану, тракторная бригада должна была вспахивать 112 га в день. Тогда общая площадь земли, которую необходимо было вспахать, составляет $112 \times x$ гектаров.

На деле бригада перевыполняла план на 8 га в день, то есть их фактическая производительность составляла:$v_{факт} = 112 + 8 = 120$ га/день.

Бригада закончила работу на день раньше срока, значит, фактическое время работы составило $x-1$ день.

Общая площадь вспаханной земли также равна произведению фактической производительности на фактическое время: $120 \times (x-1)$ гектаров.

Так как объем работы (общая площадь) в обоих случаях одинаков, мы можем приравнять два выражения для площади:$112x = 120(x - 1)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти плановое количество дней $x$:
$112x = 120x - 120$
$120x - 112x = 120$
$8x = 120$
$x = \frac{120}{8}$
$x = 15$

Таким образом, по плану работа должна была занять 15 дней.

Чтобы найти, сколько всего гектаров земли вспахала бригада, подставим найденное значение $x$ в одну из формул для общей площади. Используем плановые показатели:
Общая площадь = $112 \text{ га/день} \times 15 \text{ дней} = 1680$ га.

Для проверки можно использовать фактические показатели:
Фактическое время = $15 - 1 = 14$ дней.
Общая площадь = $120 \text{ га/день} \times 14 \text{ дней} = 1680$ га.

Ответ: 1680 га.

2.133. К данному трехзначному числу слева приписали цифру 5 и из полученного четырехзначного числа вычли 3032. Получилась разность, которая в 9 раз больше трехзначного числа. Найдите данное трехзначное число.

Пусть искомое трехзначное число будет $x$.

Когда к трехзначному числу $x$ слева приписывают цифру 5, получается новое четырехзначное число. Математически это можно выразить как $5000 + x$. Например, если бы искомое число было 123, то новое число было бы 5123, что равно $5000 + 123$.

Из этого нового четырехзначного числа вычитают 3032. Это действие записывается как $(5000 + x) - 3032$.

Полученная разность, согласно условию, в 9 раз больше исходного трехзначного числа, то есть она равна $9x$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для полученной разности: $(5000 + x) - 3032 = 9x$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала упростим левую часть: $5000 - 3032 + x = 9x$ $1968 + x = 9x$

Теперь перенесем слагаемое с $x$ из левой части в правую, чтобы сгруппировать члены с неизвестным: $1968 = 9x - x$ $1968 = 8x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8: $x = \frac{1968}{8}$ $x = 246$

Итак, искомое трехзначное число — 246.

Сделаем проверку:
1. К числу 246 приписываем слева цифру 5, получаем число 5246.
2. Вычитаем из него 3032: $5246 - 3032 = 2214$.
3. Проверяем, в 9 ли раз полученная разность (2214) больше исходного числа (246): $246 \times 9 = 2214$.
Равенство $2214 = 2214$ верно, значит, задача решена правильно.

Ответ: 246

Найдите данное трехзначное число.

2.134. При каком значении m значение дроби $\frac{3m+2}{4}$ на 1 меньше значения дроби $\frac{5m-1}{3}$?

Согласно условию задачи, значение дроби $\frac{3m+2}{4}$ на 1 меньше значения дроби $\frac{5m-1}{3}$. Это можно записать в виде следующего уравнения: $$ \frac{3m+2}{4} = \frac{5m-1}{3} - 1 $$

Для решения этого уравнения необходимо избавиться от знаменателей. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, которое равно 12. Умножим обе части уравнения на 12: $$ 12 \cdot \left(\frac{3m+2}{4}\right) = 12 \cdot \left(\frac{5m-1}{3}\right) - 12 \cdot 1 $$

Выполнив умножение и сократив дроби, получим: $$ 3 \cdot (3m+2) = 4 \cdot (5m-1) - 12 $$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения: $$ 9m + 6 = 20m - 4 - 12 $$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения: $$ 9m + 6 = 20m - 16 $$

Сгруппируем слагаемые с переменной m в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой. Перенесем $9m$ в правую часть, а $-16$ — в левую, изменив их знаки при переносе: $$ 6 + 16 = 20m - 9m $$

Выполним вычисления: $$ 22 = 11m $$

Чтобы найти m, разделим обе части уравнения на 11: $$ m = \frac{22}{11} $$ $$ m = 2 $$

Проверка:
Подставим найденное значение $m=2$ в выражения для дробей.
Значение первой дроби: $\frac{3(2)+2}{4} = \frac{6+2}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Значение второй дроби: $\frac{5(2)-1}{3} = \frac{10-1}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
Сравним полученные значения: $3 - 2 = 1$. Это означает, что значение первой дроби (2) действительно на 1 меньше значения второй дроби (3). Решение верное.

Ответ: 2