Номер 2.130, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.130. Докажите, что если $b+c=10$, то $(10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc$.

С помощью этой формулы вычислите:

1) $24 \cdot 26$;

2) $37 \cdot 33$;

3) $42 \cdot 48$;

4) $81 \cdot 89$.

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Раскроем скобки в выражении $(10a+b)(10a+c)$: $(10a)^2 + 10ac + 10ab + bc = 100a^2 + 10ab + 10ac + bc$. Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $10a$: $100a^2 + 10a(b+c) + bc$. По условию задачи дано, что $b+c = 10$. Подставим это значение в полученное выражение: $100a^2 + 10a \cdot 10 + bc = 100a^2 + 100a + bc$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $100a$: $100a(a+1) + bc$. В результате преобразований мы получили правую часть исходного тождества, следовательно, равенство $(10a+b)(10a+c) = 100a(a+1)+bc$ доказано. Ответ: Тождество доказано.

1) Для вычисления произведения $24 \cdot 26$ представим множители в виде $(10a+b)$ и $(10a+c)$. В данном случае $24 = 10 \cdot 2 + 4$ и $26 = 10 \cdot 2 + 6$. Следовательно, $a=2$, $b=4$, $c=6$. Проверяем выполнение условия $b+c=10$: $4+6=10$. Условие выполняется, поэтому можем применить доказанную формулу $100a(a+1)+bc$. Подставляем значения и вычисляем: $100 \cdot 2 \cdot (2+1) + 4 \cdot 6 = 100 \cdot 2 \cdot 3 + 24 = 600 + 24 = 624$. Ответ: 624.

2) Для вычисления произведения $37 \cdot 33$ представим множители в виде $(10a+b)$ и $(10a+c)$. В данном случае $37 = 10 \cdot 3 + 7$ и $33 = 10 \cdot 3 + 3$. Следовательно, $a=3$, $b=7$, $c=3$. Проверяем условие $b+c=10$: $7+3=10$. Условие выполняется, поэтому применяем формулу $100a(a+1)+bc$. Подставляем значения и вычисляем: $100 \cdot 3 \cdot (3+1) + 7 \cdot 3 = 100 \cdot 3 \cdot 4 + 21 = 1200 + 21 = 1221$. Ответ: 1221.

3) Для вычисления произведения $42 \cdot 48$ представим множители в виде $(10a+b)$ и $(10a+c)$. В данном случае $42 = 10 \cdot 4 + 2$ и $48 = 10 \cdot 4 + 8$. Следовательно, $a=4$, $b=2$, $c=8$. Проверяем условие $b+c=10$: $2+8=10$. Условие выполняется, поэтому применяем формулу $100a(a+1)+bc$. Подставляем значения и вычисляем: $100 \cdot 4 \cdot (4+1) + 2 \cdot 8 = 100 \cdot 4 \cdot 5 + 16 = 2000 + 16 = 2016$. Ответ: 2016.

4) Для вычисления произведения $81 \cdot 89$ представим множители в виде $(10a+b)$ и $(10a+c)$. В данном случае $81 = 10 \cdot 8 + 1$ и $89 = 10 \cdot 8 + 9$. Следовательно, $a=8$, $b=1$, $c=9$. Проверяем условие $b+c=10$: $1+9=10$. Условие выполняется, поэтому применяем формулу $100a(a+1)+bc$. Подставляем значения и вычисляем: $100 \cdot 8 \cdot (8+1) + 1 \cdot 9 = 100 \cdot 8 \cdot 9 + 9 = 7200 + 9 = 7209$. Ответ: 7209.