Номер 2.137, страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.137. Моторная лодка прошла по реке от одной станции до другой и обратно за 4 ч. Найдите расстояние между этими станциями, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость моторной лодки – 18 км/ч.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — искомое расстояние между станциями (в км).
• $v_{соб}$ — собственная скорость моторной лодки, равная 18 км/ч.
• $v_{теч}$ — скорость течения реки, равная 3 км/ч.
• $T$ — общее время в пути, равное 4 ч.

Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Определение скорости лодки по течению и против течения

Когда лодка движется по течению, ее скорость складывается со скоростью течения. Когда лодка движется против течения, скорость течения вычитается из ее собственной скорости.

Скорость лодки по течению:

$v_{по~течению} = v_{соб} + v_{теч} = 18 + 3 = 21$ км/ч.

Скорость лодки против течения:

$v_{против~течения} = v_{соб} - v_{теч} = 18 - 3 = 15$ км/ч.

2. Составление уравнения на основе времени движения

Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, затраченное на путь по течению:

$t_1 = \frac{S}{v_{по~течению}} = \frac{S}{21}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь против течения:

$t_2 = \frac{S}{v_{против~течения}} = \frac{S}{15}$ ч.

Общее время движения $T$ равно сумме времен $t_1$ и $t_2$. По условию, $T = 4$ часа. Составим уравнение:

$\frac{S}{21} + \frac{S}{15} = 4$

3. Решение уравнения и нахождение расстояния

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 21 и 15 равно 105.

$\frac{5 \cdot S}{105} + \frac{7 \cdot S}{105} = 4$

$\frac{5S + 7S}{105} = 4$

$\frac{12S}{105} = 4$

Теперь выразим $S$:

$12S = 4 \cdot 105$

$12S = 420$

$S = \frac{420}{12}$

$S = 35$

Таким образом, расстояние между станциями составляет 35 км.

Ответ: 35 км.