Страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В клетке находятся кролики и фазаны. У них вместе 100 ног и 36 голов. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

Данную задачу можно решить несколькими способами. Рассмотрим два наиболее распространенных.

Решение с помощью составления системы уравнений

Пусть $k$ – количество кроликов, а $f$ – количество фазанов в клетке.
Каждое животное имеет ровно одну голову. Всего в клетке 36 голов, следовательно, общее число животных равно 36. Это дает нам первое уравнение:
$k + f = 36$

Известно, что у кролика 4 ноги, а у фазана – 2. Общее количество ног всех животных равно 100. Это дает нам второе уравнение:
$4k + 2f = 100$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} k + f = 36 \\ 4k + 2f = 100 \end{cases} $
Для удобства можно разделить второе уравнение на 2:
$2k + f = 50$
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} k + f = 36 \\ 2k + f = 50 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$(2k + f) - (k + f) = 50 - 36$
$k = 14$
Итак, в клетке 14 кроликов.

Теперь найдем количество фазанов, подставив значение $k$ в первое уравнение:
$14 + f = 36$
$f = 36 - 14$
$f = 22$
Следовательно, в клетке 22 фазана.

Проверка: $14$ голов + $22$ головы = $36$ голов. $14 \cdot 4 + 22 \cdot 2 = 56 + 44 = 100$ ног. Все верно.

Ответ: в клетке 22 фазана и 14 кроликов.

Решение логическим методом (метод предположения)

Представим, что все 36 животных в клетке – это фазаны. У каждого фазана по 2 ноги.
В этом случае общее количество ног было бы:
$36 \cdot 2 = 72$ ноги.

Однако по условию задачи ног 100. Найдем разницу между фактическим и нашим предполагаемым количеством ног:
$100 - 72 = 28$ "лишних" ног.

Эта разница возникла из-за того, что некоторые из животных на самом деле кролики. Каждый раз, когда мы мысленно заменяем одного фазана на одного кролика, общее количество ног увеличивается на $4 - 2 = 2$.

Чтобы узнать, сколько кроликов в клетке, нужно общее число "лишних" ног разделить на разницу в количестве ног между кроликом и фазаном:
$28 \div 2 = 14$
Следовательно, в клетке 14 кроликов.

Остальные животные – фазаны. Их количество равно:
$36 - 14 = 22$ фазана.

Ответ: в клетке 22 фазана и 14 кроликов.

2.136. Найдите значение выражения:

1) $(3a - 2b)(3a^3 + 2b^2)$ при $a = \frac{1}{3}$, $b = \frac{1}{2}$;

2) $3a^2 + 7ab + 2b^2$ при $a = 2$, $b = -1$.

1) Найдем значение выражения $(3a - 2b)(3a^3 + 2b^2)$ при $a = \frac{1}{3}$ и $b = \frac{1}{2}$.

Для этого подставим данные значения переменных $a$ и $b$ в выражение. Сначала вычислим значение первого множителя в скобках:

$3a - 2b = 3 \cdot \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0$

Поскольку один из множителей равен нулю, то все произведение равно нулю, так как умножение любого числа на ноль дает в результате ноль.

$(3a - 2b)(3a^3 + 2b^2) = 0 \cdot (3a^3 + 2b^2) = 0$

Таким образом, значение всего выражения равно 0.

Ответ: 0

2) Найдем значение выражения $3a^2 + 7ab + 2b^2$ при $a = 2$ и $b = -1$.

Подставим значения $a = 2$ и $b = -1$ в выражение:

$3a^2 + 7ab + 2b^2 = 3 \cdot (2)^2 + 7 \cdot (2) \cdot (-1) + 2 \cdot (-1)^2$

Теперь выполним вычисления по действиям, соблюдая их порядок:

1. Возведение в степень: $(2)^2 = 4$ и $(-1)^2 = 1$.

2. Умножение: $3 \cdot 4 = 12$; $7 \cdot 2 \cdot (-1) = -14$; $2 \cdot 1 = 2$.

3. Сложение и вычитание полученных результатов:

$12 + (-14) + 2 = 12 - 14 + 2 = -2 + 2 = 0$

Следовательно, значение выражения равно 0.

Ответ: 0

2.137. Моторная лодка прошла по реке от одной станции до другой и обратно за 4 ч. Найдите расстояние между этими станциями, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость моторной лодки – 18 км/ч.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — искомое расстояние между станциями (в км).
• $v_{соб}$ — собственная скорость моторной лодки, равная 18 км/ч.
• $v_{теч}$ — скорость течения реки, равная 3 км/ч.
• $T$ — общее время в пути, равное 4 ч.

Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Определение скорости лодки по течению и против течения

Когда лодка движется по течению, ее скорость складывается со скоростью течения. Когда лодка движется против течения, скорость течения вычитается из ее собственной скорости.

Скорость лодки по течению:

$v_{по~течению} = v_{соб} + v_{теч} = 18 + 3 = 21$ км/ч.

Скорость лодки против течения:

$v_{против~течения} = v_{соб} - v_{теч} = 18 - 3 = 15$ км/ч.

2. Составление уравнения на основе времени движения

Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, затраченное на путь по течению:

$t_1 = \frac{S}{v_{по~течению}} = \frac{S}{21}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь против течения:

$t_2 = \frac{S}{v_{против~течения}} = \frac{S}{15}$ ч.

Общее время движения $T$ равно сумме времен $t_1$ и $t_2$. По условию, $T = 4$ часа. Составим уравнение:

$\frac{S}{21} + \frac{S}{15} = 4$

3. Решение уравнения и нахождение расстояния

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 21 и 15 равно 105.

$\frac{5 \cdot S}{105} + \frac{7 \cdot S}{105} = 4$

$\frac{5S + 7S}{105} = 4$

$\frac{12S}{105} = 4$

Теперь выразим $S$:

$12S = 4 \cdot 105$

$12S = 420$

$S = \frac{420}{12}$

$S = 35$

Таким образом, расстояние между станциями составляет 35 км.

Ответ: 35 км.