Страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.105. Запишите произведение в виде многочлена:

1) $(6a^2 + 5b^2)(2a^2 - 4b^2)$;

2) $(-7m^2 - 8n^2)(-m^2 + 3n^2)$;

3) $(4n^2 - 1)(n^2 + 5)$;

4) $(8x^2 - 3xy)(3x^3 - xy)$;

5) $(5ab^2 - 4b^3)(3ab^3 - 4a^2)$;

6) $(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3)$.

Для того чтобы записать произведение двух многочленов в виде многочлена, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Этот метод также известен как "правило фонтанчика" или, для двучленов, метод FOIL (First, Outer, Inner, Last).

1) $(6a^2 + 5b^2)(2a^2 - 4b^2)$
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(6a^2 + 5b^2)(2a^2 - 4b^2) = 6a^2 \cdot 2a^2 + 6a^2 \cdot (-4b^2) + 5b^2 \cdot 2a^2 + 5b^2 \cdot (-4b^2)$
Выполним умножение одночленов:
$= 12a^4 - 24a^2b^2 + 10a^2b^2 - 20b^4$
Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $a^2b^2$):
$-24a^2b^2 + 10a^2b^2 = -14a^2b^2$
В результате получаем многочлен:
$12a^4 - 14a^2b^2 - 20b^4$
Ответ: $12a^4 - 14a^2b^2 - 20b^4$

2) $(-7m^2 - 8n^2)(-m^2 + 3n^2)$
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(-7m^2 - 8n^2)(-m^2 + 3n^2) = (-7m^2) \cdot (-m^2) + (-7m^2) \cdot (3n^2) + (-8n^2) \cdot (-m^2) + (-8n^2) \cdot (3n^2)$
Выполним умножение одночленов:
$= 7m^4 - 21m^2n^2 + 8m^2n^2 - 24n^4$
Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $m^2n^2$):
$-21m^2n^2 + 8m^2n^2 = -13m^2n^2$
В результате получаем многочлен:
$7m^4 - 13m^2n^2 - 24n^4$
Ответ: $7m^4 - 13m^2n^2 - 24n^4$

3) $(4n^2 - 1)(n^2 + 5)$
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(4n^2 - 1)(n^2 + 5) = 4n^2 \cdot n^2 + 4n^2 \cdot 5 + (-1) \cdot n^2 + (-1) \cdot 5$
Выполним умножение одночленов:
$= 4n^4 + 20n^2 - n^2 - 5$
Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $n^2$):
$20n^2 - n^2 = 19n^2$
В результате получаем многочлен:
$4n^4 + 19n^2 - 5$
Ответ: $4n^4 + 19n^2 - 5$

4) $(8x^2 - 3xy)(3x^3 - xy)$
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(8x^2 - 3xy)(3x^3 - xy) = 8x^2 \cdot 3x^3 + 8x^2 \cdot (-xy) + (-3xy) \cdot 3x^3 + (-3xy) \cdot (-xy)$
Выполним умножение одночленов:
$= 24x^{2+3} - 8x^{2+1}y - 9x^{1+3}y + 3x^{1+1}y^{1+1}$
$= 24x^5 - 8x^3y - 9x^4y + 3x^2y^2$
В данном случае подобных слагаемых нет. Для удобства запишем члены многочлена в стандартном виде, упорядочив их по убыванию степени переменной $x$:
$24x^5 - 9x^4y - 8x^3y + 3x^2y^2$
Ответ: $24x^5 - 9x^4y - 8x^3y + 3x^2y^2$

5) $(5ab^2 - 4b^3)(3ab^3 - 4a^2)$
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(5ab^2 - 4b^3)(3ab^3 - 4a^2) = 5ab^2 \cdot 3ab^3 + 5ab^2 \cdot (-4a^2) + (-4b^3) \cdot 3ab^3 + (-4b^3) \cdot (-4a^2)$
Выполним умножение одночленов:
$= (5 \cdot 3)a^{1+1}b^{2+3} - (5 \cdot 4)a^{1+2}b^2 - (4 \cdot 3)ab^{3+3} + (4 \cdot 4)a^2b^3$
$= 15a^2b^5 - 20a^3b^2 - 12ab^6 + 16a^2b^3$
Подобных слагаемых в полученном выражении нет, поэтому это и есть итоговый многочлен.
Ответ: $15a^2b^5 - 20a^3b^2 - 12ab^6 + 16a^2b^3$

6) $(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3)$
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3) = 7x^3y^2 \cdot (-2x^2y^2) + 7x^3y^2 \cdot (5xy^3) + (-xy) \cdot (-2x^2y^2) + (-xy) \cdot (5xy^3)$
Выполним умножение одночленов:
$= -14x^{3+2}y^{2+2} + 35x^{3+1}y^{2+3} + 2x^{1+2}y^{1+2} - 5x^{1+1}y^{1+3}$
$= -14x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4$
Подобных слагаемых в полученном выражении нет. Члены уже упорядочены по убыванию степени переменной $x$.
Ответ: $-14x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4$

2.106. Представьте выражение в виде произведения многочленов:

1) $2a(x+y)+x+y;$

2) $3b(x-y)+x-y;$

3) $4a(m-n)+m-n;$

4) $x(p-q)+p-q;$

5) $5a(x+y)-x-y;$

6) $4a(m-n)-m+n.$

1) Исходное выражение: $2a(x + y) + x + y$.
Для того чтобы представить выражение в виде произведения, сгруппируем последние два слагаемых. Заметим, что $x + y$ можно записать как $1 \cdot (x + y)$.
Таким образом, выражение принимает вид: $2a(x + y) + 1 \cdot (x + y)$.
Теперь мы видим общий множитель $(x + y)$, который можно вынести за скобки.
Выносим $(x + y)$: $(x + y)(2a + 1)$.
Ответ: $(x + y)(2a + 1)$

2) Исходное выражение: $3b(x - y) + x - y$.
Аналогично первому примеру, представим $x - y$ как $1 \cdot (x - y)$.
Выражение примет вид: $3b(x - y) + 1 \cdot (x - y)$.
Общим множителем является $(x - y)$. Выносим его за скобки.
Получаем: $(x - y)(3b + 1)$.
Ответ: $(x - y)(3b + 1)$

3) Исходное выражение: $4a(m - n) + m - n$.
Сгруппируем последние два слагаемых: $m - n = 1 \cdot (m - n)$.
Получаем выражение: $4a(m - n) + 1 \cdot (m - n)$.
Общий множитель $(m - n)$ выносим за скобки.
Получаем: $(m - n)(4a + 1)$.
Ответ: $(m - n)(4a + 1)$

4) Исходное выражение: $x(p - q) + p - q$.
Сгруппируем последние два слагаемых: $p - q = 1 \cdot (p - q)$.
Получаем выражение: $x(p - q) + 1 \cdot (p - q)$.
Общий множитель здесь $(p - q)$.
Выносим $(p - q)$ за скобки: $(p - q)(x + 1)$.
Ответ: $(p - q)(x + 1)$

5) Исходное выражение: $5a(x + y) - x - y$.
Чтобы получить общий множитель, сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки $-1$: $-x - y = -(x + y)$.
Выражение принимает вид: $5a(x + y) - 1 \cdot (x + y)$.
Теперь мы видим общий множитель $(x + y)$.
Выносим $(x + y)$ за скобки: $(x + y)(5a - 1)$.
Ответ: $(x + y)(5a - 1)$

6) Исходное выражение: $4a(m - n) - m + n$.
Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки $-1$, чтобы получить множитель $(m - n)$: $-m + n = -(m - n)$.
Выражение принимает вид: $4a(m - n) - 1 \cdot (m - n)$.
Общий множитель здесь $(m - n)$.
Выносим $(m - n)$ за скобки: $(m - n)(4a - 1)$.
Ответ: $(m - n)(4a - 1)$

2.107. Разложите многочлен на множители:

1) $ax+ay+bx+by;$

2) $ax-ay+bx-by;$

3) $a^2+ab+ac+bc;$

4) $ax+ay+6x+6y;$

5) $1-bx-x+b;$

6) $ab+2b-2a-4;$

7) $x^2+xy+ax+ay;$

8) $am-an+m-n;$

9) $3x-3y+ax-ay;$

10) $ab-a^2+2a-2b.$

1) Для разложения многочлена $ax+ay+bx+by$ на множители сгруппируем слагаемые: первые два и последние два.
$(ax+ay)+(bx+by)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй — общий множитель $b$.
$a(x+y)+b(x+y)$
Теперь у нас есть общий множитель $(x+y)$, который мы также выносим за скобки.
$(a+b)(x+y)$
Ответ: $(a+b)(x+y)$.

2) Сгруппируем слагаемые в многочлене $ax-ay+bx-by$:
$(ax-ay)+(bx-by)$
Вынесем общие множители из каждой группы: $a$ из первой и $b$ из второй.
$a(x-y)+b(x-y)$
Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки.
$(a+b)(x-y)$
Ответ: $(a+b)(x-y)$.

3) В многочлене $a^2+ab+ac+bc$ сгруппируем слагаемые:
$(a^2+ab)+(ac+bc)$
Вынесем общие множители $a$ и $c$ из каждой группы соответственно.
$a(a+b)+c(a+b)$
Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки.
$(a+c)(a+b)$
Ответ: $(a+c)(a+b)$.

4) Сгруппируем слагаемые в выражении $ax+ay+6x+6y$:
$(ax+ay)+(6x+6y)$
Вынесем общие множители $a$ из первой группы и $6$ из второй.
$a(x+y)+6(x+y)$
Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки.
$(a+6)(x+y)$
Ответ: $(a+6)(x+y)$.

5) В многочлене $1-bx-x+b$ перегруппируем слагаемые для удобства и сгруппируем их:
$(1-x)+(-bx+b)$
Вынесем из второй группы общий множитель $b$.
$(1-x)+b(-x+1) = (1-x)+b(1-x)$
Вынесем общий множитель $(1-x)$ за скобки.
$(1+b)(1-x)$
Ответ: $(1+b)(1-x)$.

6) Сгруппируем слагаемые в многочлене $ab+2b-2a-4$:
$(ab+2b)+(-2a-4)$
Вынесем общие множители из каждой группы: $b$ из первой и $-2$ из второй.
$b(a+2)-2(a+2)$
Вынесем общий множитель $(a+2)$ за скобки.
$(b-2)(a+2)$
Ответ: $(b-2)(a+2)$.

7) Сгруппируем слагаемые в многочлене $x^2+xy+ax+ay$:
$(x^2+xy)+(ax+ay)$
Вынесем общие множители $x$ и $a$ из каждой группы.
$x(x+y)+a(x+y)$
Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки.
$(x+a)(x+y)$
Ответ: $(x+a)(x+y)$.

8) Сгруппируем слагаемые в выражении $am-an+m-n$:
$(am-an)+(m-n)$
Вынесем общий множитель $a$ из первой группы. Вторую группу можно представить как $1 \cdot (m-n)$.
$a(m-n)+1(m-n)$
Вынесем общий множитель $(m-n)$ за скобки.
$(a+1)(m-n)$
Ответ: $(a+1)(m-n)$.

9) Сгруппируем слагаемые в многочлене $3x-3y+ax-ay$:
$(3x-3y)+(ax-ay)$
Вынесем общие множители $3$ и $a$ из каждой группы.
$3(x-y)+a(x-y)$
Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки.
$(3+a)(x-y)$
Ответ: $(3+a)(x-y)$.

10) В многочлене $ab-a^2+2a-2b$ сгруппируем слагаемые. Например, первое со вторым и третье с четвертым.
$(ab-a^2)+(2a-2b)$
Вынесем общие множители из каждой группы: $a$ из первой и $2$ из второй.
$a(b-a)+2(a-b)$
Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $(a-b) = -(b-a)$. Заменим это во втором слагаемом.
$a(b-a)-2(b-a)$
Теперь вынесем общий множитель $(b-a)$ за скобки.
$(a-2)(b-a)$
Ответ: $(a-2)(b-a)$.

2.108. Представьте многочлен в виде произведения:

1) $x^3+3x^2+3x+9;$

2) $x^2-xy-2x+2y;$

3) $m^2+mn-5m-5n;$

4) $a^2-ab-3a+3b;$

5) $10ay-5by+2ax-bx;$

6) $6by-15bx-4ay+10ax;$

7) $5x^2-5ax-7a+7x;$

8) $4x^2-4xz-3x+3z;$

9) $5ax-6bx-5ay+6by;$

10) $2m^2-mn+2mx-nx.$

1) Представим многочлен $x^3+3x^2+3x+9$ в виде произведения, используя метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно: $(x^3+3x^2)+(3x+9)$. Из первой группы вынесем общий множитель $x^2$, а из второй — $3$. Получим выражение: $x^2(x+3)+3(x+3)$. Теперь вынесем за скобки общий для обоих слагаемых множитель $(x+3)$, что приведет к итоговому произведению $(x+3)(x^2+3)$.
Ответ: $(x+3)(x^2+3)$

2) Для разложения на множители многочлена $x^2-xy-2x+2y$ сгруппируем его члены: $(x^2-xy)+(-2x+2y)$. В первой группе вынесем за скобки $x$, а во второй — $-2$. Это даст нам $x(x-y)-2(x-y)$. Теперь мы видим общий множитель $(x-y)$, который можно вынести за скобки, получив $(x-y)(x-2)$.
Ответ: $(x-y)(x-2)$

3) Разложим многочлен $m^2+mn-5m-5n$ на множители. Сгруппируем члены: $(m^2+mn)+(-5m-5n)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $m(m+n)-5(m+n)$. Общим множителем является выражение $(m+n)$. Вынеся его, получим произведение $(m+n)(m-5)$.
Ответ: $(m+n)(m-5)$

4) В многочлене $a^2-ab-3a+3b$ сгруппируем слагаемые: $(a^2-ab)+(-3a+3b)$. Из первой группы выносим $a$, из второй — $-3$. Получаем: $a(a-b)-3(a-b)$. Затем выносим общий множитель $(a-b)$ и получаем итоговый вид $(a-b)(a-3)$.
Ответ: $(a-b)(a-3)$

5) Представим многочлен $10ay-5by+2ax-bx$ в виде произведения. Группируем слагаемые: $(10ay-5by)+(2ax-bx)$. Выносим общие множители из каждой группы: $5y(2a-b)+x(2a-b)$. Общий множитель $(2a-b)$ выносим за скобки, получая $(2a-b)(5y+x)$.
Ответ: $(2a-b)(5y+x)$

6) Для разложения многочлена $6by-15bx-4ay+10ax$ перегруппируем слагаемые для удобства: $6by-4ay-15bx+10ax$. Теперь сгруппируем их попарно: $(6by-4ay)+(-15bx+10ax)$. Выносим общие множители: $2y(3b-2a)-5x(3b-2a)$. Наконец, выносим общий множитель $(3b-2a)$, что дает нам $(3b-2a)(2y-5x)$.
Ответ: $(3b-2a)(2y-5x)$

7) В многочлене $5x^2-5ax-7a+7x$ изменим порядок слагаемых для удобства группировки: $5x^2-5ax+7x-7a$. Группируем: $(5x^2-5ax)+(7x-7a)$. Выносим общие множители из каждой скобки: $5x(x-a)+7(x-a)$. Теперь выносим общий множитель $(x-a)$ и получаем $(x-a)(5x+7)$.
Ответ: $(x-a)(5x+7)$

8) Разложим многочлен $4x^2-4xz-3x+3z$ на множители. Сгруппируем слагаемые: $(4x^2-4xz)+(-3x+3z)$. Вынесем общие множители: $4x(x-z)-3(x-z)$. Вынеся общий множитель $(x-z)$ за скобки, получим произведение $(x-z)(4x-3)$.
Ответ: $(x-z)(4x-3)$

9) Для разложения многочлена $5ax-6bx-5ay+6by$ перегруппируем его члены: $5ax-5ay-6bx+6by$. Сгруппируем их попарно: $(5ax-5ay)+(-6bx+6by)$. Вынесем общие множители: $5a(x-y)-6b(x-y)$. Выносим общий множитель $(x-y)$ и получаем $(x-y)(5a-6b)$.
Ответ: $(x-y)(5a-6b)$

10) Разложим на множители многочлен $2m^2-mn+2mx-nx$. Применим метод группировки: $(2m^2-mn)+(2mx-nx)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $m(2m-n)+x(2m-n)$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(2m-n)$, что приводит к результату $(2m-n)(m+x)$.
Ответ: $(2m-n)(m+x)$

2.109. Докажите тождество:

1) $x(y-a)+a(x+y)=y(x+a)$;

2) $x(y-2)+2(x+y)=y(x+2)$;

3) $m(m-n)+2mn=m(m+n)$;

4) $x(1-x)+x(x^2-1)=x^2(x-1)$.

1) Чтобы доказать тождество $x(y-a)+a(x+y)=y(x+a)$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки:

$x(y-a)+a(x+y) = xy - xa + ax + ay$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-xa$ и $ax$ являются противоположными и в сумме дают ноль, поэтому они взаимно уничтожаются:

$xy - xa + ax + ay = xy + ay$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$xy + ay = y(x+a)$

В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Следовательно, левая часть тождественно равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $x(y-2)+2(x+y)=y(x+2)$, преобразовав его левую часть. Раскроем скобки:

$x(y-2)+2(x+y) = xy - 2x + 2x + 2y$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-2x$ и $2x$ взаимно уничтожаются:

$xy - 2x + 2x + 2y = xy + 2y$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$xy + 2y = y(x+2)$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $m(m-n)+2mn=m(m+n)$ преобразуем его левую часть. Сначала раскроем скобки:

$m(m-n)+2mn = m^2 - mn + 2mn$

Приведем подобные слагаемые, сложив $-mn$ и $2mn$:

$m^2 - mn + 2mn = m^2 + mn$

Теперь вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$m^2 + mn = m(m+n)$

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $x(1-x)+x(x^2-1)=x^2(x-1)$, преобразовав его левую часть. Раскроем скобки в левой части выражения:

$x(1-x)+x(x^2-1) = (x \cdot 1 - x \cdot x) + (x \cdot x^2 - x \cdot 1) = x - x^2 + x^3 - x$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $x$ и $-x$ взаимно уничтожаются:

$x - x^2 + x^3 - x = x^3 - x^2$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^3 - x^2 = x^2(x-1)$

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью тождества.

Ответ: Тождество доказано.